函数单调性的应用本科毕业论文.doc

安阳师范学院人文管理学院
本科毕业论文（设计）
学号：
函数单调性的应用
摘要
函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。

本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的范围等。

所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。

关键词：函数单调性，判别，导数，应用
Abstract
Monotonic function not only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis what’s the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance.
Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application
目录
1、前言 (1)
2、函数单调性的基础理论 (1)
2.1 函数单调性的基本概念 (1)
2.2 函数单调性的常用定理与性质 (3)
3、函数单调性的判别 (7)
3.1 初等数学中函数单调性的判别 (7)
3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性 (8)
4、函数单调性的解题应用 (8)
4.1 单调性在求极值、最值中的应用 (8)
4.2 单调性在不等式中的应用 (14)
4.3 单调性在求方程解问题中的应用 (15)
4.4 单调性在化简求值方面的应用 (16)
4.5 单调性在比较大小方面的应用 (17)
5、函数单调性在实际生活中的应用 (17)
5.1 单调性在材料合理利用中的应用 (17)
5.2 单调性在生产利润中的应用 (18)
5.3 单调性在结构工程中的应用 (20)
5.4 单调性在优化路径中的应用 (21)
6、结论 (22)
致谢 (23)
参考文献 (24)
1、前 言
单调性是近代数学的重要基础，是联系初等数学与高等数学的重要纽带。

研究函数在无限变化中的变化趋势，从有限认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，都要用到单调性。

它的引入为解决相关数学问题提供了新的视野，为研究函数的性质、证明不等式、求解方程、比较大小等方面提供了有力的工具。

本文将在已有文献的基础之上，总结单调性在解决数学问题中的相关应用，并且探讨单调性在利润最大化、材料优化、资源整合和路径选择等方面的应用。

2、函数单调性的基础理论
2.1 函数单调性的基本概念
2.1.1 函数单调性的定义
一般地，设函数()f x 的定义域为I ：
如果对属于I 内某个区间上的任意两个自变量12,x x ,当12x x <时,都有()()12f x f x <，
那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

如果对属于I 内某个区间上的任意两个自变量12,x x ,当12x x <时,都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

若函数在这一区间具有(严格的)单调性,则就说函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，这一区间叫做函数的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数。

2.1.2 函数单调性的意义
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

函数的这一性质在解决函数求极值、比较大小、求解方程的根、解不等式等问题时都有很大的帮助，在现实生活中，例如在经济领域中如何实现利润最大化，在工程领域中如何计算材料的极限强度，在航空领域中计算航空器回收落地时间等等，函数单调性都有很重要的应用。

2.1.3 函数单调性的理解
(1) 图形理解
在区间D 上，()f x 的图像上升（或下降）⇔()f x 是区间D 上的增函数（或减函数）。

例1 证明函数]1,01)(在区间（x
x x f +=上是减函数。

证明：设12,x x 是区间]1,0(上的任意实数，且12x x <，则
1212121212
21121212121111()()()()()1()()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+-+=-+--=-+
=-- 1212121212
1212121010,01, 10,01,1()(1)0, ()()0.x x x x x x x x x x x x f x f x x x <<≤∴-<<<∴-
<<<∴-->->又即 (]1212()()1(0),x x f x f x f x <>因为当时，有，在区间上
所以单调递减。

图像如下:
(2) 正向理解（定义理解）
)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且)(
)(212
1x f x f x x <⇒<；)(x f 在区间D 上单
图1.1.1
x ②减函数图像 x ①增函数图像
调递减，D x x ∈21,,且)()(2121x f x f x x >⇒<。

例2 设函数)(x f y =在()2,0上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，确定
)2
7(),25(),1(f f f 的大小关系。

解： 函数)2(+=x f y 是偶函数，∴)2()2(x f x f +=-，)2
3()25()21()27(f f f f ==∴，， 又因为)(x f 在）（2,0上是增函数，且23121<<13()(1)(),22
f f f ∴<<即 75()(1)()22
f f f << (3) 逆向理解
)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且2121)()(x x x f x f <⇒<；)(x f 在区间D 上单调递减，D x x ∈21,,且2121)()(x x x f x f <⇒>。

例3 已知奇函数)(x f 是定义在[]11，-上的减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。

