湖北初三初中数学期末考试带答案解析

湖北初三初中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.（2015•潍坊）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2.（2015•兰州）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）
A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15
3.（2015秋•随州期末）下列说法正确的是（）
A．“打开电视任选一频道，播放动画片”是必然事件
B．“任意画出一个正六边形，它的中心角是60°”是必然事件
C．“旋转前、后的图形全等”是随机事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次正面朝上的一定是5次
4.（2015•宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S （单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
5.（2009•赤峰）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的度数是（）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6.（2015•丽水）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）
A．B．C．D．
7.（2015秋•随州期末）如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A ，B 间的距离，有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A ．MN ∥AB
B ．AB=24m
C ．△CMN ∽△CAB
D ．△CMN 与四边形ABMN 的面积之比为1：2
8.（2015秋•随州期末）教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x 名教师，依题意，可列出的方程是（ ）
A ．x （x+1）=240
B ．x （x ﹣1）=240
C ．2x （x+1）=240
D ．x （x+1）=240
9.（2015秋•随州期末）已知两点A （5，6），B （7，2），先将线段AB 向左平移一个单位，再以原点O 为位似中心，将其缩小为原来的得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ ）
A ．（2，3）
B ．（﹣2，﹣3）
C ．（2，3）或（﹣2，﹣3）
D ．（3，3）或（﹣3，﹣3）
10.（2015秋•随州期末）已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac=0；③a ＞2；④方程ax 2+bc+c=﹣2的根为x 1=x 2=﹣1；⑤若点B （﹣，y 1），C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 2＜y 1，其中正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
1.（2015•上虞市模拟）若关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ．
2.（2015秋•随州期末）在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的概率约为30%，估计袋中白球有 个．
3.（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m ．
4.（2015秋•随州期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 ．
5.（2013•德阳）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
6.（2015秋•随州期末）如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴，点C 在y 轴的
正半轴上，点F 再AB 上，点B ，E 在反比例函数y=的图象上，OA=2，OC=6，则正方形ADEF 的边长为 ． 三、解答题 1.（2015秋•随州期末）（1）解方程：2x 2+x ﹣15=0
（2）计算：sin30°﹣sin45°+tan60°﹣cos30°+20160．
2.（2015秋•随州期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，4），B （1，1），C （4，
3）．
（1）请画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后的△A 1BC 1；
（2）求出图（1）中点C 旋转到C 1所经过的路径长（结果保留π）
3.（2015秋•随州期末）在“阳光体育”活动时间，九年级A ，B ，C ，D 四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打一场比赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中A ，C 两位同学进行比赛的概率．
4.（2015秋•随州期末）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长2，钓竿AO 的倾斜角∠ODC 是60°，其长OA 为5米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．
5.（2015秋•随州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+1的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1，过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数y=（k≠0）的图象于点C ，连接BC ．
（1）求反比例函数的表达式及△ABC 的面积；
（2）直接写出当x ＜1时，y=（k≠0）中y 的取值范围．
6.（2014•犍为县一模）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．
7.（2015秋•随州期末）神农尝百草，泡泡青菜便是其中之一，小随同学利用假期开网店批发出售泡泡青菜，他打出促销广告：最优质泡泡青菜35箱，每箱售价30元，若一次性购买不超过10箱时，售价不变；若一次性购买超过10箱时，没多买1箱，所买的每箱泡泡青菜的售价均降低0.3元．已知该青菜成本是每箱20元，若不计其他费用，设顾客一次性购买泡泡青菜x（x为整数）箱时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少箱时，该网店从中获利最多，最多是多少？
8.（2015秋•随州期末）如图，E是四边形ABCD的边AB上一
点．
（1）猜想论证：如图•，分别连接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，试猜想图中哪两个三角形相似，并说明理由．
