2021年省示范高中自主招生素质检测数学试卷及参考答案

２０２１
数学试题
注意事项：
１．本试卷满分１５０分，考试时间为１２０分钟。

２．全卷包括“试题卷”（４页）和“答题卡”（２页）两部分。

３．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题无效。

４．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回。

一、选择题：共１０小题，每小题５分，共５０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

１．下列运算正确的是Ａ．槡
８１·１槡
２７＝１
３
Ｂ．（－３ａ２）２＝９ａ
４
Ｃ．（ａ＋２）（ａ－３）＝ａ２
＋ａ－６
Ｄ．３
ｃ４ａｂ÷５ａｃ２ｂ＝１１０
２．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器七小器二容三斛，大器二小器七容二斛。

”大致意思是有大小两种盛米的桶，７大桶２小桶共盛３斛米，２大桶７小桶共盛２斛米，依据条件，２大桶加２小桶共盛Ａ．１０
９
斛米Ｂ．１斛米
Ｃ．５９
斛米Ｄ．１９
斛米３．若关于ｘ的不等式组３ｘ≤４
ｘ＋１ｘ－ａ{＜０
恰有３个整数解，则ａ的取值范围为
Ａ．０＜ａ≤１Ｂ．１≤ａ＜２Ｃ．２＜ａ≤３
Ｄ．１＜ａ≤２
４．如图，四边形ＡＣＢＤ中，∠Ｃ＝∠Ｄ＝
９０°，ＡＣ＝ＡＤ＝３，ＢＣ＝ＢＤ＝４，把它沿着ＡＢ所在的直线旋转一周，所得几何体的全面积为Ａ．３６πＢ．８４５πＣ．４８５
πＤ．２４π
５．在平面直角坐标系中，点Ａ（ｍ，ｎ）在ｙ＝槡４３
ｘ上，当ＯＡ所在的直线与ｘ轴正半轴的夹角为３０°，则点Ａ
的坐标为Ａ．（槡
２３，２）Ｂ．（２，槡
２３）Ｃ．（槡２３，２）或（槡－２３，－２）Ｄ．（２，槡２３）或（－２，槡
－２３）６．我们记函数ｙ的最大值为ｙｍａｘ，函数的最小值为ｙｍｉｎ，已知函数ｙ＝－３ｘ＋２（ａ≤ｘ≤ｂ，ａ≠ｂ）的ｙｍａｘ＝
ｂ，且ｙｍｉｎ≤３ａ，则ａ的取值范围为Ａ．ａ＜
１２
Ｂ．ａ≤
２
３
Ｃ．１２＜ａ≤２３
Ｄ．ａ＜
２
３
７．如图，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＣＢ，ＡＤ＝２，ＣＤ＝４，将ＢＤ绕点Ｂ逆时针旋转９０°得到ＢＤ′，连接ＤＤ′，则ＤＤ′的最大值为槡
槡
Ａ．２５Ｂ．１０Ｃ．２
Ｄ．６
８．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｄ为ＣＥ上一点，△ＤＢＣ的面积４，ＤＯ⊥ＢＣ，则△ＯＡＣ的面积为Ａ．２
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．８
９．已知Ａ（ｍ，ｈ）、Ｂ（ｎ，ｈ）分别是直线ｌ１：ｙ＝１２ｘ＋１０和ｌ２
：ｙ＝ｘ＋１０上的两点，当以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ｘ轴相切时，ＡＢ＝Ａ．２
Ｂ．１０或
１０
３
Ｃ．２０或
８
３
Ｄ．２０或
２０
３
１０．如图，菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ
ＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝９，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、ＡＢ上，Ａ关于ＥＦ的对称点为Ｇ，当点Ｇ落在ＢＤ上时，ＢＧ＝３，则ＤＥ＝Ａ．３
Ｂ．１５
２
Ｃ．１５４
Ｄ．１５８
二、填空题：共４小题，每小题５分，共２０分。

１１．已知抛物线Ｃ１：ｙ＝ｘ２，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｋ（ｋ≠０）的图象与抛物线Ｃ１有一个公共点，
则该公共点的坐标为．
１２．如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝４
５°，ＣＤ＝６，则⊙Ｏ的外接圆的直径为
．
１３．已知Ａ、Ｂ两点都是反比例函数ｙ＝ｍｘ
（ｍ＞０）上的点，它们关于ｘ轴的对称点都落在直线ｙ＝－ｘ＋ｎ
上，若Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）（ｘ１＋ｘ２
≠０），则ｙ１＋ｙ２
ｘ１＋ｘ２
＝．
１４．如图，Ｒｔ△Ａ
ＢＣ中，ＡＢ＝５，ＡＣ＝７，点Ｅ、Ｆ分别在ＢＡ、ＡＣ上运动，且ＢＥ＝ＡＦ，则ＢＦ＋ＣＥ的最小值为
．
三、解答题：共５题，共８０分。

