江苏省泰州中学2018届高三10月月考数学(理)试题 Word版含解析

江苏省泰州中学2018届高三10月月考
数学试卷（理科）
1. 若集合，则__________．
【答案】
【解析】根据集合并集的运算意义，，故填.
2. 命题“若，则”的否命题为__________．
【答案】若，则
【解析】试题分析：否定条件作条件，同时否定结论做结论，所以命题“若，则
”的否命题为若，则
考点：本题主要考查命题的概念及其关系，
点评：属基础知识的考查，注意逆命题的构成，否定条件同时否定结论。

3. 已知角的终边过点，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得
考点：三角函数定义
4. 函数的定义域为，值域为，则__________．
【答案】
【解析】
5. 设函数，则__________．
【答案】
【解析】由分段函数解析式知，，所以
，故填9.
6. 若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题分析：因为命题“存在”的否定是“对任意
”。

命题的否定是真命题，则
考点：复合命题
7. 已知，则__________．
【答案】
【解析】由诱导公式得：，
，所以，故填.
8. 已知直线与函数及的图象分别交于两点，则线段的长度为__________．
【答案】
【解析】分别联立与函数及解得：，所以，故填.
9. 函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】试题分析：
所以，当，即时，取得最小值.
所以答案应填：.
考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.
10. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得
成立的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】令，所以在上是减函数，又
，所以是偶函数，因此，当时，，所以，同理，当时，，所以，综上应填.
11. 若，则__________．
【答案】
【解析】因为，而
所以
，两边同除以得：
，故填.
12. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】构造函数，则是奇函数，是R上的增函数，所以原不等式变为
，所以，即恒成立，
所以，解得：，故填.
13. 设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．
【答案】
.....................
考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用
14. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当
且,解之得,应填答案.
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
15. 已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】试题分析：如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案.
试题解析：若真，则，
真恒成立，设，则
，易知，即，
为真，为假一真一假，
（1）若真假，则且，矛盾，
（2）若假真，则且，
综上可知，的取值范围是.
试题点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的单调性，不等式恒成立问题，复合命题，难度中档．
16. 已知函数.
（1）将化简为的形式，并求最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.
【答案】（1），；（2）时，，时，
.
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．
试题解析：
（1）
所以.
（2）因为，所以
所以，所以，
当，即时，，
当，即时，.
17. 已知二次函数，关于实数的不等式的解集为. （1）当时，解关于的不等式：；
（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为
？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）当时，原不等式的解集为或，当时，原不等式的解集为或；（2）存在.
【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：的两根
为和，且，从而，解得，再化简不等式，因式分解：
，最后根据两根2与大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简
函数，为一元二次函数，其中，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为，所以当
时，取最小值
试题解析：（1）由不等式的解集为知，关于的方程
的两根为和，且，
由根与系数关系，得∴
所以原不等式化为，
①当时，原不等式化为，且，解得或；
②当时，原不等式化为，解得且；
③当时，原不等式化为，且，解得或；
综上所述：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
（2）假设存在满足条件的实数，
由（1）得：，，
．
令（），则，（），
对称轴，
因为，所以，，
所以函数在单调递减，
所以当时，的最小值为，解得．
考点：二次不等式解集与二次方程根的关系，二次函数最值
18. 已知为上的偶函数，当时，.
（1）当时，求的解析式；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有
.
【答案】（1）当时，；（2）时，；当时，；当时，；（3）最小整数. 【解析】试题分析：（1）当时，，利用为R上的偶函数，当时，
，可求函数的解析式；（2）当时，单调递增，而
是偶函数，所以在上单调递减，从而可得当时，；当时，；当时，；
（3）转化为对恒成立，从而有求利用
建立关系, 由此可求适合题意的最小整数m的值. 试题解析：（1）当时，；
（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，所以
所以当时，；当时，；
当时，；
（3）当时，，则由，得
，即对恒成立
从而有对恒成立，因为，
所以
因为存在这样的，所以，即
又，所以适合题意的最小整数.
试题点睛：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查函数的解析式，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值是关键．
19. 如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为
的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.
（1）当时，求点距地面的高度；
（2）试确定的值，使得取得最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；（2）借助于角θ，把∠MPN表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．试题解析：（1）由题意，得.从而，当时，. 即点距地面的高度为.
（2）由题意，得，从而.
又，所以.
从而
令，
则.由，得，解得
.
当时，为增函数；当时，为减函数，
所以，当时，有极大值，也为最大值.因为，
所以.
从而当取得最大值时，取得最大值.
即时，取得最大值.
试题点睛：本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
20. 已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求实数的值；
（2）记，求在上的最大值；
（3）当时，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，
；（3）.
【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线与相切于点，
由，知，解得，
又可求得点为，所以代入，得.
（2）因为，所以.
①当，即时，，此时在上单调递增，
所以；
②当即，当时，单调递减，
当时，单调递增，.
（i）当，即时，；
（ii）当，即时，；
③当，即时，，此时在上单调递减，
所以.
综上，当时，；
当时，.
（3）当时，，
①当时，显然；
②当时，，
记函数，
则，可知在上单调递增，又由
知，在上有唯一实根，且，则
，即（*），
当时，单调递减；当时，单调递增，所以，
结合（*）式，知，
所以，
则，即，所以.
综上，.
试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．
21. 在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点
，求.
【答案】.
【解析】试题分析：由题意得到，再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出
M.−1
试题解析：依题意，，即，解得，
由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，
所以.
22. 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数，），直线
（为参数，），求曲线上的动点到直线的距离的最小值.
【答案】.
【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线的参数方程化为普通方程为.
因为点在曲线上，所以可设.
因为点到直线距离，其中是锐角，所以当
时，，所以点到直线的距离最小值为.
23. 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，
交于点，将沿折到位置，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.
试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，，
.设是平面的法向量，则，即
，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是
，.因此二面角
的正弦值是.
考点：线面垂直的判定、二面角.
24. 设集合是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.
【答案】（1），.（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当时，即，此时，，所以，当时，即，若
，则，或，或；
若或，则；所以.（Ⅱ）由定义知，A,B无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在
中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，集合对共有
对，再求和
试题解析：（1）当时，即，此时，，所以， 2分当时，即，若，则，或，或；
若或，则；所以. 4分
（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况， 6分
此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有
种情况，
所以，当集合中的最大元素为“”时，
集合对共有对， 8分
当依次取时，可分别得到集合对的个数，
求和可得. 10分
考点：归纳找规律。