2017届高三数学(全国,文)一轮复习滚动检测 综合检测(一) 含解析

高三单元滚动检测卷·数学
考生注意:
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
综合检测（一)
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果复数z＝错误!，则( ）
A．｜z｜＝2 B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
2．等比数列｛a n｝中，a1＝1，q＝2，则T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!的结果为（)
A．1－错误!B．1－错误!
C。

错误!错误!D。

错误!错误!
3．已知研究x与y之间关系的一组数据如下表所示，则y对x的回归直线方程错误!＝错误!x＋错误!必过点( )
x0123
y1357
A.(1,2) B。

错误!
C．(2,2) D.错误!
4．设M是△ABC边BC上任意一点，且2错误!＝错误!,若错误!＝λ错误!＋μ
错误!，则λ＋μ的值为( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!D．1
5．下面图（1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16
号同学的成绩依次为A1、A2、…、A16，图(2）是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）
图（1）
图（2）
A．6 B．10
C．91 D．92
6．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中共有▲的个数是（）A．64 B．63
C．62 D．61
7．已知集合错误!表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y），则点P的坐标满足不等式x2＋y2≤2的概率为( ）
A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
8．设函数f（x）＝log a|x|在（－∞，0)上单调递增，则f（a＋1)与f(2）的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f（2）B．f（a＋1)〈f（2)
C．f(a＋1）＝f（2）D．不能确定
9．（2015·大连模拟）已知双曲线C：错误!－错误!＝1 (b〉0）的一条渐近线方程为y＝错误!x，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上的一点，｜PF1|∶｜PF2｜＝3∶1，则|错误!＋错误!｜的值是( ）
A．4 B．2错误!
C．2错误!D。

错误!
10．（2015·南平模拟）某小学数学组组织了“自主招生选拔赛”，并从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩分为六组［40,50），[50,60）,…，[90，100］,其部分频率分布直方图如图所示，观察图形,从成绩在[40,50)和[90，100］的学生中随机选两个人，则他们在同一分数段的概率是( )
A。

错误!B。

错误!
C。

3
10
D。

错误!
11．设△ABC的外接圆的圆心为O,两边上的高的交点为H，若错误!＝
m（OA→＋错误!＋错误!），则m等于（）
A。

错误!B。

错误!
C．1 D．2
12．（2015·济源模拟)已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是( ）A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知双曲线错误!－错误!＝1 （a〉0,b〉0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上,且｜PF1|＝2 016｜PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
14．给出定义：设f′(x）是函数y＝f(x）的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点（x0，f(x0))为函数y ＝f（x)的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数f(x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0)都有“拐点”，且该“拐点"也为该函数的对称中心．若f（x)＝x3－错误!x2＋错误!x＋1，则f错误!＋f错误!＋…＋f错误!＝________。

15．设S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＊)，且S n＋1·S n＋2＝错误!，则n的值是________．
16．以下给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015·北京西城区二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ）＋3cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示,其中ω>0,φ∈错误!。

（1)求ω与φ的值；
（2)若f错误!＝错误!,求错误!的值．
18．（12分)已知f（x)＝e x－ax－1.
（1)求f(x）的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
19．(12分）（2015·北京海淀区期末)如图1，在直角梯形ABCD 中,AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC 的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E，F分别为棱PC,CD的中点．
（1）求证：平面OEF∥平面APD；
（2)求证：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．
20．(12分)在数学趣味知识培训活动中,甲、乙两名学生的5次培训成绩如茎叶图所示．
(1）从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛,你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(2）从乙的5次培训成绩中随机选2个，试求选到121分的概率．
21．（12分）已知数列｛a n｝，其前n项和是S n且S n＋错误!a n＝1 (n∈N ＊)．
（1）求数列{a n｝的通项公式;
（2)设b n＝log3（1－S n＋1) （n∈N*），求使方程错误!＋错误!＋…＋错误!＝25
成立的正整数n的值．
51
22．(12分)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1),焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋2错误!＝0的距离为3。

（1)求椭圆的标准方程;
（2）设直线y＝kx＋m（k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
答案解析
1．C [由z＝错误!＝错误!＝－1－i，所以|z|＝错误!，z的实部为－1,z 的虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i。