解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。

１５．（１６分）
已知抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｍｘ＋ｍ２
－１（ｍ是常数）．
（１）当抛物线经过（１，－１）时，求ｍ的值；（４分）（２）用ｍ表示顶点坐标；（４分）
（３）当ｘ≤１时，
ｙ随着ｘ的增大而减小，求ｍ的取值范围；（４分）（４）已知Ａ（１，０），Ｂ（３，０），若抛物线与线段ＡＢ只有一个公共点，直接写出ｍ的取值范围．（４分）
１６．（１６分）
如图，四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝４５°，Ｅ为线段ＢＤ上的一点，射线ＣＥ绕Ｃ按顺时针方向旋转４５°与ＡＤ的延长线交于Ｆ点，连接ＥＦ交ＣＤ于Ｏ点．
（１）求证：△Ｅ
ＦＣ为等腰直角三角形；（５分）（２）探究∠ＤＥＦ＋∠ＤＦＥ与∠ＣＥＦ的度数之间的关系，并说明理由；（５分）（３）若ｔａｎ∠Ｅ
ＣＢ＝１３
，点Ｅ到ＢＣ的距离为３，求△ＣＤＦ的面积．（６分）
１７．（１６分）
如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝５，点Ｐ为ＡＢ边上一动点，ＤＰ交ＡＣ于点Ｑ．Ｐ点从Ａ点出发沿ＡＢ边以每秒１个单位长度的速度向Ｂ点移动，移动时间为ｔ秒．
（１）当ｔ为何值时，△ＣＤＡ与△ＰＡＤ全等？（４分）（２）当ｔ为何值时，ＤＰ⊥Ａ
Ｃ？（４分）（３）将△ＤＡＰ沿着ＤＰ折叠，Ａ的对应点Ａ′落在矩形的对角线上，求ｔ的值．（８分）
１８．（１６分）
如图，平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ：ｙ＝１３ｘ－１
３
绕与ｘ轴的交点Ａ顺时针旋转９０°，交ｙ轴于Ｂ
点，点Ｍ是抛物线ｙ＝－ｘ２
＋２ｘ＋３一个动点，且点Ｍ在第一象限内，连接ＡＭ、ＢＭ．设点Ｍ的横坐标为
ｍ，△Ａ
ＢＭ的面积为Ｓ．（１）求直线ｌ旋转后的解析式；（４分）
（
２）当Ｍ与抛物线的顶点重合时，求Ｓ的值；（４分）（３）求Ｓ与ｍ之间的函数解析式；并求当ｍ为何值时Ｓ存在最值？此时求Ｍ到ＡＢ的距离？（４分）（４）在（３）的条件下，当Ｓ取最值时，若过点Ａ的直线ｌ′交线段ＢＭ于点Ｃ，设点Ｂ、Ｍ到直线ｌ′的距
离分别为ｄ１、ｄ２，当ｄ１＋ｄ２
取得最大值时，求∠ＢＡＣ的度数．（４分）１９．（１６分）
给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形。

探究：
（１）已知平面直角坐标系中Ａ（１，３）、Ｂ（槡－３－１，２）、Ｃ（１，１）、Ｄ（槡１＋３，２），试判断四边形ＡＢＣＤ是否是对余四边形；（４分）
（２）如图２，在对余四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝９０°，ｔａｎ∠Ｂ
ＡＤ＝１
２，ＢＤ＝２，将△ＢＤＣ沿着ＢＤ对折得到△ＢＤＣ′，求ＡＣ′的长；（６分）
（３）如图３，在对余四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＤ、ＡＣ为对角线，ＢＤ槡＝２ＢＣ，试探究线ＡＤ、ＡＣ和ＣＤ之间的数量关系，并说明理由．（６分）
２０２１
数学参考答案
一、选择题：共１０小题，每小题５分，共５０分。

