湖北省黄石市2024届中考数学模试卷含解析

湖北省黄石市2024学年中考数学模试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）
A．73 B．81 C．91 D．109
2．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为( )
A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm
3．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥
4．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果
1
2
C EAF
C CDF
，那
么S EAF
S EBC
的值是（）
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
9
5．若A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）
A．10 B．14 C．20 D．22
7．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）
A．
4848
9
44
x x
+=
+-
B．
4848
9
44
+=
+-
x x
C．48
x
+4＝9 D．
9696
9
44
+=
+-
x x
8．在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．最高分90 B．众数是5 C．中位数是90 D．平均分为87.5
9．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）
A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某批次手机的防水功能的调查
D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
10．如图，△ABC的面积为12，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（）
A．3 B．5 C．6 D．10
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是____．
12．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=3
4
x+3上的动点，过点P作
⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______________．
13．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m．
14．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
15．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为_____．
16．2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为_______________.
17．若两个关于x，y 的二元一次方程组
31
36
mx ny
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
与
52
428
x ny n
x y
-=-
⎧
⎨
+=
⎩
有相同的解，则mn 的值为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）关于x 的一元二次方程230x m x m -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≤1
B ．m ＜1
C ．﹣3≤m ≤1
D ．﹣3＜m ＜1
19．（5分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
20．（8分）如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若∠A=∠D ，
CD=23． （1）求∠A 的度数．
（2）求图中阴影部分的面积．
21．（10分）某市教育局为了了解初一学生第一学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了本市部分初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，并将得到的数据绘制成了下面两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：扇形统计图中a 的值为 %，该扇形圆心角的度数为 ；补全条形统计图；如果该市共有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
23．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D 作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tan C．
24．（14分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若DE=13，BD=12，求线段AB的长．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1．
故选C．
考点：图形的变化规律.
2、B
【解题分析】
首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，根据已知条件可得：OA=2OC，进而求出∠AOC的度数，则圆心角∠AOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长．
【题目详解】
解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=6，OC=3，
∴OA=2OC，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴劣弧AB的长=1206
180
π
⨯⨯
=4π，
故选B．
【题目点拨】
本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．3、B
【解题分析】
将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【题目详解】
由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t ＞．
故选：B．
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
4、D
【解题分析】
分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．
详解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵
1
2
EAF
CDF
C
C
，
=
∴
1
2 AF
DF
=，
∴
11
123 AF
BC
==
+
，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴
2
11
39
EAF
EBC
S
S
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
故选D.
点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
5、B
【解题分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=2，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在对称轴左侧，图象开口向上，利用y随x的增大而减小，可判断y3＜y2＜y1.
【题目详解】
抛物线y=x2﹣4x+m的对称轴为x=2，
当x<2时，y随着x的增大而减小，
因为-4<-3<1<2，
所以y3＜y2＜y1，
故选B.
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.
6、B
【解题分析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【题目详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：1．
故选B．
【题目点拨】
平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
7、A
【解题分析】
根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程组即可.
【题目详解】
∵轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴顺流航行时间为：
48
4
x+
，逆流航行时间为：
48
4
x-
，
∴可得出方程：4848
9
+=，
故选：A．
【题目点拨】
本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键．
8、C
【解题分析】
试题分析：根据折线统计图可得：最高分为95，众数为90；中位数90；平均分=(80×2+85+90×5+95×2)÷(2+1+5+2)=88.5.
9、D
【解题分析】
A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；
C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；
D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；
故选D．
10、D
【解题分析】
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是8，得出选项即可．
【题目详解】
解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于12，边AC=3，
∴1
2
×AC×BN=12，
∴BN=8，∴BM=8，
即点B到AD的最短距离是8，
∴BP的长不小于8，
即只有选项D符合，
故选D．
【题目点拨】
本题考查的知识点是折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解题关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、π﹣1．
【解题分析】
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【题目详解】
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=1
2
AB=1，四边形DMCN是正方形，DM
则扇形FDE的面积是：
2
902
360
π⨯
=π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．
∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵
DMG DNH
GDM HDN
DM DN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△DMG≌△DNH
（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=1．则阴影部分的面积是：π﹣1．
故答案为π﹣1．
【题目点拨】
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN 是关键．
12、22
【解题分析】
分析：因为BP＝22
PA AB
-，AB的长不变，当PA最小时切线长PB最小，所以点P是过点A向直线l所作垂线的垂足，利用△APC≌△DOC求出AP的长即可求解.
详解：如图，作AP⊥直线y＝3
4
x＋3，垂足为P，此时切线长PB最小，设直线与x轴，y轴分别交于D，C.
∵A的坐标为(1，0)，∴D(0，3)，C(﹣4，0)，∴OD＝3，AC＝5，
∴DC＝22
OD OC
＋＝5，∴AC＝DC，
在△APC与△DOC中，
∠APC＝∠COD＝90°，∠ACP＝∠DCO，AC＝DC，
∴△APC≌△DOC，∴AP＝OD＝3，
∴PB＝22
31
-＝22．
故答案为22.