解：由已知可知，)1()1(2a f a f --<-，又 )(x f 是奇函数 ∴2(1)(1)f a f a -<-。

)(x f 是定义在[]11，-上的减函数， 11112≤-<-≤-∴a a ，解得10<≤a 。

(4) 导数理解
设函数)(x f 在区间D 内可导，若'()0f x <，则)(x f 是减函数；若'()0f x >，则)(x f 是增函数。

反之，若函数)(x f 是增函数，则'()0f x ≥；若函数)(x f 是减函数，则'()0f x ≤。

例4 函数x ax x f -=3)(在()+∞∞-,是减函数，求a 的取值范围。

解：)(x f 在R 上递减，'2()310f x ax ∴=-<恒成立，则
(1) 当0=a 时，'()10f x =-<，满足条件。

(2) 当0≠a 时，只须满足0120<=∆<a a 且即可。

综上所述得0≤a .
2.2 函数单调性的常用定理和性质
2.2.1 最值定理
对于在区间I 上有定义的函数)(x f ,如果有I x ∈0,使得对于0x I ∀∈,都有
)()(0x f x f ≤(或)()(0x f x f ≥)，则称)(0x f 是函数)(x f 在区间I 上的最大值(或最小值)。

例1 求函数x x f sin 1)(+=在区间[]π2,0上的最大值和最小值。

解：由三角函数x sin 的性质可知,当2π=x 时，函数()x sin 取得最大值12sin =⎪⎭
⎫ ⎝⎛π；当23π=x 时，函数()x sin 取得最小值12sin -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-π.故函数)(x f 的最大值为2，最小值为0。

定理1（最大、最小值定理）若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有最大值与最小值。

如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么至少有一点[]b a ,1∈ξ，使)(1ξf 是)(x f 在[]b a ,上的最大值，又至少有一点[]b a ,2∈ξ，使)(2ξf 是)(x f 在[]b a ,上的最小值。

注意，不是任何函数都有最大值和最小值。

例如函数x x f =)(在开区间()b a ,内既无最大值又无最小值。

2.2.2 有界性定理
根据定理1可知，函数)(x f 在其连续区间[]b a ,上一定存在最大值M 和最小值m ，使任一[]b a x ,∈满足M x f m ≤≤)(。

该式表明，函数)(x f 在区间[]b a ,上有上界M 和下界m ，因此函数)(x f 在区间[]b a ,上有界。

定理2 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界。

2.2.3 零点定理
定理3 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号，那么在开区间()b a ,内
至少有一点ξ，使0)(=ξf 。

例2 证明方程0123=+-x x 在区间()1,1-内至少有一个根。

证明：设1)(23+-=x x x f ，则)(x f 在闭区间[]1,1-上连续，并且01)1(<-=-f ， 01)1(>=f ，根据零点定理，在区间()1,1-内至少有一点ξ，使得0)(=ξf 。

从而说明了方程0123=+-x x 在区间()1,1-内至少有一个根ξ。

2.2.4 介值性定理
定理4 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且)()(b f a f ≠，若µ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数(()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>)，则至少存在一点0x ）
（b a ,∈,使得0()f x μ=。

2.2.5 极值的判定定理
若函数()f x 在点0x 的某邻域)(0x U 内对一切∈x )(0x U 有)()(0x f x f ≥）（)()(0x f x f ≤，
则称函数()f x 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点。

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

函数极大值和极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的极值点，那只就0x 附近的一个局部范围来说，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()f x ≤0()f x 则0()f x 是函数()f x 的一个极大值；如果对0x 附近的所有的点，都有()f x ≥0()f x ，则0()f x 是函数()f x 的一个极小值, 对应的极值点就是（0x ，0()f x ）。

如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不一定就是最大值或最小值。

定理5（费马定理）
设函数()f x 在点0x 的某领域内有定义，且在点0x 可导。

若点0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=。

定理6（极值的第一充分条件）
设()f x 在0x 点处连续，在某领域00(;)U x δ内可导。

（1） 若00(,)x x x δ∈-时，0≤'）（x f ，当00(,)x x x δ∈+时0)(≥'x f ，则()f x 在点0x 取
得极小值；
（2） 若00(,)x x x δ∈-时，0)(≥'x f ，当00(,)x x x δ∈+时0≤'）（x f ，则()f x 在0x 处取得极大值。

例3 判断函数212(2sin ),0()2,
0x x f x x x ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在）（0o U ∀的单调性。

解：函数()f x ,2)0(0==f x 处取得极大值在）内（
但在00U ∀ 11()2(2sin )cos f x x x x
'=-++ 有正有负，的左右两侧都不单调在从而0)(=x x f 。