题号１２３４５６７８９１０
答案ＢＡＤＢＣＡＤＢＤＣ二、填空题：共４小题，每小题５分，共２０分。

１１．（－２，４） １２．槡
４６ １３．－１ １４．１３
三、解答题：共５小题，共８０分。

１５．（１６分）
解：（１）ｍ＝－１（４分）
（２）（－ｍ，－１）（４分）
（３）ｍ≤－１（４分）
（４）－４≤ｍ≤０且ｍ≠－２（４分）
１６．（１６分）
（１）证明：由∠ＢＣＤ＝∠ＥＣＦ＝４５°，得∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＦ，
又∠ＦＤＣ＝∠ＤＢＣ＝４５°，
∴△ＦＤＣ∽△ＥＢＣ，
∴ＦＣ
ＤＣ
＝
ＥＣ
ＢＣ
．
又∠ＦＣＥ＝∠ＤＣＢ，
∴△ＥＣＦ∽△ＢＣＤ．
∴∠ＥＦＣ＝９０°，∠ＦＥＣ＝∠ＤＢＣ＝４５°．
∴△ＥＦＣ为等腰直角三解形．（５分）
（２）∵∠ＤＥＦ＋∠ＤＦＥ＝∠ＡＤＢ＝４５°，而∠ＣＥＦ＝４５°，∴∠ＣＥＦ＝∠ＤＥＦ＋∠ＤＦＥ．（５分）
（３）作ＥＨ⊥ＢＣ于Ｈ点，∵ＥＨ＝３，则ＢＨ＝３，而ｔａｎ∠ＥＣＢ＝１３
∴ＨＣ＝９，∴ＢＣ＝１２，∴Ｓ
△ＢＥＣ
＝１８，∵△ＦＤＣ∽△ＥＢＣ，
∴Ｓ
△ＦＤＣ
Ｓ
△ＥＢＣ
＝
ＤＣ
()ＢＣ＝槡２()２＝１２，
∴Ｓ
△ＦＤＣ
＝９．（６分）
１７．（１６分）
解：（１）ｔ＝１２（４分）
（２）当ＤＰ⊥ＡＣ时，∠ＱＣＤ＋∠ＱＤＣ＝９０°，
∵∠ＡＤＱ＋∠ＱＤＣ＝９０°，∴∠ＤＣＡ＝∠ＡＤＰ，∵∠ＡＤＣ＝∠ＤＡＰ＝９０°，∴△ＡＤＣ∽△ＰＡＤ，
∴
ＡＤＰＡ＝ＤＣＡＤ，∴５ＰＡ＝１２
５
，解得ＰＡ＝２５１２，∴ｔ＝２５１２
．（４分）
（３）当Ａ′落在ＢＤ上时，ｔ＝１０３；当Ａ′落在ＡＣ上时，ｔ＝２５
１２．（８分）
１８．（１６分）
解：（１）ｙ＝－３ｘ＋３（４分）（２）２（４分）
（３）Ｓ＝－ｍ２
＋５ｍ２，当ｍ＝５２时，Ｓ的最大值为２５８；Ｍ到ＡＢ的距离＝５
８
槡１０（４分）
（４）过Ｂ作ＢＨ⊥ＡＣ，ＭＧ⊥ＡＣ，当Ｈ、Ｇ、Ｃ重合时，ｄ１＋ｄ２最大．求得ＢＭ＝５
４
槡５，
由（３）可知Ｓ的最大值＝２５
８，求得ＡＣ槡＝５，∵ＡＢ槡＝１０，∴ｃｏｓ∠Ｂ
ＡＣ＝槡２２，∴∠ＢＡＣ＝４５°．（４分）１９．（１６分）
解：（１）由题意可知，ＢＡ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤ，
在Ｒｔ△ＡＤＮ中，ｃｏｓ∠Ｄ
ＡＮ＝ＡＮＡＤ＝１
２，∴∠ＤＡＮ＝６０°，∴△ＡＣＤ是等边三角形，∴∠ＡＤＣ＝６０°，作ＡＢ中垂线交ＢＤ于Ｍ，则ＢＭ＝ＡＭ，设ＢＭ＝ｘ，则ＭＮ槡
＝２＋３－ｘ，在Ｒｔ△ＡＭＮ中，（槡
２＋３－ｘ）２＋１２＝ｘ２
，解得ｘ＝２，∴ＭＮ槡＝３，ｃｏｓ∠ＡＭＮ＝槡３２，∴∠ＡＭＮ＝３０°，∴∠ＡＢＮ＝１５°，∵ＢＡ＝ＢＣ，ＢＮ⊥ＡＣ，∴∠ＡＢＮ＝∠ＣＢＮ＝１５°，∴∠ＡＢＣ＝３０°，∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ是对余四边形．（４分）
（２）∵ｔａｎ∠Ｂ
ＡＤ＝１２，ＢＤ＝２，∴ＢＤＡＢ＝１２，∴ＡＢ＝４，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝９０°，∵∠ＣＢＤ＋∠Ｃ＝９０°，∠ＢＡＤ＋∠Ｃ＝９０°，∴∠ＣＢＤ＝∠Ｂ
ＡＤ，∴ｔａｎ∠Ｃ
ＢＤ＝１２，∴ＣＤＢＤ＝１
２，∵ＢＤ＝２，∴ＣＤ＝１．
由折叠可知Ｃ
′Ｄ＝ＣＤ＝１，作Ｃ′Ｈ⊥ＡＢ，可证四边形ＢＤＣ′Ｈ为矩形，∴ＢＨ＝Ｃ′Ｄ＝１，∴ＡＨ＝３，
又Ｃ
′Ｈ＝ＢＤ＝２，∴ＡＣ′槡＝１３．（６分）（３）将△ＢＡＤ绕点Ｂ顺时针方向转至△ＢＣＤ′处，连接Ｄ
Ｄ′，
∵ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ＝ＢＤ′，∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＤ′，∴△ＢＡＣ∽△ＢＤ′Ｄ，∴
ＤＤ′ＡＣ＝ＢＤ
ＢＣ
，∵ＢＤ槡＝２ＢＣ，∴ＤＤ′槡
＝２ＡＣ，由旋转可知，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ′，ＣＤ′＝ＡＤ，∵四边形ＡＢＣＤ是对余四边形，∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＢＡＤ＋∠ＢＣＤ＝２７０°，∴∠ＢＣＤ＋∠ＢＣＤ′＝２７０°，∴∠ＤＣＤ′＝９０°，
∴ＣＤ２＋ＣＤ′２＝ＤＤ′２，即ＣＤ２＋ＡＤ２＝２ＡＣ２．（６分）。