2024届黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中、克山一中等五校联考高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试

2024届黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中、克山一中等五校联
考高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( ) A ．B=A∩C B ．B ∪C=C
C ．A
C
D ．A=B=C
2．点()3,2A -，()3,2B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．41
32
a -
≤≤ B ．1a ≥或1a ≤- C ．11a -≤≤ D ．4
3
a ≥
或12a ≤
3．如图所示，在，已知
，角的平分线
把三角形面积分为
两部
分，则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在正四棱锥P ABCD -中，23AB =，侧面积为83，则它的体积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12π
D ．16π
5．已知函数()()5tan 202f x x πϕϕ⎛
⎫=+<< ⎪⎝
⎭，其函数图像的一个对称中心是
,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则该函数的单调递增区间可以是（ ） A ．5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．,36ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
6．已知x ，y 满足约束条件0
{401
x y x y y -≥+-≤≥，则
的最大值是（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．-5
D ．1
7．如图是某个正方体的平面展开图，1l ，2l 是两条侧面对角线，则在该正方体中，1l 与
2l （ ）
A ．互相平行
B ．异面且互相垂直
C ．异面且夹角为
3
π
D ．相交且夹角为3
π 8．若实数a 满足20a a +<,则2
,,a a a -的大小关系是：
A ．2a a a -<<
B ．2a a a <-<
C ．2a a a <-<
D ．2a a a <<-
9．若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值（ ）
A ．5
2
-
B ．－1
C ．0
D ．2
10．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3c =45A =︒，75B =︒，
则a =（ ） A ．2
B 3
C ．1
D ．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则9a c +的最小值为________． 12．已知3
sin 45
x π⎛⎫-=
⎪⎝⎭则sin2x 的值为________. 13．函数cos(2)3
y x π
=+
可由y =sin 2x 向左平移___________个单位得到．
14．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A
AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________． 15．函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则
12
m n
+的最小值等于__________. 16．将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥
B ACD -的外接球的表面积为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设公差不为0的等差数列{}n a 中，25a =，且1311,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和n S 满足：11
123n n S ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，
求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 18．已知数列{}n a 满足
11
11
n n n a a n +-⋅=-+且26a =，设n n b a n =+，*n N ∈. （1）求1234b b b b 、、、； （2）求{}n b 的通项公式；
（3）求2
341111lim 2222n n b b b b →∞⎛⎫
++++
⎪----⎝⎭
. 19．已知圆()()2
2
:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++= （1）求证：直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；
（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：
对于圆C 上任一点P ，都有
PM PN
为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．
20．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1． 21．已知6
sin 5
θ=-
，32ππθ<<. （Ⅰ）求cos θ，tan θ的值； （Ⅱ）求()()3sin sin cos cos 522ππθπθθθπ⎡⎤⎡
⎤⎛
⎫⎛⎫
+++
⋅-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦
的值. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可． 【题目详解】 由题B ⊆A ，
∵A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}， ∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊆C ，
则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的真子集，三集合不一定相等， 故选：B ． 【题目点拨】
此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示
的意义是解本题的关键，是易错题 2、B 【解题分析】 根据()3,2A -，()3,2B 在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.
【题目详解】
因为直线10ax y --=与线段AB 相交， 所以，()3,2A -，()3,2B
在直线异侧或其中一点在直线上，
所以()()3213210a a -----≤， 解得1a ≥或1a ≤-，故选B. 【题目点拨】
本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 3、C 【解题分析】
由两个三角形的面积比，得到边，利用正弦定理
求得
的值.
【题目详解】 角的平分线
，
，
设
，
，设
，
在中，利用正弦定理
，
解得：.
