全国高一高中数学同步测试带答案解析

全国高一高中数学同步测试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.以下命题正确的是
A ．两个平面可以只有一个交点
B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交
D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合
2.下面四个说法中，正确的个数为
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是
A ．A 、M 、O 三点共线
B ．M 、O 、A 1、A 四点共面
C ．A 、O 、C 、M 四点共面
D ．B 、B 1、O 、M 四点共面
4.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么
A ．α∥β
B ．α与β相交
C ．α与β重合
D ．α∥β或α与β相交
5.两等角的一组对应边平行，则
A ．另一组对应边平行
B ．另一组对应边不平行
C ．另一组对应边也不可能垂直
D ．以上都不对
6.如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2， E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
7.平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 与α的关系是
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．不能确定
8.经过平面外两点与这个平面平行的平面
A ．只有一个
B ．至少有一个
C ．可能没有
D ．有无数个
9.已知ABCD 是空间四边形形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC ＝4，BD ＝2，那么EG2＋HF2的值等于
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
10.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是
A ．三个平面共线；
B ．有两个平面平行且都与第三个平面相交；
C ．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；
D ．三个平面两两相交。

二、填空题
1.如图所示，平面M 、N 互相垂直，棱l 上有两点A 、B ，AC M ，BD N ，且AC ⊥l ，AB ＝8cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝24 cm ，则CD ＝_________．
2.如图所示，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD ＝6，则MN ＝
___________．
3.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD 的长为___________．
4.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1到B 1C 的距离为_________， A 到A 1C 的距离为_______．
三、解答题
1.（12分）设P 是△ABC 所在平面外一点，P 和A 、B 、C 的距离相等，∠BAC 为直角.
求证：平面PCB ⊥平面ABC ．
2.（12分）如图所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平
行．
3.（12分）如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ：GD ＝1：2，AC∩BD ＝O ，求证：平面AGO//平面D 1EF ．
4.（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且，求证直线EF 、GH 、AC 交于一点．
5.（14分）如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中
点，PA ＝AD ＝a ．
（1）求证：MN ∥平面PAD ；
（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．
6.（14分）如图2－72，棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，
（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面；
（2）求四边形EFDB 的面积．
全国高一高中数学同步测试答案及解析
一、选择题
1.以下命题正确的是
A ．两个平面可以只有一个交点
B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交
D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合
【答案】C
【解析】两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故A 错
一条直线若在平面内，其上的所有点都在平面内，故B 错
两个平面有一个公共点，它们可能相交也可能是同一个平面，故C 对，选C 。

【考点】本题主要考查平面的基本性质及推论。

点评：基础题，分析选项利用“排除法”。

2.下面四个说法中，正确的个数为
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；
空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，故选A 。

【考点】本题主要考查平面的基本性质及推论。

点评：基础题，明确直线确定平面的条件。

3.ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是
A ．A 、M 、O 三点共线
B ．M 、O 、A 1、A 四点共面
C ．A 、O 、C 、M 四点共面
D ．B 、B 1、O 、M 四点共面
【答案】D
【解析】平面A 1C∩平面AB 1D 1=AO ，
∵直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，
∴M ∈AO ，即A ，O ，M 三点共线；
根据A ，O ，M 三点共线，知A 1A∩AO=A ，
∴M ，O ，A 1，A 四点共面；
同理M ，O ，C 1，C 四点共面；
OM ，B 1D 是异面直线，故O ，M ，B 1，D 四点共面是错误的，
故选D 。

【考点】本题主要考查正方体的几何特征、空间点线面的位置。

点评：基础题．重在基础知识的记忆与理解。

4.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么
A ．α∥β
B ．α与β相交
C ．α与β重合
D ．α∥β或α与β相交
【答案】D
【解析】由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，
当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．
故为D 。

【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。

点评：对两平面空间的位置要做出多种推测。

5.两等角的一组对应边平行，则
A ．另一组对应边平行
B ．另一组对应边不平行
C ．另一组对应边也不可能垂直
D ．以上都不对
【答案】D
【解析】两个等角的一组对边平行，
另外一组边可以具有各种位置关系，
并且不能确定是哪一种关系，
故选D ．
【考点】本题主要考查空间图形平行关系。