定理7（极值的第二充分条件）
设函数()f x 在0x 的某领域）（δ;0x U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0()0f x '=，0()0f x ''≠。

（1）当0()0f x ''<，则函数()f x 在0x 处取得极大值；
（2）当0()0f x ''>，则函数()f x 在0x 处取得极小值。

证明：在情形（1），由于0()0f x ''<，按二阶导数的定义有
000()()()lim 0x x f x f x f x x x →''-''=<- 根据函数极限的局部保号性，存在0x 的某个去心邻域）（δ;0x U ，在该邻域内有
00
()()0f x f x x x ''-<-； 则在0x x <时，0)(>'x f ，在0x x >时，0)(<'x f 。

由极值的定义可知，函数()f x 在0x 处取得极大值。

同理，可证明（2）当0()0f x ''>，函数()f x 在0x 处取得极小值。

例4 设函数)(x y y =由方程x y y +='2所确定，且()00='x y 。

问)(x y y =在0x 处是否取得极值？若取得极值，是极大值还是极小值？
解：因为0)()(2=--'x x y x y ，所以01)()(2)(=-'-''x y x y x y ，即
1)()(2)(+'=''x y x y x y
又 0)(011)()(2)(0000='>=+'=''x y x y x y x y ，，处取得极小值在0)(x x y ∴。

3、函数单调性的判别
3.1 初等数学中函数单调性的判别
在最初对函数的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、分段函数等。

在对这些函数的学习中我们主要结合了函数的图像来判断函数的单调性。

3.1.1 一次函数单调性的判别
一次函数的解析式：()f x ax b =+
当0>a 时，对应定义域内图像是上升的：
当0<a 时，对应定义域内图像是下降的；
当0=a 时，一次函数变成为常数，不讨论单调性。

3.1.2 二次函数单调性的判别
二次函数的解析式2()f x ax bx c =++，其图形形式为抛物线。

其中当0>a 时，抛物线开口向上，当抛物线在2b x a
=-时，函数有最小值2=4b y c a -，即在(,]2b a -∞-上为单调递减函数；其中当0<a 时，抛物线开口向上，当抛物线在2b x a
=-时，函数有最大值2=4b y c a -，即在[,)2b a -+∞上为单调递增函数。

3.1.3 指数函数单调性的判别
指数函数的一般解析式()x f x a =,其中0>a 且过点（0,1）。

其中当10<<a 时，函数在定义域内为单调递减函数,其中当1>a 时，函数在定义域内为单调递增函数。

10<<a 时，a 的值越小函数值下降越快；1>a 时，a 的值越大数值增加越快。

3.1.4 对数函数单调性的判别
对数函数的一般解析式()log a f x x =,其中0>a 且过点()1,0。

其中当10<<a 时，函数在定义域内为单调递减函数，其中当1>a 时，函数在定义域内为单调递增函数。

当10<<a 时,a 的值越小函数值下降越快；当1>a 时,a 的值越大函数值增加越快。

3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性
设函数()y f x =在0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（在点x x ∆+0仍在邻域内）时，相应地函数取得增量=∆y 00()()f x x f x +∆-；如果y ∆与x ∆之比，在0→∆x 时的极限存在，这称函数()y f x =在点0x 处可导，并且称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()'()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。

导数体现在单调性上就是导数的几何意义：函数()y f x =在点0x 的导数0'()f x 在几何上表示曲线()y f x =在点00M(,())x f x 处的切线的斜率，即0'()tan f x α=，其中α是切线的 的倾角。

也就是说若导数大于零，则函数单调增加，若导数小于零，则函数单调减小。

例1 求证：当20π
<<x 时，x x x 2tan sin >+。

证明：令x x x x f 2tan sin )(-+=，则2sec cos )(2-+='x x x f ，则
23()2sec tan sin sin (2sec 1)0f x x x x x x ''=-=->
故)(x f '在）（2
,0π上单调递增，从而当20π<<x 时，0)0()(='>'f x f ，于是)(x f 在）（2
,0π 上单调递增，0)0()(=>f x f ，即x x x 2tan sin >+。

4、 函数单调性的解题应用
4.1 单调性在求极值、最值中的应用
4.1.1 一元函数的极值
极值定义：一般地，若函数)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f > 则称函数)(x f 在点0x 取得极大值，0x 是极大值点。

函数)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f <，则称函数)(x f 在点0x 取得极小值，0x 是极小值点。