【题目点拨】
本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用. 4、A 【解题分析】
连,AC BD 交于O ，连PO ，根据正四棱锥的定义可得PO ⊥平面ABCD ，取AB 中点E ，连PE ，则由侧面积和底面边长，求出侧面等腰三角形的高PE ，在Rt POE ∆中，求出PO ，即可求解. 【题目详解】
连,AC BD 交于O ，连PO ，取AB 中点E ，连PE
因为正四棱锥P ABCD -，则PO ⊥平面ABCD ，PE AB ⊥， 侧面积424383,2PAB S S AB PE PE PE ∆==⋅===， 在Rt POE ∆中，2,3,1PE OE PO ==
∴=，
211
1(23)433
P ABCD ABCD V PO S -∴=⋅=⨯⨯=.
故选:A.
【题目点拨】
本题考查正四棱锥结构特征、体积和表面积，属于基础题. 5、D 【解题分析】
根据对称中心，结合ϕ的范围可求得3
π
ϕ=
，从而得到函数解析式；将所给区间代入求
得2x ϕ+的范围，与tan x 的单调区间进行对应可得到结果. 【题目详解】
,012π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
为函数的对称中心 2122k ππϕ∴⨯+=，k Z ∈ 解得：26
k ππ
ϕ=
-，k Z ∈ 0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
3
πϕ∴= ()5tan 23
f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
当5,66x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，422,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时()f x 不单调，A 错误；
当,63x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()20,3x ππ+∈，此时()f x 不单调，B 错误；
当,36x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，22,
333x πππ⎛⎫
+∈- ⎪⎝⎭
，此时()f x 不单调，C 错误；
当
5
,
1212
x
ππ
⎛⎫
∈-
⎪
⎝⎭
时，2,
322
x
πππ
⎛⎫
+∈-
⎪
⎝⎭
，此时()
f x单调递增，D正确
本题正确选项：D
【题目点拨】
本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果.
6、A
【解题分析】
根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.
考点：本题主要考查了简单的线性规划.
7、D
【解题分析】
先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.
【题目详解】
将平面展开图还原成正方体如图所示，则B ，C 两点重合，所以1l 与2l 相交，连接AD ，则ABD △为正三角形，所以2l 与2l 的夹角为3
π
. 故选D. 【题目点拨】
本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8、D 【解题分析】
分析：先解不等式20a a +<,再根据不等式性质确定2
,,a a a -的大小关系. 详解：因为20a a +<,所以10a -<< , 所以20a a a <<<- 选D.
点睛：本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质，考查基本求解能力与运用性质解决问题能力. 9、A 【解题分析】
线性规划问题，首先画出可行域，再令z =0，画出目标函数，上下平移得到z 的最值。

【题目详解】
可行域如图所示，当目标函数平移到A ()0,2.5 点时z 取最小值52
-， 故选A 【题目点拨】
线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z =0，画出目标函数，上下平移得到z 的最值。

10、A 【解题分析】
利用三角形内角和为180︒，得到60C =︒，利用正弦定理求得2a =.
【题目详解】
因为45A =︒，75B =︒，所以180457560C =︒-︒-︒=︒， 在ABC ∆中，sin sin a c A C =，所以3
2sin 45sin 60a a =⇒=︒︒
，故选A. 【题目点拨】
本题考查三角形内角和及正弦定理的应用，考查基本运算求解能力.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、32 【解题分析】
根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【题目详解】
如图所示， 则△ABC 的面积为111
120260260222
acsin a sin c sin ︒=⋅︒+⋅︒， 即ac =2a +2c ， 得
22
1a c
+=， 得()221829920c a a c a c a c a c ⎛⎫ +=++⎝=++⎪⎭18220=32c a a c
≥⋅， 当且仅当
182c a a c
=，即3c =a 时取等号； ∴9a c +的最小值为32. 故答案为：32. 【题目点拨】
本题考查三角形中的几何计算，属于中等题. 12、
725
【解题分析】
利用二倍角的余弦函数公式求出cos 22x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值，再利用诱导公式化简，将
cos 22x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值代入计算即可求出值．
【题目详解】 解：∵3sin 45x π⎛⎫-=
⎪⎝⎭
，2187cos 212sin 1242525x x ππ⎛⎫⎛⎫
∴-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则sin2x ＝cos 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=7
25
， 故答案为
725
. 【题目点拨】
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 13、
512
π 【解题分析】
将2y sin x =转化为cos(2)2
y x π
=-，再利用平移公式得到答案.
