2019全国中考数学真题分类汇编之18：与圆的有关计算

一、选择题
1．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是（）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】B．
【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．
2．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）
A．60°B．50°C．40°D．20°
【答案】B
【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°．⊙∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，⊙⊙A=⊙BCD=40°，⊙∠ABD=90°－40°=50°．故选B．
3、（2019·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )
A.4π-8
B. 2π
C.4π
D. 8π-8 【答案】A
【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=
14S 圆=1
4
π42=4π， S △OBC =
2
142
⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 4．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )
A.
B.4
C.
D.4.8
第6题图 【答案】C
【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴
CD ＝AD ＝1
2
AC ＝4,∴BD =,故选C.
5．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A ．
3
2
π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D
【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=
180
n r
π，得6π．故选D. 6．（2019·绍兴 ）如图，⊙ABC 内接于圆O ，⊙B=65°，⊙C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( )
A.π
B.π2
C.π2
D.π22
【答案】A
【解析】在△ABC 中，得△A ＝180°-△B -△C ＝45°， 连接OB ，OC ，则⊙BOC ＝2⊙A ＝90°，
设圆的半径为r ，由勾股定理，得22
r r +＝（22）2，解得r=2，
所以弧BC 的长为
902
180
π⨯=π．
7．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径
作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )
2
π
- 2
π
C.π-
D.2
π
第10题图 【答案】A
【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝
＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝
∴AO ＝OD
∴DE ＝3
2
,∴S 阴影
＝S △ABC －S △AOD －S
扇形
BOD ＝
－2
π
＝2
π
,故选A.
8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是
【 】
A ．2π B．4π C ．12π D．24π 【答案】C
【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×6
2
360
=12π，故本题选：C ．
9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的
角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）
A ．2
B ．
2
π
C ．
2
3 D ．
2
5
【答案】A
【解题过程】由题得∠1＝∠2＝
1
2
∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6
设∠3＝∠4＝m，∠5＝∠6＝n，得m＋n＝45°，∴∠AEB＝∠C＋m＋n＝90°＋45°＝135°∴E在以AD为半径的⊙D上（定角定圆）
如图，C的路径为
¼MN,E的路径为»PQ
设⊙O的半径为1，则⊙D
，
∴¼
»
MN
PQ
＝
4
21
360
2
2
360
t
t
π
π
⨯⨯
⨯
10. (2019·泰安)如图,将e O沿弦AB折叠,»AB恰好经过圆心O,若e O的半径为3,则»AB的长为
A.1
2
π B.π C.2π D.3π
【答案】C
【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交»AB于点E,由题可知OD＝DE＝1
2
OE＝
1
2
OA,在Rt△AOD中,sinA
＝OD
OA
＝
1
2
,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,»AB＝
180
n r
π
＝2π,故选C.
11. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中
阴影部分的面积是(结果保留π)
A.8－π
B.16－2π
C.8－2π
D.8－1 2π
【答案】C
【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝
12
AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝
2
454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 12. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )
A.15π
B.30π
C.45π
D.60π
【答案】D
【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝1
2
×10×12π＝60π,故选D.
13. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．
2
π B ．2π C ．
178
π
D ．
198
π
【答案】B
【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，
∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =360
3902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .
14.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起后，就能
形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）
A.4
5B.3
4
C.2
3
D.1
2
【答案】C.
【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
过圆心O点作OE⊥BC于E，
在Rt△OEC中，∠COE=45°，
∴sin∠COE=CE
OC =√2
2
,
设CE=，则OC=√2CE=√2，
∵OE⊥BC，
∴CE=BE=，即BC=2.
∴S正方形ABCD=BC2=42，⊙O的面积为πr2=π×()2=2π2.
∴S
正方形ABCD
S⊙O
==≈2
3
.
15.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A ．60πcm 2
B ．65πcm 2
C ．120πcm 2
D ．130πcm 2 【答案】B ．
【解析】∵r ＝5，l ＝13，∴S 锥侧＝πrl ＝π×5×13＝65π（cm 2）．故选B ．
16. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2
B.
C.
3
2
D.
【答案】D ．
【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD
R ．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2
R
·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2
R
R
．故选D ．
17.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别
裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm
B.4cm
C.4.5cm
D.5cm
【答案】B
D
B
A
【解析】»AE＝1
2
4
AB
π
⋅⋅,右侧圆的周长为DE
π⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,
1
2
4
AB
π
⋅⋅＝
DE
π⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.
18. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

则原的纸带宽为（A）
A.1B C D.2
【答案】C
【解析】正多边形的相关计算，作AM⊥FC于M，由正六边形的性质得∠AFC=60°，因为sin∠AFM=AM AF
，
二、填空题
1．（2019·苏州）如图，扇形OAB中∠AOB=90°，P为AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C．PC与AB交于点D.若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为.
【答案】5
（第17题）
第17题答图
【解析】连接DP，∵∠AOB=90°，过点P作PC⊥OA，∴∠DCA=∠AOB=90°，又∠DAC=∠BAO，∴△ACD∽
△AOB，∴AC CD
AO OB
=，又OA=OB，∴AC=CD=1，又PD=2，∴CP=3，设CO=，则OP=OA=+1，∵∠PCA =90°，
∴OP2=OC2+CP2，∴2+32=（+1）2，解得=4，∴OA= +1=5.故答案为5.
2．（2019·德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．
【答案】
【解析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE ＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．
3．(2019·广元)如图,△ABC是 O的内接三角形,且AB是 O的直径,点P为 O上的动点,且
∠BPC＝60°, O的半径为6,则点P到AC距离的最大值是________.
第14题图
【答案】
【解析】作直径MN⊥AC于点Q,QM为点P到AC的最大距离,∵半径为6,∴MO＝OA＝6,∠A＝∠P＝60°,∴
OQ
＝
∴MQ ＝
.
4．（2019·温州）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧¼EDF
上．若∠BAC=66°，则∠EPF 等于 度．
【答案】57
【解析】连接OE 、OF.∵⊙O 分别切∠BAC 的两边AB 、AC 于点E 、F ，∴OF ⊥AC 、OE ⊥AB ，∴∠BAC+∠EOF=180°，
∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧¼EDF
上，∴∠EPF=12
∠EOF=57°. 故填：57. 5.（2019·杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm.底面圆半径为3cm.则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______ cm(结果精确到个位).
【答案】113
【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=1
2
×2π×3×12=36π≈113（cm 2）．故答案为113．
6．（2019·烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所
围成的图形是一个曲边三角形．已知O e 是△ABC 的内切圆，则阴影部分的面积为 ．
O
P
F
D
C A
【答案】
53
π
-
【解题过程】2
24
ABC
S
=
= 260223603
ABC
S ππ⨯==扇形，
△ABC
的内切圆半径为
1
2
ABC
S
=（2+2+2），
2
33ABC S
ππ⎛=⨯= ⎝⎭
的内切圆
，
所以阴影部分的面积为(
)3=ABC
ABC ABC ABC S S
S S -+
-的内切圆
扇形（
）53
π
-．
7．（2019·淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是. 【答案】3
【解析】设该圆锥底面圆的半径是r ，则
ππ15522
1
=⨯⨯r ，解得r=3. 14．（2019·黄冈）用一个国心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为. 【答案】4π
【解析】设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr ＝
π⨯1206
180
，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的半径为2.
8．（2019·陇南）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于
．
【答案】4-π．
【解析】如图：∵新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π×21＝4﹣π，故答案为：4﹣π．
9.（2019·无锡）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15π2cm ，则这个圆锥的底面圆半径为_______cm. 【答案】3
【解析】本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 2305s r π=
==6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 622l πππ
===3cm ，故答案为3． 10. （2019·滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．
【答案】
3
【解析】如图，连接OE ，作OM ⊥EF 于M ，则OE=EF ，EM=FM ，OM=2，∠EOM=30°，在Rt⊙OEM 中，cos
∠EOM=
OM OE
，⊙2=2OE ，解得OE=3，即外接圆半径为3．
11．(2019·泰州)如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若
正三角形边长为6cm,则该莱洛三角形的周长为______cm.
第15题图 【答案】3
【解析】以边长为半径画弧,这三段弧的半径为正三角形的边长6cm,圆心角为正三角形的内角度数为60°,每段弧长为
606
180
π⋅⋅＝2π,所以周长为2π×3＝6π. 12. (2019·聊城)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位：cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度
数为________.
【答案】120°
【解析】由图可知,圆锥的底面周长为2π,圆锥的母线AC ＝3,∴设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n °,根据弧长公式可得2π＝180
n r
π,n ＝120.∴圆心角的度数为120.
13. (2019·泰安)如图,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA ＝3,则阴影部分的面积为________.
【答案】3
4
π
【解析】连接OC,过点C 作CN ⊥AO 于点N,CM ⊥OB 于点M,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,∴∠A ＝60°,∵OA ＝
OC,∴△AOC 为等边三角形,∵OA ＝3,∴CN ＝CN ＝3
2
,∴S 扇形
AOC ＝
32π,S △AOC 在Rt △AOB
中,OB＝△OCB∠COD＝30°,S扇形COD＝3
4
π,S阴影＝S扇形AOC－S△AOC+S△OCB－S扇形COD＝
3
4
π.
14. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系oy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内相交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）
【答案】（n）
【解析】由图可知点P n的横坐标与它所在圆的半径相同，故点P n的横坐标为n，
点P1=
点P2
……
点P n=，
∴点P n的坐标为（n）．
15．(2019·广元)如图,AB是 O的直径,点P是BA延长线上一点,过点P作 O的切线PC,切点是C,过点C作弦CD⊥AB于E,连接CO,CB.
(1)求证PD是 O的切线;
(2)若AB＝10,tanB＝1
2
,求PA的长;
(3)试探究线段AB,OE,OP 之间的数量关系,并说明理由.
第23题图
解：(1)连接OD,∵CD ⊥AB,∴CE ＝ED,∴PC ＝PD,∵OC ＝OD,∴△POC ≌△POD,∴∠PDO ＝∠PCO,∵PC 是 O 的切线,∴PC ⊥OC,∠PCO ＝90°,∴∠PDO ＝90°,∴PD ⊥DO,∴PD 是 O 的切线; (2)连接AC,∵tanB ＝
1
2
,∴设AC ＝,则BC ＝2,∵AB ＝10,∴AO ＝CO ＝5,在Rt △ABC 中,由勾股定理可求得AC ＝25,BC ＝45,∴CE ＝4,EO ＝3,∵△COE ∽△POC,∴PO ＝
253,∴AP ＝PO －AO ＝103
; (3)∵△COE ∽△POC,∴CO EO PO CO
,∴CO 2
＝PO ·EO,∵CO ＝2
AB ,∴24AB ＝PO ·EO,即AB 2＝4PO ·EO.
16．（2019浙江省温州市，22，10分）（本题满分10分）
如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，点E 在BC 边上，且CA=CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连结DE 并延长交AB 于点G ，连结CD ，CF ．
（1）求证：四边形DCFG 是平行四边形；
（2）当BE=4，CD=
3
8
AB 时，求⊙O 的直径长．
【解题过程】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF 是⊙O 的直径.
∵ AC=EC ，∴CF ⊥AE.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠AED=90°，即GD ⊥AE ，∴CF ∥DG.
∵ AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形DCFG 为平行四边形；
（2）由CD=
3
8
AB ，可设CD=3,AB=8，∴CD=FG=3. ∵ ∠AOF=∠COD ，∴AF=CD=3，∴BG=8-3-3=2.
∵ GE ∥CF ，∴△BGE ∽△CDE ，∴
2
3
BE BG EG GF ==. 又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴
，∴=1.
在Rt △ACF 中，AF=3，AC=6，∴
O 的直径长为
17.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分) 如图，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D.连接0A. (1)若∠BAC=60°，
①求证：OD=
1
2
OA. ②当OA=1时，求△ABC 面积的最大值.
(1) 点E 在线段0A 上.OE=OD.连接DE ，设∠ABC=m ∠OED.∠ACB=n ∠OED(m ，n 是正数).
若∠ABC ＜∠ACB.求证m-n+2=0 【解题过程】（1）①连接OB 、OC ， 则∠BOD=
BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，
第22题图
∴OD=1
2
OB=
1
2
OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=3
2
，
△ABC面积的最大值=1
2
×BC×AD=
1
2
×2OBsin60°×
3
2
=
4
；
（2）如图2，连接OC，
设∠OED=，则∠ABC=m，∠ACB=n，
则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-m-n=1
2
∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2m，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-m-n+2m=180°+m-n，
∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2，即：180°+m-n=180°-2，化简得：m-n+2=0．
三、解答题
1. （2019·衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为
E.
（1）求证：DE是⊙O的切线。

（2）若DE C=30°，求
»AD的长.
解：（1）证明：如图，连结OD，∵OC=0D.AB-AC，∴∠1=∠C.∠C=∠B.……1分
∴∠1=∠B.…2分
∵DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°.
∴∠2+∠1=90°，…3分
∴∠ODE=90°，…4分
∴DE为⊙O的切线。

（2）连结AD，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°.…5分
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD.
∴∠AOD=60°.…6分
∵DE
，
∴BD=CD=
∴0C=2…7分
∴»AD=1202
180
π⨯=2
3
π。

…8分
21
2. (2019·巴中)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
（1）以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为12,且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标;
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C;
（3）在（2）的条件下,求出点B经过的路径长.
解：（1）如图所示即为所求的△A1B1C,点A1的坐标为(3,－3).