极大值与极小值统称为极值。

极大值点、极小值点统称为极值点。

例1 设a 为实数,函数32().f x x x x a =---
(1)求)(x f 的极值。

(2)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点。

解：(1)'()f x 2321x x =--，若'()f x =0，则x 3
1-=，x 1=。

当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是()327
f a -=+，极小值是(1)1f a =- (2)函数322
()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-
由此可知，取足够大的正数时，有()0f x >，取足够小的负数时有()0f x <，所以曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点。

结合()f x 的单调性可知：
当)(x f 的极大值5027
a +<，即)275,(--∞∈a 时，它的极小值也小于0，因此曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在(1,)∞上。

当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1,)∞时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x
轴仅有一个交点，它在1(,)3
-∞-上。

所以，当)27
5,(--∞∈a ∪(1,)∞时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。

例2 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（1）求b 、c 的值。

（2）求()g x 的单调区间与极值。

解：（1）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++
,从而
32232()(
)()(32
)
=(3)(2)g x f x f x x bx cx x bx c x b x c b x c
'=-=++-+++-+--
即()g x 是一个奇函数,所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（2） 由（1）知3()6g x x x =-从而2()36g x x '=-，令2()36g x x '=-=0，
解得 x =，由2()360,g x x x x '=->><解得2()360g x x '=-<
x<
解得。

由此可知,函数()
g x
的单调递增区间是(,
-∞
和)
+∞
；单调递减区间是
(；进而得()
g x
在x=
，()
g x
在x=
取得极小值，极小值为-。

4.1.2二元函数的极值
对于二元函数)
,
(y
x
f
z=在点)
,
(
y
x的某邻域内有二阶的连续偏导数，
00
(,)0
x
f x y=，
)
,
(
=
y
x
f
y。

令
00
(,)
xx
f x y A
=，
00
(,)
xy
f x y B
=，
00
(,)
yy
f x y C
=。

（1）当0
2>
-B
AC时，函数(,)
f x y在)
,
(
y
x处有极值，且当0
>
A时有极小值)
,
(
y
x
f；0
<
A时有极大值)
,
(
y
x
f；
（2）当0
2<
-B
AC时，函数)
,
(y
x
f在)
,
(
y
x处没有极值；
（3）当0
2=
-B
AC时，函数)
,
(y
x
f在)
,
(
y
x处可能有极值，也可能没有极值。

如果函数)
,
(y
x
f具有二阶连续偏导数，则求)
,
(y
x
f
z=的极值的一般步骤为：第一步解方程组
(,)0
(,)0
x
y
f x y
f x y
=
⎧⎪
⎨=
⎪⎩
，求出(,)
f x y的所有驻点；
第二步求出函数(,)
f x y的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，根据
2
B
AC-的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数)
,
(y
x
f在极值点处的极值。

例3设)
,
(y
x
z
z=是由0
18
2
10
62
2
2=
+
-
-
+
-z
yz
y
xy
x确定的函数，求)
,
(y
x
z
z=的极值点和极值。

解：因为0
18
2
10
62
2
2=
+
-
-
+
-z
yz
y
xy
x，所以
2
2
6
2=
∂
∂
-
∂
∂
-
-
x
z
z
x
z
y
y
x
2
2
2
20
6=
∂
∂
-
∂
∂
-
-
+
-
y
z
z
y
z
y
z
y
x
令
,
z
x
z
y
∂
⎧
=
⎪∂
⎪
⎨∂
⎪=
∂
⎪⎩
得
30
,
3100
x y
x y z
-=
⎧
⎨
-+-=
⎩
故
3
,
x y
z y
=
⎧
⎨
=
⎩
将其代入0
18
2
10
62
2
2=
+
-
-
+
-z
yz
y
xy
x，可得
⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 933x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由于
02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-x
z z x z x z y 22622220z z z z z y z x x y y x x y
∂∂∂∂∂----⋅-=∂∂∂∂∂∂∂ 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-y
z z y z y z y y z y z 所以61)3,3,9(22=∂∂=x
z A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x z B ，35)3,3,9(22=∂∂=y z C ， 故03612>=-B AC ，又06
1>=A ，从而点）（3,9是),(y x z 的极小值点，极小值为 3)3,9(=z 。

类似地，由 61)3,3,9(22-=∂∂=---x z A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x z B ，3
5)3,3,9(22-=∂∂=---y z C 可知03612>=-B AC ，又06
1<-=A ，从而点）（3,9--是),(y x z 的极大值点，极大值为3)3,9(-=--z 。