【题目详解】
sin 2cos(2)cos 2()24y x x x ππ
==-=-
cos(2)cos 2(6)3y x x ππ
=+=+
向左平移54612πππ
+=
故答案为512
π 【题目点拨】
本题考查三角函数图像的平移，将正弦函数化为余弦函数是解题的关键，也可以将余弦函数化为正弦函数求解. 14、
36
π
【解题分析】
由三角形ABC 的边长为2不难求出三角形ABC 的面积，又由扇形的半径为，也可
以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案． 【题目详解】
由题意知，在△ABC 中，BC 边上的高AO 正好为，∴圆与边CB 相切，如图．
S 扇形＝×××＝， S △ABC ＝×2×2×＝
，∴P ＝
＝
.
【题目点拨】
本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题. 15、1 【解题分析】
由题意可得定点(2,1)A --，21m n +=，把要求的式子化为44n m
m n
++，利用基本不等式求得结果． 【题目详解】 解：
()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠
令31+=x 解得2x =-，则()log 2311a y =-+-=-
即函数过定点(2,1)A --，又点A 在直线10mx ny ++=上，21m n ∴+=， 则
12242444428m n m n n m n m
m n m n m n m n
+++=+=+++=，当且仅当4n m m n = 时，
等号成立， 故答案为：1． 【题目点拨】
本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为44n m
m n
++，是解题的关键，属于基础题． 16、5π 【解题分析】
解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD 、DC 、DA 两两互相垂直， 所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 211(3)5++=
2
，
∴三棱锥B ﹣ACD 的外接球的表面积为：4π2
⨯=5π． 故答案为5π 考点：外接球.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）31n a n =- （Ⅱ）767
443
n n n T +=
-⋅ 【解题分析】
（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和. 【题目详解】
（Ⅰ）因为1311,,a a a 构成等比数列，所以2
3111a a a =，
()()()2
55953d d d d ∴-+=+⇒=（0舍去）
所以()2231n a a n d n =+-=- （Ⅱ）当1n =时11111
1233
b S ⎛⎫==
-= ⎪⎝⎭， 当2n ≥时111111
12333
n n n n n
n b S S S --⎛⎫=-==
-=
⎪⎝⎭， 31
3n n n
n a b -∴=
， 22531333n n n T -=+++
2311253431 33333
n n n n n T +--=++++ 相减得2312233331 333333
n n n n T +-=++++-
所以12111131
1?213323
n n n
n T （）--=++++-
11113131?1223
13n n n ---=+--（） 即767
443n n
n T +=-
⋅ 【题目点拨】
本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 18、（1）12b =，28b =，318b =，432b =；（1）2
2n b n =，*n N ∈；（3）38
.
【解题分析】
（1）依次代入计算，可求得1234b b b b 、、、； （1）归纳出n b ，并用数学归纳法证明； （3）用裂项相消法求和234111
1
222
2
n b b b b ++++
----，然后求极限． 【题目详解】 （1）∵
11
11
n n n a a n +-⋅=-+且26a =， ∴110a -=，即11a =，1112b a =+=，2228b a =+=，
321
153
a a =-=，315a =，33318
b a =+=， 432
1144
a a =-=，428a =，33432
b a =+=， ∴12342,8,18,32b b b b ====；
（1）由（1）归纳：2
2n b n =，
下面用数学归纳法证明： 1°
n =1，n =1时，由（1）知成立， 1°假设n =k （k >1）时，结论成立，即b k =1k 1， 则n =k +1时，a k =b k -k =1k 1-k ，211
121(21)(1)1
k k k a a k k k k k +-⋅=-=--=+-+， a k +1=(1k +1)(k +1)，
∴b k +1=a k +1+(k +1)=(1k +1)(k +1)+(k +1)=1(k +1)1， ∴n =k +1时结论成立， ∴对所有正整数n ，b n =1n 1．
（3）由（1）知n ≥1时，
211111
()222411
n b n n n ==----+， ∴
234111
1
222
2
n b b b b ++++
---- 11111111
[(1)()(
)()]4324
211
n n n n =-+-++-+---+ 11111311
(1)()421421
n n n n =+--=--++， 23411111311lim lim(()2222421n n n b b b b n n →∞→∞⎛⎫++++=-- ⎪----+⎝⎭
13113(lim lim )4218
n n n n →∞→∞=--=+． 【题目点拨】
本题考查用归纳法求数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的和，考查数列的极限．在求数列通项公式时，可以根据已知的递推关系求出数列的前几项，然后归纳出通项公式，并用数学归纳法证明，这对学生的归纳推理能力有一定的要求，这也就是我们平常所学的从特殊到一般的推理方法． 19、（1）直线l 过定点()3,2A （2）1m =-. （3）在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN
为常数2.
