北京市第八中学2017-2018学年高二理期末试题

北京八中2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学（理）
本试卷共8页,满分150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

A 卷 （满分100分）
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1.已知命题,p q ,若命题p ⌝与命题p q ∨均为真命题,下列结论正确的是 A. ,p q 均为真命题 B. ,p q 均为假命题 C. p
真命题,q 为假命题
D. p 为假命题,q 为真命题
2.已知点(3,1,4)A -,则点A 关于x 轴对称的点的坐标为 A. (3,1,4)---
B. (3,1,4)--
C. (3,1,4)
D. (3,1,4)--
3.在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-等于（ ）． A. OA
B. AB
C. OC
D. AC
4.方程的曲线22
157x y k k
+=--为椭圆,实数k 的取值范围是
A. (5,7)
B. (5,6)
C. (6,7)
D. (5,6)(6,7)⋃
5.设,x y ∈R ,则“40x y +-<”是“0x <且0y <”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件
D. 充分必要条件
6.抛物线()2
40y ax a =<的焦点坐标为
A. (,0)a
B. (,0)a -
C. (0,)a
D. (0,)a -
7.已知平面α,β的法向量分别为()2,3,5μ=--,()3,1,4ν=-则 A. //αβ
B. αβ⊥
C. ,αβ相交但是不垂直
D. 以上都不正确
8.在慈利县工业园区有相距4km 的M ，N 两点，要围垦出以MN 为一条对角线的平行四边形区域建制造厂。

按照规划，围墙总长为12km ．在设计图纸上，建立平面直角坐标系如图（O 为MN 的中点)，那么平行四边形另外两个顶点P ，Q 的坐标满足的方程是
A. 22195x y -=
B. 22
13632x y -=
C. 22195
x y +=
D. 22
13632
x y +
= 9.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为( ) A. B. 23
C. D. 32
10.对于曲线1C ,2C ,若存在点P 和常数(0)k k ≠,过点P 任意引射线分别交1C ,2C 于点1M ,2M ,若
1
2
PM k PM =,那么称曲线1C 与2C 相似,相似比为k ,点P 为相似中心,则下面各组曲线中,原点是其相似中心
的相似曲线有
①24y x =,2
2y x =; ②221x y +=,22
2x y +=;
③2
212x y +=,2
212
y x +=; ④221x y -=,222x y -=. A 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
11.命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是__________．
.
12.已知向量()1,2,3a =-和(),,9b x y =共线,则x y +=__________.
13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有 一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为
P ，若5PF =，则双曲线方程为 ．
14.已知矩形ABCD ,1AB =,BC x =,将ABD △沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则__________.
①(0,2)x ∀∈,都存在某个位置,使得AB CD ⊥ ②(0,2)x ∀∈,都不存在某个位置,使得AB CD ⊥ ③1x ∀>,都存在某个位置,使得AB CD ⊥ ④1x ∀>,都不存在某个位置,使得AB CD ⊥
三、解答题(共2小题,每小题15分,共30分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
15.在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中,1PA AB ==,PB PD ==
点E 在PD 上,且
:2:1PE ED =.
（Ⅰ）求证:PA ⊥平面ABCD ; （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值.
16.设1F ,2F 分别为椭圆2
2:12
x W y +=左右焦点,斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ,且与椭圆W 交于A ,
B 两点.
（Ⅰ）求1ABF △的周长;
（Ⅱ）如果以AB 为直径的圆过1F ,求直线l 的斜率k .
B 卷 （满分50分）
四、选择填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
17.如图，
在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是
A 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线
18.若椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和椭圆22
2222222
:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点相同且12a a >.给出
如下四个结论:
①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点;②
11
22
a b a b >;③22221212a a b b -=-;④1212a a b b -<-. 其中,所有正确结论的序号是 A. ②③④
B. ①③④
C. ①②④
D. ①②③
19.如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是,,M N P e e e .则它们的大小关系是 （用“<”连接）.
.
20.已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示,设ABC ,'''A B C 的中心分别为O ,'O ,现将此三棱柱绕直线'OO 旋转,射线OA 旋转所成角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数）,对应的俯视图的面积为()S x ,则函数()S x 的最大值为__________,最小正周期为__________.
五、解答题(共2小题,每小题15分,共30分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
21.在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，2AB BC =，
60ABC ∠=︒，AC FB ⊥．
（I ）求证：AC ⊥平面FBC ．
（II ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值．
（III ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你
结论．
22.如图,椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点．
当直线AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60︒.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率;
（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD 的面积为1S ,
OED （O 为原点）的面积为2S ,求
1
2
S S 的取值范围.。