点评：易错题的基础题，需要认真分析题目所叙述的命题是否正确。

6.如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2， E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】取BC 的中点D ，连接ED 与FD
∵E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点
∴ED∥SB，FD∥AC
而SB⊥AC，SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形
则ED=FD=1即EF=，故选B。

【考点】本题主要考查点、线、面间的距离计算。

点评：本题主要考查了中位线定理，以及异面直线所成角的应用，同时考查了转化与化归的思想，属于基础题。

7.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定
【答案】A
【解析】若AB∥CD，易得EF与α、β均平行
若AB与CD相交，则EF与α、β均平行
若AB与CD异面，则
设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示：
且使G，F，H在一直线上．
因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且
CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，
因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以
EF∥AG∥CH，CH在平面β内，故EF∥β．
同理EF∥β
故选A。

【考点】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系。

点评：由于AB，CD的位置关系不确定，故要进行分类讨论。

将空间问题转化为平面问题的转化思想也是处理空间问题最常用的思路。

8.经过平面外两点与这个平面平行的平面
A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个
【答案】C
【解析】经过平面外两点与这个平面平行的平面可能没有，如图A,B在平面外，但过A,B的直线与平面垂直时（相交时）。

故选C。

【考点】本题主要考查平面的基本性质。

点评：考虑多种位置关系，通过举反例，达到解题目的。

9.已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【解析】因为，所以是平行四边形，，，又因为
两式相加得，故选A。

【考点】本题主要考查空间四边形的性质、余弦定理的应用。

点评：利用空间四边形的性质，可以得到若干平行关系，利用余弦定理得出EG2，HF2
，两式相加“消去”了未知量。

10.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是
A．三个平面共线；
B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；
C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；
D．三个平面两两相交。

【答案】C
【解析】①若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；
②若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；
③若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；
④若三个平面其中两个平行和第三个相交，则把空间分成6部分；
故选C．
【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。

点评：基础题．考查平面与平面之间的位置关系平，需要灵活应用知识分析解决问题。

二、填空题
1.如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B，AC M，BD N，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，BD＝24 cm，则CD＝_________．
【答案】26 cm；
【解析】连接AD
∵平面M、N互相垂直，AC⊥l，
∴AC⊥平面N
∴AC⊥CD
∵AB=8cm，AC=6cm，
∴BC=10cm，
又∵BD=24cm，
∴CD=26cm
【考点】本题主要考查点、线、面间的距离计算．
点评：本题考查的知识点是空间点到点之间的距离，其中根据面面垂直及线面垂直的性质得到△ABC，△ACD均为直角三角形，是解答本题的关键。

2.如图所示，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝
___________．
【答案】2；
【解析】取BC、CD中点E、F，连接AE、AF，则M、N分别在AE、AF上，且AM：ME=AN：NF=2：1，所以MN:EF=2:3；又E、F为BC、CD中点，所以在三角形BCD中EF=3，则MN=2
【考点】本题主要考查三棱锥的几何特征、相似三角形性质。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。

3.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交α于A、B，交β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为___________．
【答案】20或4；
【解析】因为平面α‖平面β，两条直线PAC、PBD确定一平面，且与平面α交于AB，与平面β交于CD，所以AB‖CD，应注意分两种情况，一是点P在平面α、β之上（下）；二是点P在平面α、β之间，利用相似三角形的知识求得所以CD=20或4.
【考点】本题主要考查平面与平面平行的性质、相似三角形性质。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。

4.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1到B 1C 的距离为_________， A 到A 1C 的距离为_______．
【答案】 a ，a ；
【解析】如下图所示
连接B 1C ，B 1C 交点为E ，则D 1E 即为D 1到B 1C 的距离
∵在RT △EC 1D 1中，∴ED 1=即D 1到B 1C 的距离；
连接A 1C ，过点A 向A 1C 做垂线垂足为F ，则AF 即为A 到A 1C 的距离，
在RT △AA 1C 中，
而A 1A•AC=AF•A 1C ，所以故答案为： a ，a ；
【考点】本题主要考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力。