4.1.3二元函数的条件极值（拉格朗日数乘法）
拉格朗日数乘法：设二元函数(,)f x y 和(,)x y ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求(,)z x y 在D 内满足条件(,)x y ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+（其中λ为某一常数）的无条件极值问题。

于是，求函数(,)z x y 在条件(,)x y ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：
（1）构造拉格朗日函数
),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=
其中λ为某一常数；
（2）由方程组
(,)(,)0(,)(,)0(,)0
x x x y y y L f x y x y L f x y x y L x y λλϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪==⎩
解出x ，y ，z ，其中点(,)x y 就是所求条件极值的可能的极值点。

拉格朗日数乘法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。

不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点。

例5 经过点)1,1,1(的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积。

解：设所求平面方程为
)0,0,0(,1>>>=++c b a c z b y a x
因为平面过点)1,1,1(，所以该点坐标满足此平面方程，即有
1111=++c b a (1) 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V ， 则
abc V 61= (2) 原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数
)1111(61),,(-+++=c b a abc c b a L λ
(3) 求函数L 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组： 222106106
106bc a ac b ab c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩
由此方程组和（1）解得a = b = c = 3.
由于最小体积一定存在，且函数有惟一的驻点，故3a b c ===为所求，即平面
3x y z ++=与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小，最小体积为
2
93613min =⨯=V 。

4.1.4函数的最值
函数极大值和极小值概念是局部性的．如果0()f x 是函数()f x 的极值点．那只就0x 附近的一个局部范围来说,)(0x f 是()f x 的一个最大值；如果就()f x 的整个定义域来说，)(0x f 不一定是最大值。

关于极小值也类似。

所以在求函数最值时，一般在求出各个驻点的值后还要求出边界上的值。

设()f x 在[,]a b 上连续，那么()f x 在[,]a b 上一定取得最大值M 和最小值m ，()f x 若在(,)a b 内可导或只有个别的不可导点，则可以用以下方法求出M 和m 及相应的最大值与最小值。

首先求出()0f x '=的解，即求()f x 的驻点；算出()f x 在这些点的函数值；若有不可导点，算出()f x 在这些点的函数值；求出()f a ，()f b 。

最后比较所有这些函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

类似可推广到二元函数。

例6 已知a 为实数,))(4()(2a x x x f --=。

若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值。

解：由原式得,44)(23a x ax x x f +--=所以.423)(2--='ax x x f
由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),2
1)(4()(22--='--=x x x f x x x f 。

由()f x '得 3
4=x 或1-=x 当x 在[2,2]-变化时，'(),()f x f x 的变化如下表
4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272
f x f f x f f f ==-=-=-==极小极大∴)(x f 在[－2,2]上的最大值为,29最小值为27
50-。

例7 设0a >，求11()11f x x x a
=+++-的最大值。

解：()f x 是分段函数，表达式为：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+++<<-+++≤-+=a x a
x x a x x a x x x a x x f 11110 11110
-11-11)( 易得()f x 在(,)-∞+∞连续,求导得 22222211 0(1)(1)11() 0(1)(1)
11 (1)(1)
x x a x f x x a x a x x a x x a ⎧+≤⎪-+-⎪⎪'=-+<<⎨++-⎪⎪-+≥⎪++-⎩ 由此得(,0]x ∈-∞时()0f x '>，()f x 在(,0]-∞单调增加；[,)x a ∈+∞时()0f x '<， ()f x 在[,)a +∞单调减少。

故()f x 在[0,]a 上的最大值就是()f x 在(,)-∞+∞上的最大值。

在(0,)a 上解()0f x '=，即22(1)(1)0a x x +--+=，得2
a x =。

又42()(0)()221a a f f f a a a
+=<==++，因此()f x 在(,)-∞+∞上的最大值为21a a ++。

4.2 单调性在不等式中的应用
设函数y=()f x 在定义区间Ⅰ上连续，在Ⅰ内可导，如果在定义区间Ⅰ内'()0f x >那么函数()y f x =在Ⅰ上单调增加；如果在定义区间Ⅰ内'()0f x <那么函数()y f x =在Ⅰ上单调减少，这是函数的单调性，也是应用在函数不等式解题中中最基本性质。

结论1 设()()()R x f x g x =-在区间）
（b a ,内可导且满足如下条件： （1）'()0,()0R x R a >=时，则有()()f x g x >；
（2）'()0,()0R x R a <=时，则有()()f x g x <。

