湖北省宜昌市窑湾中学高中数学选修2-3学案：1.2.2组合缺答案

1．2．2组合（1）
一、复习引入：
1分类加法计数原理:
2。

分步乘法计数原理：
3．排列的概念：
4．排列数的定义:
5．排列数公式:
6 阶乘:
7．排列数的另一个计算公式：
8. 提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法？
引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合
．
．．
二、讲解新课:
1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()
≤个元素并成一
m n
组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
说明：⑴不同元素;⑵“只取不排"——无序性；⑶相同组合：元素相同
例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价?
（2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? （3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ (5）10个人互通电话一次,共多少个电话?
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2)什么样的两个组合就叫相同的组合
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．
．用符号m
n
C 表示．
例2．用计算器计算710
C ．
解：
例3．计算：（1）4
7
C ； （2)710
C ；
3．组合数公式的推导：
（1)从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34
C 是多少
呢？
启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数3
4
A 可以求得,故我们可以考察一下34
C 和34
A 的关系，如
下：
组 合 排列
dcb
cdb bdc dbc cbd bcd bcd
dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,
,
,,,,,,,,,,,,,,,,→
→→→ 由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列,因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34
A ，可以分如下两步：① 考虑
从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34
C 个；② 对每一个组
合的3个不同元素进行全排列，各有3
3
A 种方法．由分步计数原理得:34
A
＝⋅34
C 33
A ，所以，3
3
34
34
A A C =．
(2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n
A ，可以分如下两步:
① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n
C ；
② 求每一个组合中m 个元素全排列数m
m
A ，根据分步计数原理得：
m n A ＝m n C m m A ⋅．
（3)组合数的公式：
(1)(2)(1)
!
m m n n
m m A n n n n m C A m ---+==
或)!
(!!
m n m n C
m n
-=
),,(n m N m n ≤∈*且
规定：
01n C =。

三、讲解范例：
例4．求证：1
1+⋅-+=
m n m
n
C m
n m C ． 证明：
例5．设,+
∈N x 求32113
2-+--+x x x x C C
的值
解:
例6．一位教练的足球队共有17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?
（2)平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解:
例8．在100 件产品中，有98 件合格品，2 件次品．从这100 件产品中任意抽出3 件.
（1)有多少种不同的抽法?
（2)抽出的3 件中恰好有1 件是次品的抽法有多少种？
(3）抽出的3 件中至少有1 件是次品的抽法有多少种?
解：
变式:按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；
(3）甲必须当选，乙、丙不能当选；(4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选; （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例9．（1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
解：
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？
解:错解：211
546240
C C C 种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多
例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种?
1．2．2组合(2）
组合数的性质1：m n n m n
C C
-=．
一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n
m
个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n m 个元素的组合数，即：
m
n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的
思想 证明：∵)!(!!
)]!([)!(!m n m n m n n m n n C
m
n n
-=
---=
-又 )!
(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -= 说明：①规定：10
=n
C ;②等式特点：等式两边下标同,上标之和等于下
标；③此性质作用：当2
n m >时，计算m n
C 可变为计算m n n
C -,能够使运算简
化.例如20012002
C ＝200120022002
-C
＝12002
C =2002;④y n x n
C C
=y x =⇒或n y x =+．
2．组合数的性质2：m n C 1
+＝m n
C +1-m n
C ．
一般地,从12
1
,,,+n a a
a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合
数是m n C 1
+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1
a ，一类不含有1
a ．含有1
a 的组合是从132
,,,+n a a a
这
n 个元素中取出m 1个元素与1
a 组成的,
共有1-m n
C 个;不含有1
a 的组合是从132
,,,+n a a a
这n 个元素中取出m 个元
素组成的，共有m n
C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素"的分类思想．
证明:)]!
1([)!1(!
)!(!!1---+
-=
+-m n m n m n m n C C
m n m n
)!
1(!!)1(!+-++-=
m n m m n m n n
)!1(!!)1(+-++-=
m n m n m m n )!
1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1
+= ∴m n C 1
+＝m n
C +1-m n
C ．
说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形,简化运算
例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法?
（2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球，有多少种取法? (3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法? 解：
例12．（1）计算：6
9584737
C C C C
+++；
(2)求证:n
m C 2
+＝n m
C +1
2-n m
C +2-n m
C ． 解：
例13．解方程:（1）3213113
-+=x x C C
；(2）解方程：3
3322210
1+-+-+=
+x x x x x A C C ． 解:
例14．证明:p
n p m p m p n n m
C C C C
--⋅=⋅.
证明：
例15．证明：++-110m m n m m n
C C C C …m n m m m n C C C +=+0（其中m n ≥）。

证明:
例16．证明：+++32132n n n
C C C …12-=+n n
n n nC 。

证明：
例17．证明：+++3222132n n n
C C C …222)1(-+=+n n
n n n C n 。

证明：
例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加,他们先分成8个小组循环赛,决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名,问这次世界杯总共将进行多少场比赛？。