点评：本题考查的知识点是空间点、线、面的距离计算，其中找出D 1到B 1C 的距离及A 到A 1C 的距离对应的线段，是解答本题的关键。

三、解答题
1.（12分）设P 是△ABC 所在平面外一点，P 和A 、B 、C 的距离相等，∠BAC 为直角.
求证：平面PCB ⊥平面ABC ．
【答案】见解析
【解析】证明：如答图所示，取BC 的中点D ，连结PD 、AD ，
∵D 是直角三角形ABC 的斜边BC 的中点 ∴BD=CD=AD ，又PA=PB=PC ，PD 是公共边 ∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90° ∴PD ⊥BC ，PD ⊥DA ，PD ⊥平面ABC ∴又PD 平面PCB ∴平面PCB ⊥平面ABC.
【考点】本题主要考查点线面关系中的垂直问题、三角形的几何性质，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。

证明平面与平面垂直，往往要利用两个平面垂直的判定定理。

2.（12分）如图所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平
行．
【答案】见解析
【解析】证明：如图所示，设已知平面α、β、γ，α∩β＝l 1，β∩γ＝l 2，α∩γ＝l 3，如果l 1、 l 2、 l 3中有任意两条交于一点P ，设l 1∩ l 2＝P ，即P ∈l 1，P ∈l 2，那么P ∈α，P ∈γ，则点P 在平面α、γ的交线l3上，即l 1、 l 2、 l 3交于一点如（a ）图；如果l 1、 l 2、 l 3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共面，所以l 1∥ l 2∥ l 3如（b ）图.
【考点】本题主要考查线线平行、平面的基本性质，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。

本题提供了图形，降低了难度。

3.（12分）如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ：
GD ＝1：2，AC∩BD ＝O ，求证：平面AGO//平面D 1EF ．
【答案】见解析。

【解析】如图所示
设EF∩BD ＝H ，在△DD 1H 中，
，
∴GO//D 1H ，又GO 平面D 1EF ，D 1H 平面D 1EF ，
∴GO//平面D 1EF ，
在△BAO 中，BE ＝EF ，BH ＝HO ，∴EH//AO
AO 平面D1EF ，EH 平面D 1EF ，∴AO//平面D 1EF ，
AO∩GO ＝O ，∴平面AGO//平面D 1EF.
【考点】本题主要考查正方体的特征、点线面关系中的平行关系，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。

4.（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且，求证直线EF 、GH 、AC 交于一点．
【答案】见解析。

【解析】如图所示
∵AE ＝EB ，AH ＝HD ，∴EH//BD ，且EH ＝
BD ， ∵，∴FG//BD ，且FG ＝BD ，
∴EH//FG ，且EH≠FG ，
故四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，
设交点为P ，P ∈平面ABC ，又P ∈平面DAC ，
又平面BAC∩平面DAC ＝AC ，故P ∈AC ，
即EF 、GH 、AC 交于一点.
【考点】本题主要考查空间四边形中的平行关系，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。

5.（14分）如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ．
（1）求证：MN ∥平面PAD ；
（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．
【答案】见解析。

【解析】证明：如答图所示
⑴设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，
由N 为PD 的中点知EN DC ，
又ABCD 是矩形，∴DC AB ，∴EN
AB 又M 是AB 的中点，∴EN AN ，
∴AMNE 是平行四边形 ∴MN ∥AE ，而AE 平面PAD ，NM 平面PAD ∴MN ∥平面PAD
证明：⑵∵PA ＝AD ，∴AE ⊥PD ，
又∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，
∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AE ， ∵PD∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ，
又MN 平面PMC ，
∴平面PMC ⊥平面PCD.
【考点】本题主要考查四棱锥的特征、点线面关系重大平行与垂直，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：证明空间问题注意转化成平面问题，充分利用平面图形的特征，这是立体几何中的基本问题。

6.（14分）如图2－72，棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，
（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面；
（2）求四边形EFDB 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）＝
【解析】⑴证明：如答图所示，连结B 1D 1，在△C 1B 1D 1中，C 1E ＝EB 1，C 1F ＝FD 1，∴EF//B 1D 1，且EF ＝
B 1D 1，又A 1A B 1B ，A 1A D 1D ，∴B 1B D 1D ，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. ∴B 1D//BD ，EF//BD ，∴E 、F 、D 、B
四点共面
⑵由AB ＝a ，知BD ＝B 1D 1＝
a ，EF ＝a ， DF ＝BE ＝＝，
过F 作FH ⊥DB 于H ，则DH ＝
∴FH ＝
四边形的面积为
＝ 【考点】本题主要考查正方体的特征、平面的基本性质以及平面图形的面积计算，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：空间问题注意转化成平面问题，这是解答立体几何问题的基本思路。