【解题分析】
分析：（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标．
（Ⅱ）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ，r=2，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．
（Ⅲ）由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点N ()
4,N t 满足题意， 则设P （x ，y ），
PM PN
λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()()22441x y -=--，
求出λ，然后求解比值．
详解：（Ⅰ）依题意得， ()()2320m x y y -+-= 令230x y -=且20y -=，得3,2x y ==
∴直线l 过定点()3,2A
（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =
∴ 21134AC
k -==--，得1111l
AC k k --===-， ∴由2131
m m =+得1m =- （Ⅲ）法一：由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点()4,N t 满足题意， 则设(),P x y ，
PM PN
λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()()22441x y -=--
∴ ()()()()2
2
2
2
22241541y y y y t λλλ--+-=--+-
整理得， ()()
222
2283280t y t λλ⎡⎤-+++-=⎣⎦
上式对任意[]
1,3y ∈-恒成立， ∴ ()22280t λ-+=且(
)2
2
3280t
λ
+-=
解得27100t t -+= ,说以2,5t t ==（舍去，与M 重合），2
4,2λλ==
综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得
PM PN
为常数2
点睛：过定点的直线系A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）=0表示通过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0与l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点．
20、 (1) m 3
4
-＞；(2)见解析 【解题分析】
（1）利用△＜0列不等式求出实数m 的取值范围；
（2）讨论0＜a ＜1、a ＝0和a ＜0，分别求出对应不等式的解集． 【题目详解】
（1）不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1化为（m 2+1）x 2﹣（2m ﹣1）x +1＞0， 由m 2+1＞0知，△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2+1）＜0，
化简得﹣4m ﹣3＜0，解得m 34-
＞， 所以实数m 的取值范围是m 3
4
-＞；
（2）0＜a ＜1时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＞0，且1
a
＞1，
解得x ＜1或x 1
a
＞
，
所以不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a
＞
}； a ＝0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为﹣（x ﹣1）＞0， 解得x ＜1，
所以不等式的解集为{x |x ＜1}；
a ＜0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＜0，且1
a
＜1， 解得1
a
＜x ＜1，
所以不等式的解集为{x |1a
＜x ＜1}．
综上知，0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a
＞}； a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜1}； a ＜0时，不等式的解集为{x |1a
＜x ＜1}． 【题目点拨】
本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．
21、 (Ⅰ)1cos 5
θ=-，sin tan cos θθθ=
=Ⅱ)23
25. 【解题分析】
试题分析：
(Ⅰ)结合角的范围和同角三角函数基本关系可得1
5
cos θ=-，
sin tan cos θθθ
==(Ⅱ)将原式整理变形，结合(Ⅰ)的结论可得其值为2325
. 试题解析：
（Ⅰ）因为32π
πθ<<
，所以0cos θ<， 由于22
1125cos sin θθ=-=，所以15
cos θ=-，
所以sin tan cos θ
θθ
=
=（Ⅱ）原式()()sin cos sin cos θθθθ=-+⋅--.
()2
22224123252525
sin cos sin cos θθθθ=--=-=
-=.。