结论2 设()()()R x f x g x =-在区间）
（b a ,内可导''()0()'()0,R x R a R a >==且则有()()f x g x >。

结论3 设()()()R x f x g x =-在区间）
（b a ,内可导''()0()'()0,R x R a R a <==且则有()()f x g x <。

结论4 设()()()R x f x g x =-在区间(,)a b 内可导，且''()0R x <,R '()0a >,R '()0b <，
()(b)0R a R ==，
则有()()f x g x >。

例 1 求证：ln(1)x x +<
证明：令()ln(1)f x x x =+-,函数)(x f 的定义域是(1,)-+∞。

1()11f x x
'=-+.令0)(='x f ，解得0=x 。

当01<<-x 时,()0f x '>,当0>x 时,0)(<'x f ，又0)0(=f ，
故当且仅当0=x 时，)(x f 取得最大值，最大值是0。

所以()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=,即ln(1)x x +<
例 2 当0>x 时,证明不等式2sin cos 1x x x x +>+-成立。

证明: 令2()sin cos 1R x x x x x =+--+ ,则有'()cos sin 12R x x x x =--+,
0cos 1sin 12cos sin )(>-+-=+--=''x x x x x R ，0)0()(='>'R x R 所以，
即0)(>'x R ，所以)(x R 为单调递增函数，()(0)0,R x R >=即2sin cos 1x x x x +>+-。

例 3 设()f x 在区间[]b a ,上可导且0)(,)(=≤'a f m x f 。

求证：21()()2b a f x dx m b a ≤-⎰ 证明: 将上限b 改写成x ，设辅助函数为
21()()()2
x a F x f t dt m x a =--⎰ 则'()()(),''()'()0F x f x m x a F x f x m =--=-≤（因为'()f x m ≤），所以)(x F '单调递减，故'()'()()()0F x F a f a m a a ≤=--=,所以)(x F 单调递减。

故
)()(a F b F < 其中21()()()2b a F b f x dt m b a =--⎰，21()()()02
a a F a f x dx m a a =--=⎰，所以 21()()2
b a f x dx m b a ≤-⎰ 4.3 单调性在求方程解问题中的应用
利用函数的单调性结合图象能直观地研究图象的交点，假若能将问题转化为两函数的交点问题，这类问题便可以轻松获解。

例 1 20=
解：令()2(26)f x x =-≤≤
因为()f x 为在[2,6]-上的单调递增连续函数，且有(2)(6)0,f f -⨯<即在[-2,6]上只有一个根。

又把2=x 代入时有(2)0f =，即原方程只有一个根2=x 。

例 2 当104
a <<时，解方程2120)16x ax a x ++=->。

利用性质，若函数)(x f y =是单调递增函数，则函数)(x f y =与它的反函数图象的交点 必在直线x y =上。

解：设21()2,0,16
f x x ax x =++>则有
1()0)f x a x -=-> 因为104a <<，所以22211()2()1616
f x x ax x a a =++=++-在(0,)x ∈+∞上是增函数， 即原方程与方程()f x x =同解，即为方程：21()2=16
f x x ax x =++的解。

解之得
11(122x a =-
21(122x a =- 显然，02>x ；又因为222344144(12)4
a a a a a -+<+-=-，所以01>x ，故而21,x x 均为原方程的解。

4.4 单调性在化简求值方面的应用
对于求代数式的值，可视为相应函数的一个特殊值，再利用该函数的单调性，把函数值的相等转化为自变量的相等，有时能巧妙获解。

例1 设y x ,为实数，并满足 {33(1)2013(1)1(1)2013(1)1
x x y y -+-=--+-=-，求y x +的值。

解：由33(1)2013(1)1(1)2013(1)1
x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=-⎪⎩，所以1-x ,y -1都是方程0120133=++t t 的根。

构造方程12013)(3++=t t t f ，因为020133)(2>+='t t f 在()+∞∞-,恒成立，所以)(t f 在()+∞∞-,内为增函数，所以方程0)(=t f 只有唯一解，即y x -=-11，所以有2=+y x 。

例2 设实数b a ,满足条件3232351,355a a a b b b -+=-+=求b a +的值
解：设32()35f x x x x =-+，有()1,()5f a f b ==,因为
323()35(1)2(1)3f x x x x x x =-+=-+-+
333()(1)2(1)31,(1)2(1)2,(1)2(1)2f a a a a a b b =-+-+=-+-=--+-=即即同理可知.
又3()3(1)2(1)f x x x -=-+-,令1-=x u 即u u u f 23)1(3+=-+为单调增函数且为奇函 数，所以)1(1--=-b a ，即有2=+b a 。