］
2．C ［依题意，知a n＝2n－1，错误!＝错误!＝错误!＝错误!×错误!，所以T n ＝错误!
＝错误!错误!,选C。

］
3．D [由题可知，y对x的回归直线方程错误!＝错误!x＋错误!必过定点(错误!，错误!)，由表格可知，错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!＝4，所以错误!＝错误!x＋错误!必过点错误!。

]
4．B ［因为M是△ABC边BC上任意一点,设错误!＝m错误!＋n错误!，且m＋n＝1，又错误!＝错误!错误!＝错误!（m错误!＋n错误!)＝λ错误!＋μ错误!，所
以λ＋μ＝13
（m ＋n )＝错误!.］ 5．B [由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B 。

］
6．C ［前n 个▲中所包含的所有三角
形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝错误!，由错误!
＝2 015，解得n ＝62.]
7．D ［满足不等式组的区域如图
△ABO 内部(含边界),由于直线y ＝x 与y ＝－x
垂直，△ABO 与圆x 2＋y 2＝2的公共部分如图阴影部分是错误!圆，则点P 落在圆x 2＋y 2≤2内的概率为P ＝错误!＝错误!＝错误!.］
8．A [由已知得0〈a 〈1,所以1〈a ＋1<2,根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x ）在(0，＋∞）上单调递减，所以f （a ＋1)〉f (2）．]
9．C [由渐近线方程得错误!＝错误!，又a ＝2,所以b ＝错误!,故c ＝错误!。

设｜PF 1|＝3k ，｜PF 2|＝k ，则由双曲线定义知3k －k ＝4，k ＝2，所以｜PF 1|＝6，｜PF 2｜＝2,可判断∠F 1PF 2＝90°，所以以错误!、错误!为邻边的四边形为矩形，所以|错误!＋错误!|＝2错误!.］
10．A ［由频率分布直方图知，成绩在［40，50）的学生人数为
60×0。

01×10＝6，成绩落在区间［90，100］上的人数为60×0.005×10＝3,
从成绩在[40,50)和［90，100]的学生中随机选两个人，
则共有36种情况，
从中选出的两人在同一分数段，共有18种情况，则他们在同一分数段的概率是P＝错误!＝错误!.］
11．C [取∠A＝90°，则点A、H重合且O为BC的中点，
∴错误!＋错误!＝0，∴错误!＝m错误!，∴m＝1.］
12．B ［设P(x,y),错误!＝(－c－x，－y)，错误!＝（c－x，－y），由PF1⊥PF2，得错误!⊥错误!＝0，即（－c－x，－y）·（c－x，－y）＝x2＋y2－c2＝x2＋b2错误!－c2＝错误!＋b2－c2＝0，∴x2＝错误!≥0,∴c2－b2≥0，∴2c2≥a2，∴e≥错误!。

又∵e〈1，∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!。

］
13.2 017 2 015
解析由题意得|PF1｜＋｜PF2|≥2c，|PF1|－|PF2|＝2a，e≤错误!＝错误!＝错误!。

14．2 015
解析由f(x）＝x3－错误!x2＋错误!x＋1,
得f′(x)＝3x2－3x＋1
2
，
∴f″(x）＝6x－3，由f″(x）＝6x－3＝0，得x＝错误!，
又f错误!＝1，∴f（x)的对称中心为错误!,
∴f（1－x）＋f(x)＝2,
∴f错误!＋f错误!＝f错误!＋f错误!＝…＝f错误!＋f错误!＝f错误!＋f错误!＝2，
∴f错误!＋f错误!＋…＋f错误!
＝2×1 007＋1＝2 015。

15．5
解析∵S n＋1＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝(1－错误!）＋(错误!－错误!)＋…＋（错误!－错误!)＝1－错误!＝错误!，
∴S n＋2＝错误!。

∴S n＋1·S n＋2＝错误!＝错误!，解得n＝5。

16．i≤10？
解析这是一个循环结构，s＝0，n＝2,i＝1，其中变量i是计数变量,它应使循环体执行10次,因此条件应是i≤10?.
17．解（1)f（x)＝2sin（ωx＋φ＋错误!）．
设f（x）的最小正周期为T。