（2）观察作图：如图‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图‚中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的点E（点E与点A，B 不重合），分别连结ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似（不证明）．（3）拓展探究：如图ƒ，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM
分成的三个三角形相似，请直接写出的值．
9.（2015秋•随州期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）点，动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△DEF的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．
湖北初三初中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.（2015•潍坊）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故正确；
C、是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故错误．
故选B．
【考点】中心对称图形．
2.（2015•兰州）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）
A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15
【答案】C
【解析】方程利用配方法求出解即可．
解：方程变形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，
故选C
【考点】解一元二次方程-配方法．
3.（2015秋•随州期末）下列说法正确的是（）
A．“打开电视任选一频道，播放动画片”是必然事件
B．“任意画出一个正六边形，它的中心角是60°”是必然事件
C．“旋转前、后的图形全等”是随机事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次正面朝上的一定是5次
【答案】B
【解析】根据随机事件以及必然事件的定义即可作出判断．
解：A、“打开电视任选一频道，播放动画片”是随机事件，选项错误；
B、“任意画出一个正六边形，它的中心角是60°”是必然事件，选项正确；
C、“旋转前、后的图形全等”是必然事件，选项错误；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次正面朝上的可能是5次，选项错误．
故选B．
【考点】随机事件．
4.（2015•宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S （单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据储存室的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
解：由储存室的体积公式知：104=Sd，
故储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0）为反比例函数．
故选：A．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
5.（2009•赤峰）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的度数是（）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】连接BC，OB，根据圆周角定理先求出∠C，再求∠BAC．
解：连接BC，OB，
AC是直径，则∠ABC=90°，
PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，则∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圆周角定理知，∠C=∠AOB=70°，
∴∠BAC=90°﹣∠C=20°．
故选B．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
6.（2015•丽水）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD===，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
【考点】锐角三角函数的定义．
7.（2015秋•随州期末）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A，B间的距离，有关他这
次探究活动的描述错误的是（）
A．MN∥AB
B．AB=24m
C．△CMN∽△CAB
D．△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：2
【答案】D
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形
的判定解答即可．
解：∵M、N分别是AC，BC的中点，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，
∵M是AC的中点，
∴CM=MA，
∴CM：CA=1：2，
∴△CMN与△ACB的面积之比为1：4，
即△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：3，
故描述错误的是D选项．
故选：D．
【考点】三角形中位线定理．
8.（2015秋•随州期末）教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（）
A．x（x+1）=240B．x（x﹣1）=240
C．2x（x+1）=240D．x（x+1）=240
【答案】B
【解析】每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程．
解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信．
∴x（x﹣1）=240．
故选B．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
9.（2015秋•随州期末）已知两点A（5，6），B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）
A．（2，3）
B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3）或（﹣2，﹣3）
D．（3，3）或（﹣3，﹣3）
【答案】C
【解析】首先得出A点平移后点的坐标，再利用位似图形的性质得出对应点C的坐标．
解：如图所示：可得A 点平移后对应点A′坐标为：（4，6），
则点A′的对应点C 的坐标为：（2，3）或（﹣2，﹣3）．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
