2021年河南省许昌长葛市中考数学一模试卷

2021年河南省许昌长葛市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡对应位置）
1. 计算sin30∘的值等于（）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3. 下列说法中正确的是（）
A.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为1
2
B.“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C.“同位角相等”这一事件是不可能事件
D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件
4. 如图，l1 // l2 // l3，下列比例式中正确的是（）
A. B. C. D.
5. 若方程x2+kx−2＝0的一个根是−2，则k的值是（）
A.−1
B.1
C.0
D.−2
6. 对于二次函数y=(x−1)2+2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是x=−1
C.顶点坐标是(1, 2)
D.与x轴有两个交点
7. 如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法错误的是（）
A.S△ABC:S△A′B′C′＝1:2
B.AB:A′B′＝1:2
C.点A，O，A′三点在同一条直线上
D.BC // B′C′
8. 如图，点A，B，C在⊙O上，BC // OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A=25∘，则∠D的大小为()
A.25∘
B.30∘
C.40∘
D.50∘
9. 以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（）
A.(1, 3)
B.(2, −1)
C.(2, 1)
D.(3, 1)
10. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，下列结论：
①ac >0，②2a +b >0，③4ac <b 2，④a +b +c <0，⑤当x >0时，y 随x 的增大而减小；其中正确的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果填在答题卡的对应位置）
求值：sin 230∘+cos 230∘=________．
一把剪刀如图所示，AB ＝2BC ，BD ＝2BE ，当手握的地方EC 张开3cm 时，剪刀的尖端A ，D 两点的距离为 6 cm ．
有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了8个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球________．
如图，点A(−4, 2)和B(2, −4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数y
=m
x 的图象的两个交点，则不等
式
kx +
b <m
x 的解集是________．
如图，在边长为2的正方形________中，以点________为圆心、________的长为半径画弧，再以________为直径画平圆．若阴影部分①的面积为________．
三、解答题（共8小题，75分）
计算：6sin 45∘+|2√2−7|−(1
2)−3+(2020−√2020)0．
如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD =CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)若OF ⊥BD 于点F ，且OF =2，BD =4√3，求图中阴影部分的面积．
如图，AD 是△ABC 的高，，，AC ＝10，求△ABC 的周长．
如图，一次函数y 1＝x +b 的图象与反比例函数y 2＝
(k ≠0, x <0)的图象交于点A(−2, 1)，B 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝4，AB＝9，求AC的长．
将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和
等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60
瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的
销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
如图，抛物线y＝−x2+bx+c与x轴交于A(−1, 0)，B(5, 0)两点，直线y＝−x+4与y轴交于点C，与x轴交
于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021年河南省许昌长葛市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡对应位置）
1.
【答案】
B
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30∘的正弦值是是解题的关键．
2.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.
【答案】
B
【考点】
随机事件
列表法与树状图法
【解析】
根据概率的意义，可判断A；根据必然事件，可判断B、D；根据随机事件，可判断C．
【解答】
解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为1
3
，故A错误；
B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故B正确；
C、同位角相等是随机事件，故C错误；
D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，故D错误；
故选：B．
【点评】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行线分线段成比例
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据由平行线分线段成比例得出比例式解答．
5.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
把x＝−2代入方程x2+kx−2＝0得(−2)2−2k−2＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】
把x＝−2代入方程x2+kx−3＝0得(−2)6−2k−2＝5，
解得k＝1．
【点评】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(1, 2)，对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】
解：二次函数y=(x−1)2+2的图象开口向上，顶点坐标为(1, 2)，对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选C．
【点评】
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点式为y=a(x−b
2a )2+4ac−b2
4a
，的顶点
坐标是(−b
2a , 4ac−b2
4a
)，对称轴直线x=−b2a，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，当
a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下．
7.
【答案】
A
【考点】
位似变换
平行线的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
8.
【答案】
C
【考点】
圆周角定理
平行线的性质
【解析】
由平行线的性质得∠ACB＝∠A＝25∘，由平行线的性质和圆周角定理得∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50∘，由圆周角定理得∠BCD＝90∘，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】
解：∵BC // OA，
∴∠ACB=∠A=25∘，∠B=∠AOB=2∠ACB=50∘.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90∘，
∴∠D=90∘−∠B=90∘−50∘=40∘.
故选C.
【点评】
本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题的关键．
9.
【答案】B
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
首先正确确定坐标轴的位置，原点的位置，再确定C点的坐标．
【解答】
解：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．
所以点C的坐标是(2, −1)．
故选B．
【点评】
此题关键是根据题意确定原点的位置，然后写出点C的坐标．注意：两点关于原点对称，则两个点的坐标都
是互为相反数．
10.