（2）如图所示即为所求的△A2B2C.
（3）点B绕点C顺时针旋转90°,半径为BC
3. (2019·巴中)如图,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
（1）求证DC是e O的切线;
（2）若AC＝4MC且AC＝8,求图中阴影部分的面积;
（3）在②的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.
解：（1）过点O 作OG ⊥CD 于点G,
菱形ABCD 中,AC 是对角线, ∴AC 平分∠BCD, ∵OH ⊥BC, ∴OH ＝OG,
∵OH 是e O 的半径, ∴OG 等于e O 的半径, ∴CD 是e O 的切线.
①
（2）∵AC ＝4MC ，AC ＝8,
∴OC ＝2MC ＝4,MC ＝OM ＝2,∴OH ＝OM ＝2, 在Rt △OHC 中,OH ＝2,OC ＝4,
∴HC ∠HOC ＝HC
OH
∴∠HOC ＝60°,
∴S 阴影＝S △OCH －S 扇形OHM ＝2
16022360CH OH p 鬃鬃-＝－23
. （3）作点M 关于BD 的对称点N,连接HN 交BD 于点P,此时PH+PM 的值最小. ∵ON ＝OM ＝OH,∠MOH ＝60°,
∴∠MNH＝30°,∠MNH＝∠HCM,
∴HN＝HC
＝即PH+PM
的最小值为.
在Rt△NPO中,OP＝ONtan30
在Rt△COD中,OD＝OCtan30
∴PD＝OP+OD
＝
②
4. （2019·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
(1)求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE⋅CA；
(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积.
解：(1)①连接DO，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵DO＝AO，∴∠EAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠ADO，∴BA∥DO，∴∠CDO＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠CDO＝90°，∴BC是⊙O的切线；
②连DE，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠BAD＝∠
DAE，∴∠CDE＝∠DAE，又∵∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAD，∴CD
CA
＝
CE
CD
，∴CD2＝CE⋅CA；
(2)连接OD 、FO 、DF ，∵点F 是劣弧AD 的中点，∴»DF
＝»AF ，∴∠AOF ＝∠DOF ，∠BAD ＝∠ADF ，∵∠BAD ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠ADF ，∴DF ∥AC ，∴∠AOF ＝∠DFO ，又∵∠DFO ＝∠FDO ，∴∠DFO ＝∠FDO ＝∠DOF ＝60°，又∴DF ∥AC ，∴S △DF A ＝S △DFO ,
连DE ，∴△DEO 是等边三角形，∴∠CDE ＝30°＝∠C ，∴CE ＝DE ＝DO ＝3， ∴S 阴影＝S 扇形DFO ＝
16×π×32＝3
2
π. 5. （2019·滨州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．
（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线； （2）求证：BC 2＝4CF •AC ；
（3）若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝15°，求阴影部分的面积．
解：（1）如图所示，连接OD ，
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，而OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝∠C ，
(2)答图
O
F E D
C B A
②①
∵DF ⊥AC ，∴∠CDF +∠C ＝90°，∴∠CDF +∠ODB ＝90°， ∴∠ODF ＝90°，
∴直线DF 是⊙O 的切线．………………………………………………………………………4分 （2）连接AD ，则AD ⊥BC ，则AB ＝AC ， 则DB ＝DC ＝
．………………………………………………………………………………6分
∵∠CDF +∠C ＝90°，∠C +∠DAC ＝90°，∴∠CDF ＝∠DCA ， 而∠DFC ＝∠ADC ＝90°，∴△CFD ∽△CDA ，
∴CD 2＝CF •AC ，即BC 2＝4CF •AC ．…………………………………………………………8分 （3）连接OE ，
∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ， ∴∠AOE ＝120°，
S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝4
，…………12分
S 阴影部分＝S 扇形OAE －S △OAE ＝
×π×42－4
＝－4．………………………13分
6.（2019·无锡）一次函数b kx y +=的图像与轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且
，2
3
sin =
∠ABO △OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为-3. （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积.
解：（1）作 MN ⊥BO ，由垂径定理得 N 为OB 中点，MN =
1
2
OA ，∵MN =3，∴OA =6，即 A （-6，0）. ∵sin ∠ABO
，OA =6，∴OB
， B （0，
），设 y = +b ，将 A 、B
坐标代入得60b k b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩
，
解得b k ⎧=⎪
⎨=
⎪⎩
，∴y
=
； （2）∵第一问解得∠ABO =60°，∴∠AMO =120°， 所以阴影部分面积为S
=(
(
2
2
1
43
ππ⨯-
=-.。