10.（2015秋•随州期末）已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac=0；③a ＞2；④方程ax 2+bc+c=﹣2的根为x 1=x 2=﹣1；⑤若点B （﹣，y 1），C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 2＜y 1，其中正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】①首先根据抛物线开口向上，可得a ＞0；然后根据对称轴在y 轴左边，可得b ＞0；最后根据抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，可得c ＞0，据此判断出abc ＞0即可．
②根据二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象与x 轴只有一个交点，可得△=0，即b 2﹣4a （c+2）=0，b 2﹣4ac=8a ＞0，据此解答即可．
③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a ，然后根据b 2﹣4ac=8a ，确定出a 的取值范围即可．
④根据顶点为（﹣1，0），可得方程ax 2+bc+c=﹣2的有两个相等实根，
⑤根据点BC 在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大来判断即可．
解：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0， ∵对称轴在y 轴左边， ∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c+2＞2， ∴c ＞0， ∴abc ＞0， ∴结论①正确； ∵二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象与x 轴只有一个交点，
∴△=0，
即b 2﹣4a （c+2）=0，
∴b 2﹣4ac=8a ＞0，
∴结论②不正确；
∵对称轴x=﹣=﹣1，
∴b=2a ， ∵b 2﹣4ac=8a ，
∴4a 2﹣4ac=8a ，
∴a=c+2， ∵c ＞0， ∴a ＞2， ∴结论③正确；
∵二次函数y=ax 2+bx+c+2的顶点为（﹣1，0），
∴方程ax 2+bx+c+2=0的根为x 1=x 2=﹣1；
∴结论④正确； ∵x ＞﹣1，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＞y 2，
∴结论⑤正确．
综上，可得正确结论的个数是2个：①③④⑤．
故选C ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
二、填空题
1.（2015•上虞市模拟）若关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k≤1且k≠0．
【解析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，
∴根的判别式△=b 2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0．
即k≤1且k≠0．
故答案是：k≤1且k≠0．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
2.（2015秋•随州期末）在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的概率约为30%，估计袋中白球有 个．
【答案】3
【解析】根据摸到白球的概率公式=40%，列出方程求解即可．
解：不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有10个小球，其中白色小球x 个，
根据古典型概率公式知：P （白色小球）==30%，
解得：x=3．
故答案为：3．
【考点】利用频率估计概率．
3.（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m ．
【答案】0.8．
【解析】过O 点作OC ⊥AB ，C 为垂足，交⊙O 于D ，连OA ，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m ，再在Rt △AOC 中，利用勾股定理可求出OC ，即可得到CD 的值，即水的深度．
解：如图，过O 点作OC ⊥AB ，C 为垂足，交⊙O 于D 、E ，连OA ，
OA=0.5m ，AB=0.8m ，
∵OC ⊥AB ， ∴AC=BC=0.4m ，
在Rt △AOC 中，OA 2=AC 2+OC 2，
∴OC=0.3m ，
则CE=0.3+0.5=0.8m ，
故答案为：0.8．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
4.（2015秋•随州期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】y=（x ﹣2）2﹣1． 【解析】先确定抛物线y=x 2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据点平移的规律点（0，﹣4）平移后得到点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
解：抛物线y=x 2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把点（0，﹣4）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（2，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x ﹣2）2﹣1．
故答案为y=（x ﹣2）2﹣1．
【考点】二次函数图象与几何变换．
5.（2013•德阳）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【解析】利用底面周长=展开图的弧长可得．
解：
，解得r=． 故答案为：．
【考点】弧长的计算．
6.（2015秋•随州期末）如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴，点C 在y 轴的正半轴上，点F 再AB 上，点B ，E 在反比例函数y=的图象上，OA=2，OC=6，则正方形ADEF 的边长为 ．
【答案】﹣1
【解析】先确定B 点坐标（2，6），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=12，则反比例函数解析式为y=，设AD=t ，则OD=2+t ，所以E 点坐标为（2+t ，t ），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（2+t ）•t=12，利用因式分解法可求出t 的值．
解：∵OA=2，OC=6，
∴B 点坐标为（2，6）， ∴k=2×6=12，
∴反比例函数解析式为y=，
设AD=t ，则OD=2+t ，
∴E 点坐标为（2+t ，t ）， ∴（2+t ）•t=12，
整理为t 2+2t ﹣12=0，
解得t 1=﹣1+（舍去），t 2=﹣1﹣，
∴正方形ADEF 的边长为﹣1．
故答案为：﹣1．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