由图象可得错误!＝错误!－错误!＝错误!，所以T＝π,ω＝2.
由f（0）＝2，得sin错误!＝1，
因为φ∈错误!，所以φ＝错误!。

（2)f（x)＝2sin错误!＝2cos 2x.
由f错误!＝2cos 错误!＝错误!，得cos 错误!＝错误!，
所以cos α＝2cos2错误!－1＝错误!.
所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

18．解(1)∵f(x）＝e x－ax－1，∴f′(x）＝e x－a,
令f′（x）≥0，得e x≥a.
当a≤0时，有f′(x）>0在R上恒成立，
当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f（x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，
当a〉0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
（2）∵f(x)＝e x－ax－1，∴f′(x）＝e x－a。

∵f（x)在R上单调递增，
∴f′(x）＝e x－a≥0恒成立，
即a≤e x,x∈R恒成立．
∵x∈R时，e x∈（0，＋∞)，∴a≤0。

即a的取值范围为（－∞，0］．
19．(1)证明因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC
上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.
因为AB＝BC，所以O是AC的中点，所以OE∥PA。

同理OF∥AD.
又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A，
所以平面OEF∥平面APD.
(2)证明因为OF∥AD，AD⊥CD,所以OF⊥CD。

又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，所以PO⊥CD.
又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.
（3）解存在，事实上记点E为M即可．
因为CD⊥平面POF，PF⊂平面POF，
所以CD⊥PF。

又E为PC的中点，所以EF＝错误!PC,
同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝错误!PC，
所以点E到四个点P,O，C，F的距离相等．
20．解(1）甲、乙两人的平均成绩分别是
x甲＝错误!＝110，
＝错误!＝110，
错误!乙
甲、乙两人成绩的方差分别是
s2甲＝错误![（98－110）2＋（106－110）2＋（109－110)2＋（118－110)2
＋(119－110)2］＝错误!，
s 错误!＝错误![（102－110）2＋(102－110)2＋(111－110）2＋（114－110)2
＋(121－110）2］＝2665
. 由错误!甲＝错误!乙，s 错误!〉s 错误!，可知甲和乙成绩的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥比甲稳定，故选择乙．
(2)从乙的5次培训成绩中随机选2个，共有10个基本事件，分别是｛102,102｝，{102，111},{102,114},{102,121}，{102,111},｛102,114｝，{102，121｝,{111,114｝，{111,121｝，{114,121},其中选到121分的基本事件有4个，故选到121分的概率是错误!＝错误!。

21．解 （1）当n ＝1时,a 1＝S 1，
由S 1＋错误!a 1＝1,得a 1＝错误!.
当n ≥2时,因为S n ＝1－错误!a n ，S n －1＝1－错误!a n －1，
所以S n －S n －1＝错误!(a n －1－a n ）,即a n ＝错误!（a n －1－a n ）,
所以a n ＝错误!a n －1 （n ≥2),
所以{a n ｝是以错误!为首项，错误!为公比的等比数列．
故a n ＝错误!·错误!n －1＝2·错误!n （n ∈N ＊）．
（2)由于1－S n ＝错误!a n ＝错误!n ，
故b n ＝log 3（1－S n ＋1）＝log 3错误!n ＋1＝－n －1，
1
b n b n ＋1＝
1
n＋1n＋2＝
1
n＋1－错误!，
则错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!－错误!。

由错误!－错误!＝错误!,解得n＝100.
22．解（1)依题意可设椭圆方程为错误!＋y2＝1,则右焦点F（a2－1，0)，
由题设错误!＝3,解得a2＝3。

∴所求椭圆的标准方程为错误!＋y2＝1.
（2)设P（x P，y P)，M(x M,y M）,N(x N，y N)，
P为弦MN的中点，
由错误!得(3k2＋1）x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝（6mk)2－4（3k2＋1)×3（m2－1）〉0
⇒m2<3k2＋1.①
∴x P＝错误!＝－错误!,
从而y P＝kx P＋m＝错误!，
∴k AP＝错误!＝－错误!，
又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－错误!＝－错误!，即2m＝3k2＋1。

②
把②代入①，得m2〈2m，解得0<m<2;由②，得k2＝错误!>0，解得m>错误!.
综上，求得m的取值范围是错误!<m〈2。