点睛：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理及垂线段最短，因为直角三角形中的三边长满足勾股定理，所以当其中的一边的长不变时，即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.
13
m ． 【解题分析】
利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径． 【题目详解】
解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
∴扇形的半径为：
2
m ，
∴扇形的弧长为：
902180
π⨯
m ，
π÷2π
m ． 【题目点拨】
本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式． 14、1； 【解题分析】
根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数． 【题目详解】
∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°， ∴360°÷45°=1
即该正多边形的边数是1． 【题目点拨】
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）． 15、1 【解题分析】
由抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x 2-2x+m=2，根的判别式△=b 2-4ac=2，由此即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值． 【题目详解】
解：∵抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点， ∴△=2，
∴b 2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；
∴m=1． 故答案为1． 【题目点拨】
本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：①抛物线与x 轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x 轴无交点，则△＜2；③抛物线与x 轴有一个交点，则△=2． 16、4610⨯ 【解题分析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
【题目详解】60000小数点向左移动4位得到6，
所以60000用科学记数法表示为：6×1， 故答案为：6×
1． 【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 17、1 【解题分析】
联立不含m 、n 的方程求出x 与y 的值，代入求出m 、n 的值，即可求出所求式子的值． 【题目详解】
联立得：36428x y x y -⎧⎨+⎩
＝①
＝②，
①×2+②，得：10x=20， 解得：x=2，
将x=2代入①，得：1-y=1， 解得：y=0， 则20
x y ⎧⎨
⎩＝＝， 将x=2、y=0代入3152mx ny x ny n ＝＝+⎧⎨--⎩，得：21102m n ⎧⎨-⎩
＝
＝，
解得：1212
m n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，
则mn=1， 故答案为1． 【题目点拨】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
三、解答题（共7小题，满分69分） 18、C 【解题分析】
利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到2
30
(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩
＝，然后解不等式组即可． 【题目详解】
根据题意得2
30
(3)40
m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＝， 解得-3≤m≤1． 故选C ． 【题目点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 19、（1）
13
；（2）59.
【解题分析】
【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
【题目详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°， 所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°， ∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为
120360︒︒＝1
3
； （2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为
1
3
，所有可能性如下表所示：
第一次第二次 1 －2 3
1 (1，1) (1，－2) (1，3) －
2 (－2，1) (－2，－2) (－2，3)
3 (3，1) (3，－2) (3，3)
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为5 9 .
【题目点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20、(1) ∠A=30°;(2)
2 23
3
π
-
【解题分析】
（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由OA=OC，推出∠A=∠ACO，由∠A=∠D，推出∠A=∠ACO=∠D
再由∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°即可得出.
（2）先求∠COD度数及OC长度，即可求出图中阴影部分的面积．
【题目详解】
解：（1）连结OC
∵CD为⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°
又∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又∵∠A=∠D
∴∠A=∠ACO=∠D
而∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°
∴∠A=30°
（2）由（1）知：∠D=∠A=30°
又∵CD=2
∴OC=2
∴S阴影=．
【题目点拨】
本题考查的知识点是扇形面积的计算及切线的性质，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算及切线的性质.
21、（1）25，90°；
（2）见解析；
（3）该市“活动时间不少于5天”的大约有1．
【解题分析】
试题分析：（1）根据扇形统计图的特征即可求得a的值，再乘以360°即得扇形的圆心角；
（2）先算出总人数，再乘以“活动时间为6天”对应的百分比即得对应的人数；
（3）先求得“活动时间不少于5天”的学生人数的百分比，再乘以20000即可.
（1）由图可得
该扇形圆心角的度数为90°；
（2）“活动时间为6天” 的人数，如图所示：
（3）∵“活动时间不少于5天”的学生人数占75%，20000×75%=1
∴该市“活动时间不少于5天”的大约有1人．
考点：统计的应用
点评：统计的应用初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大.
22、见解析
【解题分析】
根据等边三角形性质得∠B=∠C，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证ADC DEB.
【题目详解】
证明： ABC是等边三角形，
∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°,
∴∠CAD=∠BDE,
∴ADC DEB
【题目点拨】
考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.
23、（1）详见解析；（2）
2 tan.
2
C
【解题分析】
（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=22AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．
【题目详解】
（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=2222
AB AE AE
-=，
在RT△BEC中，tanC=
222
42 BE AE
CE AE
==．
24、（3）证明见解析; （3）AB=3.
【解题分析】
（3）由等腰直角三角形得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，得出∠BCD=∠ACE，根据SAS推出△ACE≌△BCD即可；
（3）求出AD=5，根据全等得出AE=BD=33，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE即可．
【题目详解】
证明：（3）如图，
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，
∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（3）由（3）知△BCD≌△ACE，
则∠DBC=∠EAC，AE=BD=33，
∵∠CAD+∠DBC=90°，
∴∠EAC+∠CAD=90°，即∠EAD=90°，
∵AE=33，ED=33，
∴AD=22
=5，
1312
∴AB=AD+BD=33+5=3．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用. 考点：3．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．。