三、解答题
1.（2015秋•随州期末）（1）解方程：2x 2+x ﹣15=0
（2）计算：sin30°﹣sin45°+tan60°﹣cos30°+20160．
【答案】（1）x 1=，x 2=﹣3；（2）．
【解析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把各个角的函数值代入，再求出即可．
解：（1）2x 2+x ﹣15=0，
（2x ﹣5）（x+3）=0，
2x ﹣5=0，x+3=0，
x 1=，x 2=﹣3；
（2）原式=﹣
×+﹣+1
=． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．
2.（2015秋•随州期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，4），B （1，1），C （4，
3）．
（1）请画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后的△A 1BC 1；
（2）求出图（1）中点C 旋转到C 1所经过的路径长（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）π．
【解析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、C 的对应点A 1、C 1即可得到△A 1BC 1；
（2）由于点C 旋转到C 1所经过的路径为以B 为圆心，BC 为半径，圆心角为90度的弧，所以利用弧长公式可计算出点C 旋转到C 1所经过的路径长．
解：（1）如图，△A 1BC 1为所作；
（2）BC==，
所以点C 旋转到C 1所经过的路径长=
=π． 【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．
3.（2015秋•随州期末）在“阳光体育”活动时间，九年级A ，B ，C ，D 四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打一场比赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中A ，C 两位同学进行比赛的概率．
【答案】．
【解析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中A ，C 两位同学进行比赛的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中A ，C 两位同学进行比赛的结果数为2，
所以选中A ，C 两位同学进行比赛的概率==．
【考点】列表法与树状图法．
4.（2015秋•随州期末）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长2，钓竿AO 的倾斜角∠ODC 是60°，其长OA 为5米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距
离．
【答案】浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为3米．
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB ﹣∠ACD=90°，解Rt △ACD ，得出
AD=AC•tan ∠ACD=2米，CD=2AD=3米，再证明△BOD 是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=7米，然后根据BC=BD ﹣CD 即可求出浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．
解：∵AO 的倾斜角是60°，
∴∠ODB=60°． ∵∠ACD=30°， ∴∠CAD=180°﹣∠ODB ﹣∠ACD=90°．
在Rt △ACD 中，AD=AC•tan ∠ACD=2×=2（米），
∴CD=2AD=4米，
又∵∠O=60°，
∴△BOD 是等边三角形， ∴BD=OD=OA+AD=2+5=7（米）， ∴BC=BD ﹣CD=7﹣4=3（米）．
答：浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为3米．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
5.（2015秋•随州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+1的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1，过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数y=（k≠0）的图象于点C ，连接BC ．
（1）求反比例函数的表达式及△ABC 的面积；
（2）直接写出当x ＜1时，y=（k≠0）中y 的取值范围．
【答案】（1）y=，S △ABC =AC•BD=×4×3=6；（2）当x ＜0时，y ＜0．
【解析】（1）先由一次函数y=3x+1的图象过点B ，且点B 的横坐标为1，将x=1代入y=3x+1，求出y 的值，得到点B 的坐标，再将B 点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；根据一次函数y=3x+1的图象与y 轴交于点A ，求出点A 的坐标为（0，1），再将y=1代入y=，求出x 的值，那么AC=4．过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=y B ﹣y C =4﹣1=3，然后根据S △ABC =AC•BD ，将数值代入计算即可求解；
（2）根据x ＜1时，得到，于是得到y 的取值范围．
解：（1）∵一次函数y=3x+1的图象过点B ，且点B 的横坐标为1，
∴y=3×1+1=4， ∴点B 的坐标为（1，4）．
∵点B 在反比例函数y=的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵一次函数y=3x+1的图象与y 轴交于点A ， ∴当x=0时，y=1， ∴点A 的坐标为（0，1）， ∵AC ⊥y 轴，
∴点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，是1，
∵点C 在反比例函数y=的图象上，
∴当y=1时，1=，解得x=4，
∴AC=4．
过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=y B ﹣y C =4﹣1=3，
∴S △ABC =AC•BD=×4×3=6；
（2）由图形得：∵当0＜x ＜1时，
，
∴y ＞4， 当x ＜0时，y ＜0．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
6.（2014•犍为县一模）如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB ，分别交于点D 、E ，且∠CBD=∠A ；
（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD ：AO=6：5，BC=2，求BD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）BD=．