4.5 单调性在比较大小方面的应用
函数单调性用于比较大小一般性原则：在同一个函数)(x f 中有21x x >，当函数)(x f 在区间内是增函数时有)()(21x f x f >；当函数)(x f 在区间内是减函数是时有)()(12x f x f >。

函数单调性运用于比较大小的一般做法：首先运用导数等方法判断函数在区间的单调性，然后利用以上性质在严格单调的区间内比较大小。

例 1 设0,>b a 且b a ≠，比较a b b a b a b a >。

解：因为,0,0>>b a 所以,00>>a b b a b a b a ，即有
)lg()lg()lg()lg()lg()lg(a b b a b b a a b a b a a b b a --+=-)lg )(lg (b a b a --=
因为b a ≠，不妨设0>>b a ，x x f lg )(=在(0,)+∞上单调递增，则0)lg )(lg (>--b a b a ，所以)lg()lg(a b b a b a b a >，即a b b a b a b a >。

5、函数单调性在实际生活中的应用
函数单调性在实际中的应用主要反映在最值（极值）上，如材料优化、资源整合、利润最大化、路径选择等。

5.1 单调性在材料合理利用中的应用
例 1 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取使所用材料最省？
解：金属饮料罐高为h ，底面半径为R ，材料最省即是表面积最小，且表面积是关于R 和h 的二元函数，则S =2Rh π+22R π.由常数（定值）2V R h π=，则
()S R =22R π+
V R +V R （V 为常数）
令()0S R '=,则=R ,代入2V R h π=，得2V h R
π=，即2h R =。

例2 横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的宽和高应该各是多少？
解：设断面的宽和高分别是x 和y ，则横梁的强度2T kxy =(0)k >，又222y d x =-， 故求22()()f x x d x =-(0)x d ≤≤的最大值即可。

由22()30f x d x '=-=,得x =d 3
3，函数()f x 在[0,]d 上连续，故必有最大值和最小值，则当x 变化时f '的变化情况如下表：
表 4-1
由表可知max y = )f d =3932d 。

5.2 单调性在生产利润中的应用
例1 生产某种产品需要投甲、乙两种原料1x 和2x （单位：吨）分别是它们各自的投入
量，则该产品的产出量为122Q x x αβ=（单位：吨）
，其中0α>，0β>且1αβ+=。

两种原料的价格分别为1p 与2p （单位：万元/吨）。

试问，当投入两种原料的总费用为P （单位：万元）时，两种原料各投入多少可以使该产品的产出最大？
解：由题设只应求函数122Q x x αβ=在条件1122P p x p x =+之下的最大值点，应用拉格朗
日乘数法构造拉格朗日函数
12121122(,,)2()F x x x x p x p x P αβλλ=++-，
为求12(,,)F x x λ的驻点，解方程组
1211211122112220200x x F x x p F x x p F p x p x P αβαβλ
αλβλ--'⎧=+=⎪⎪'=+=⎨⎪'=+-=⎪⎩
由方程10x F '=，20x F '=可得11121212
22a x x x x p p βαβαβ--=，解得2121p x x p αβ=. 代入0F λ'=有2222p x p x P αβ
+=，解得11P x p α=，22P x p β=。

因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故在两种原料投入的总费用为P （万元）时，这两种原料的投入量为11P
x p α=（吨），22P x p β=（吨），可使该产品的产出量最大。

例2 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R 万元与电视广告费x 万元及报纸广告费y 万元之间的关系为：
221028321415y x xy y x R ---++=。

(1)在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；
(2) 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略。

解：(1)利润函数为
)(),(y x R y x L +-=221028311315y x xy y x ---++=
求函数L 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
138********L y x x L x y y
∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩ 解得75.0=x ，25.1=y 。

则)25.1,75.0(为),(y x L 惟一的驻点。

又由题意，),(y x L 可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到。

所以最大利润为25.39)25.1,75.0(=L 万元。

因此，当电视广告费与报纸广告费分别为75.0万元和25.1万元时，最大利润为25
.39
万元，此即为最佳广告策略。

(2)求广告费用为 1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件5.1=+y x 下， 求),(y x L 的最大值．作拉格朗日函数
),(),(),(y x y x L y x F λφ+=
)5.1(102831131522-++---++=y x y x xy y x λ
求函数),(y x F 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂。

