江苏省南京市中华中学高二数学文月考试卷含解析

江苏省南京市中华中学高二数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法中错误的个数为 ( )
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；
③是的充要条件；
④与是等价的；
⑤“”是“”成立的充分条件.
A、2
B、3
C、4
D、5
参考答案：
C
略
2. 圆与直线的位置关系是（）
A．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心
参考答案：
A
略
3. 抛物线y=x2的焦点坐标为（）
A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线y=x2，即抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴ =1∴抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1）
故选：D．
【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．
4. 关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 ( )
A.0≤a≤1
B.a <1
C.a≤1
D.0<a≤1或a<0
参考答案：
C
略
5. 极坐标方程的图形是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】先将原极坐标方程中的三角函数式利用和角公式展开，再两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．
【解答】解：将原极坐标方程，化为：
ρ=sinθ+cosθ
ρ2=ρsinθ+ρcosθ
化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x=0，
它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．
故选C．
6. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）
A．πB．4πC．4πD．6π
参考答案：
B
【考点】球的体积和表面积．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，
所以球的半径为： =．
所以球的体积为： =4π．
故选B．
7. 已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,M是正方形ABCD所在平面内一动点,点E、F满足
，若点M到直线EF与直线BC的距离之比为1:2，则动点M的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
参考答案：
B
因为，，且正方体的棱长为4，所以，故点到直线距离，即为点到点距离，于是条件“平面内点到直线与直线
的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”.在平面
内，以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，则，直线的
方程为，设点的坐标为，则依据题意可得，化简可得，故动点的轨迹是椭圆.
8. 与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x-4y-5=0 B.3x+4y+5=0
C．3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0
参考答案：
B 9. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）
A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）km
C．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km
参考答案：
D
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度
【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，
AB=1000×108×=30（km ）
∴在△ABC中，BC==20sin18°
∵CD⊥AD，
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°
山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．
故选D．
10. 已知，当取最小值时，的值等于（）
A．B．－C．19 D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案：
略
12. 已知{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有a n=a1+log a b n，则常数a= ．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意列式求得d，q的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入a n=a1+log a b n，求解即可得到a值．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，
∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，
∴，解得d=6，q=9，
∴a n=3+6（n﹣1）=6n﹣3，，
代入a n=a1+log a b n得，
，
即log a9=6，
∴．
故答案为：．
13. 椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆
的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________
参考答案：略
14. 正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第个等式中．
参考答案：
6
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论．
解答：解：①2+4=6；
②8+10+12=14+16；
③18+20+22+24=26+28+30，…
其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，
所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2×=2n2，
当n=6时，等式的首项为2×36=72，
所以72在第6个等式中，
故答案为：6．
点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．
15. 如右图，有一个边长为2的正方形，其中有一块边长为1的正方形阴影部分，向大的正方形中撒芝麻，假设芝麻落在正方形中任何位置上的概率相等，则芝麻落在阴影区域上的概率为
参考答案：
略
16. 设z
＝
kx ＋y ，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.参考答案：
2
略
17. 如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。

则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

①当时，S为四边形②当时，S为等腰梯形
③当时，S与的交点R满足
④当时，S为六边形⑤当时，S的面积为参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄段在的人生活习惯是否符合环保理念进行调查。

现随机抽取人进行数据分析，得到如下频率分布表和频率分布直方图：
（1）求出频率分布表中的值
（2）现从第三、四、五组中，采用分层抽样法抽取12人参加户外环保体验活动，则从这三组中应各抽取多少人？
组数分组人数频率
第一组[10,20) 5
第二组[20,30) x
第三组[30,40)
第四组[40,50) y
第五组[50,60]
合计n
参考答案：
解：（1）由条件可知，
第四组的频率为
所以……….6分
（2）第三组的人数为
第四组的人数为
第五组的人数为
三组共计60人，从中抽取12人每组应抽取的人数为：第三组（人）第四组（人）
第五组（人）所以第3,4,5组分别抽取6,4,2人。

……….12分
略
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的
离心率为，右焦点到右准线的距离为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求△BCD面积的最大值．
参考答案：
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）利用，，计算即可；
（2）通过设B、C点坐标、写出直线AB、AC、BD、CD的斜率，联立直线BD、CD的方程，计算即可；（3）通过计算可得点D的纵坐标，进而可得点D到直线BC的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论．
【解答】（1）解：由题意得，，
解得，
∴b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆E的标准方程为．
（2）证明：设B（x0，y0），C（﹣x0，y0），显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，
设为k1，k2，k3，k4，则，，
∴直线BD，CD的方程为：，
消去y得：，
化简得x=3，故点D在定直线x=3上运动．
（3）解：由（2）得点D的纵坐标为，
又∵，∴，
则，
∴点D到直线BC的距离h=，将y=y0代入，得，
∴△BCD面积
=，
当且仅当，即时等号成立，
故时，△BCD面积的最大值为．
20. （本小题满分12 分）
如图2，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥.
（1）证明：⊥平面;（2）求三棱锥的体积.
参考答案：
21. （14分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用；二元二次方程表示圆的条件．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）圆的方程化为标准方程，利用半径大于0，可得m的取值范围；
（2）直线方程与圆方程联立，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；
（3）写出以MN为直径的圆的方程，代入条件可得结论．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，
由，得5y2﹣16y+m+8=0，
∴，．
代入①得．
（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，
即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，
∴所求圆的方程为．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22. 12分）如图，已知抛物线的参数方程为（其中为参数），
为过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，点在线段上. 倾斜角为
的直线经过点与抛物线交于,两点.
(1)请问是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由;
(2)若和的面积相等,求点的坐标.参考答案：
解：（1）消去参数s，得抛物线的方程为，
∴，把代入抛物线方程得,
于是设点，因为直线的倾斜角为，所以它的参数方程为
（其中为参数），
代入抛物线方程得：
设,对应的参数为∴（*）
(2∵和的面积相等，
∴ks5u
∴，又∵，
，∴
∴将其代入（*）式得
得：，∴，∴，
即点的横坐标为∴点的坐标为
略。