【解析】（1）结论：BD 是圆的切线，已知此线过圆O 上点D ，连接圆心O 和点D （即为半径），再证垂直即可；
（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD 的度数，在Rt △BCD 中求解即可．
解：（1）直线BD 与⊙O 相切．（1分）
证明：如图，连接OD ．
∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90° ∴∠ODB=90° ∴直线BD 与⊙O 相切．（2分）
（2）解法一：如图，连接DE ．
∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE=90° ∵AD ：AO=6：5 ∴cosA=AD ：AE=3：5（3分） ∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos ∠CBD=BC ：BD=3：5（4分）
∵BC=2，BD=
； 解法二：如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ．
∴AH=DH=AD
∵AD ：AO=6：5 ∴cosA=AH ：AO=3：5（3分） ∵∠C=90°，∠CBD=∠A ∴cos ∠CBD=BC ：BD=3：5， ∵BC=2，
∴BD=．
【考点】直线与圆的位置关系；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
7.（2015秋•随州期末）神农尝百草，泡泡青菜便是其中之一，小随同学利用假期开网店批发出售泡泡青菜，他打
出促销广告：最优质泡泡青菜35箱，每箱售价30元，若一次性购买不超过10箱时，售价不变；若一次性购买超
过10箱时，没多买1箱，所买的每箱泡泡青菜的售价均降低0.3元．已知该青菜成本是每箱20元，若不计其他
费用，设顾客一次性购买泡泡青菜x（x为整数）箱时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少箱时，该网店从中获利最多，最多是多少？
【答案】（1）y=，
（2）顾客一次购买22箱时，该网站从中获利最多，最多是140.8元．
【解析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；
（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．
解：（1）y=，
（2）在0≤x≤10时，y=10x，当x=10时，y有最大值100；
在10＜x≤35时，y=﹣0.3x2+13x，
当x=21时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值140.8．
∵140.8＞100，
∴顾客一次购买22箱时，该网站从中获利最多，最多是140.8元．
【考点】二次函数的应用．
8.（2015秋•随州期末）如图，E是四边形ABCD的边AB上一
点．
（1）猜想论证：如图•，分别连接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，试猜想图中哪两个三角形相似，并说明
理由．
（2）观察作图：如图‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小
正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图‚中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的
点E（点E与点A，B 不重合），分别连结ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似（不证明）．
（3）拓展探究：如图ƒ，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM 分成的三个三角形相似，请直接写出的值．
【答案】（1）△ADE∽△BEC；（2）见解析；（3）=．
【解析】（1）△ADE∽△BEC，理由为：利用三角形内角和定理及邻补角定义得到一对角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）如图②a与图②b所示，点E为所求的点；
（3）由点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到三个角相等，再由折
叠的性质得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用锐角三角函数定义求出所求式子
比值即可．
解：（1）△ADE∽△BEC，理由为：
∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠DEA=115°，
∵∠DEC=65°，
∴∠BEC+∠DEA=115°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）作图如下：
（3）∵点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，
∴DC=CE=AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE==cos30°，
∴=．
【考点】相似形综合题．
9.（2015秋•随州期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）点，动点D从
原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△DEF的面积最大？
最大面积是多少？
（3）当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N点
的坐标，若不存在，请说明理由．
=2；（3）N点的坐标（2，2），（2，1），（2，【答案】（1）y=x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）当t=2时，S
最大
），（2，）．
【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得N点坐标．
解：（1）将A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3，
配方，得y=（x﹣2）2﹣1，顶点P的坐标为（2，﹣1）；
（2）如图1
，
由题意，得
CE=t，OE=3﹣t，FE=4﹣t，OD=t．
S=FE•OD=（4﹣t）t=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2，
当t=2时，S
=2；
最大
（3）当△DEF的面积最大时，E（1，0），设N（2，a），
BN2=4+（a﹣3）2，EN2=1+a2，BE2=1+9=10，
①当BN2+EN2=BE2时，4+9﹣6a+a2+a2+1=10，化简，得
a2﹣3a+2=0，解得a=2，a=1，N（2，2），N（2，1）；
②当BN2+BE2=EN2时，4+9﹣6a+a2+10=1+a2，化简，得
6a=22，解得a=，N（2，）；
③当BE2+EN2=BN2时，1+a2+10=4+9﹣6a+a2，
化简，得
6a=2，解得a=，N（2，），
综上所述：N点的坐标（2，2），（2，1），（2，），（2，）．【考点】二次函数综合题．。