【答案】
B
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间
的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果填在答题卡的对应位置）
【答案】
1
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】
解：原式=(1
2
)2+(√3
2
)2=1
4
+3
4
=1．
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30∘=1
2，cos30∘=√3
2
，tan30∘=√3
3
，cot30∘=√3；
sin45∘=√2
2，cos45∘=√2
2
，tan45∘=1，cot45∘=1；
sin60∘=√3
2，cos60∘=1
2
，tan60∘=√3，cot60∘=√3
3
．
【答案】
6
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
【答案】
32个
【考点】
用样本估计总体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
【答案】
x>2或−4<x<0
【考点】
函数的综合性问题
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得x的取值范围．
【解答】
解：由图象，得
x的取值范围是x>2或−4<x<0，
故答案为：x>2或−4<x<0．
【点评】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．【答案】
ABCD,D,AD,BC,S1，阴影部分②的面积为S2，则S2−S1的值为3π
2
−4
【考点】正方形的性质
扇形面积的计算
【解析】
根据图形得到S2−S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】
由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，∴S2−S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积
=
90π×22
360
+
1
2
π×12−22
=3π
2
−4，
【点评】
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S=nπr
2
360
是解题的关键．
三、解答题（共8小题，75分）
【答案】
原式＝6×√2
2
+7−2√2−8+1，
＝3√2+7−2√2−8+1，
=√2．
【考点】
零指数幂
负整数指数幂
实数的运算
特殊角的三角函数值
【解析】
利用特殊角的三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质和零指数幂的性质计算，再
算乘法，后算加减即可．
【解答】
原式＝6×√2
2
+7−2√2−8+1，
＝3√2+7−2√2−8+1，
=√2．
【点评】
此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负
整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
【答案】
(1)证明：连接OD，如图，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90∘.
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90∘，即OD⊥CD. ∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
(2)解：∵OF⊥BD，
∴BF=1
2
BD=2√3，
OB=√OF2+BF2=√22+(2√3)2=4，
∴OF=1
2
OB，
∴∠OBF=30∘，
∴∠BOF=60∘，
∴∠BOD=2∠BOF=120∘，
∴S
阴影=S
扇形OBD
−S△BOD
=120π×42
360−1
2
×4√3×2=16π
3
−4√3．
【考点】
切线的判定
勾股定理
扇形面积的计算
求阴影部分的面积
【解析】
（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC＝90∘，又由CD＝CB，OB＝OD，易证得∠ODC＝∠ABC ＝90∘，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，求出∠ABD＝30∘，得出∠BOD的度数，又由S
阴影＝S
扇形OBD
−S△BOD，即可求得答案．
【解答】
(1)证明：连接OD，如图，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90∘.
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90∘，即OD⊥CD.
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
(2)解：∵OF⊥BD，
∴BF=1
2
BD=2√3，
OB=√OF2+BF2=√22+(2√3)2=4，
∴OF=1
2
OB，
∴∠OBF=30∘，
∴∠BOF=60∘，
∴∠BOD=2∠BOF=120∘，
∴S
阴影
=S
扇形OBD
−S△BOD
=120π×42
360
−1
2
×4√3×2=16π
3
−4√3．
【点评】
此题考查了切线的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及扇形的面
积；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【答案】
在Rt△ACD中，，
∵，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝＝8．
在Rt△ABD中，∵，
∴∠B＝45∘，
∴∠BAD＝∠B＝45∘，
∴BD＝AD＝6，AB＝4．
∴△ABC的周长为:AB+AC+BD+CD
＝
＝．
【考点】
解直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
【答案】
把A(−2, 1)代入y2＝x+b得−2+b＝1，解得b＝7；
把A(−2, 1)代入y8＝(k≠0，
∴一次函数的表达式是y1＝x+6，反比例函数的表达式y2＝-；
由，解得或，
∴B点坐标为(−8, 2)，
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝4代入求得x＝−3，
∴C(−3, 8)，
∴△AOB的面积＝△BOC的面积−△AOC的面积＝-＝．【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．【答案】
证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AC＝6．
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．
【答案】
P（标号为奇数）＝；
列表如下：
3 (5, 1) (3, 5) (3, 3)
共有3种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A ）的有3种，
所以，P(A)＝
．
【考点】 概率公式
列表法与树状图法
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【点评】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 【答案】
(60−5x),(4+x)
销售单价应上涨2元或2元；
当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大 【考点】
一元二次方程的应用 二次函数的应用
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【点评】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 【答案】
由抛物线y ＝−x 2+bx +c 过A(−1, 6)，0)两点可得：
．
解得．
故该抛物线的解析式为y ＝−x 2+2x +5； 存在点P ，使得△PCE 与△DEF 相似． 由OC ＝OD ＝4，知∠ODC ＝∠OCD ＝45∘， 又∵ PF ⊥x 轴，
∴ ∠EFD ＝90∘，
又∵ ∠PEC ＝∠DEF ＝45∘，
∴ 要使△PCE 与△DEF 相似，只需∠CPE ＝90∘或∠PCE ＝90∘即可． 设
，则E(m ，
当∠CPE ＝90∘时，则由−m 2+4m +5＝6，
解得：，
此时点P 的坐标
；
当∠PCE ＝90∘时，过P 作PG ⊥y 轴于点G ，
则PG ＝|m|，GC ＝|−m 3+4m +5−3|＝|−m 2+4m +6| 当△PCG 为等腰直角三角形时，有∠PCE ＝90∘． 于是PG ＝GC ，即m ＝−m 2+4m +4，
解得：，
此时点P 的坐标为或，
故综上所述，有符合条件的点P 存在或或
或．
【考点】
二次函数综合题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【点评】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，证得△DEF 为等腰直角三角形是解答问题（2）的关键．。