020831,04813λλy x y F x y x F 并和条件5.1=+y x 联立解得0=x ，5.1=y 。

这是惟一的驻点，又由题意),(y x L 一定存在最大值，故39)5.1,0(=L 万元为最大值。

5.3 单调性在结构工程中的应用
例1 如下图所示，此简图为一常见的框架梁结构图。

梁上分布有均布荷载，求此梁最大处弯矩？
图4.3.1
解：将图形简化如下
图4.3.2
（1）求支座反力
由0Y =∑和对称条件知 2
A B ql Y Y ==
（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端A 为原点，并将x 表示在图上。

()()2
0222
A x ql qx M x Y x qx x x l =⋅-⋅=-≤≤ （3）依题意得
()602
9.56269.56)(2≤≤-⨯=x x x x M ()609.562
69.56)(≤≤-⨯='x x x M 当3<x 时，0)(>'x M ；当3>x 时，0)(<'x M ；当3=x 时，0)(='x M ；
故3=x 时，)(x M 取得最大值，M KN M x M ⋅==05.256)3(max )(,即弯矩最大处在跨中位置。

5.4 单调性在优化路径中的应用
例1 工厂A 到铁路线的垂直距离为km 20,垂足为B ,铁路线上距离为km 100处有一原料供应站C ,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转站，再由车站D 向工厂修一条公路，如果已知每千米铁路运费与公路运费之比为5:3，那么D 应该建在何处，才能是原料供应站C 运货到A 所需运费最省？
图4.4.1
解：设BD 之间的距离为x km ，则有
x CD x AD -=+=100,2022
如果公路费用为km a /元，那么铁路运费为km a /5
3元，故原料供应站C 途径中转站D 到工厂A 所需总费用y 为
)1000(400)100(5
32≤≤++-=x x a x a y 求导得
400
5)40035(40053222++-=++-='x x x a x ax a y 令0='y ，即得)400(92522+=x x ,解得151=x ，152-=x （舍去），且151=x 是函数定义域内的唯一驻点，所以151=x 是函数y 的极小值点，而且也是函数y 的最小值。

由此可知，车站D 建于BC 之间并且与B 相距km 15处时，运费最省。

6、总结
本文先通过介绍函数单调性的概念、意义及单调性的判别方法，进而归纳总结函数单调性在解决数学问题上的应用，最后结合实际生活中的一些问题，从而对函数单调性的应用有了深入理解。

本文的创新点在于不仅对单调性在解决数学问题中的应用进行了分类归纳，更深入例举了函数单调性在解决实际问题中的应用，像如何做到使材料最省、利润最大，优化路径等。

对于学习者来说，通过阅读这篇论文不仅能系统地掌握单调性的相关知识，还能了解单调性在解决实际问题中的作用，开阔视野，增加其对单调性的学习兴趣。

展望未来，随着相关理论基础的不断充实，函数单调性将会在解决实际问题中发挥更大的作用，诸如计算飞船下落回收时间，计算物种成长繁殖速度问题等，这些在目前看来尚不能精确掌握的问题都会迎刃而解。

致谢
弹指一挥间，大学的学习生活即将流逝。

在这四年里，幸运的让我遇到了这么多令我受益匪浅的老师、同学，正是在他们的关怀帮助下，我才能从懵懂之童,成长到今天,才能顺利的完成这次的毕业论文。

首先我要感谢我们的学校和老师以及我在同一个窗檐下学习奋斗的兄弟姐妹，为我提供了良好的教育环境和良好的学习氛围，使得我能够学习成长到今天。

更感谢我含辛茹苦的父母亲，他们都是农民，他们没有文化，他们不能给予我荣华富贵，但是他们是我最亲爱的人，他们给予了他们能够给予我的父爱母爱，给予了我做人的最基本的道理。

他们辛劳一生，把希望都寄托在了我的身上，是他们在物质上的资助和精神上的鼓励，成就了我的今天。

非常感谢我的毕业设计指导老师——**老师对我的毕业论文进行了悉心的指导，并提出了很多的宝贵意见。

毕业论文初期，论文要从零开始，是老师们的悉心指导，使我顺利完成了论文设计。

感谢老师对我论文的指导，帮我解决了一些疑难问题，令我豁然开朗、柳暗花明。

再次向所有关心我、支持我、帮助我的师长、亲人、朋友致以最真的谢意！。