北京交通大学高等数学B(Ⅱ)期末考试试卷(B卷及其答案

北方交通大学
1999-2000学年第二学期高等数学B 〔Ⅱ〕期末考试试卷〔B 卷〕答案
一．填空题〔此题总分值15分，每道小题3分〕，请将适宜的答案填在空中． 1．函数y x z -=
的定义域为________________________．
2．设二元函数()y x z z ，=由方程()0ln 22=+-xyz xyz xz 所确定，那么
=∂∂x
z
_____________． 3．交换累次积分的顺序()()=+⎰⎰⎰
⎰--41
2
1
x
x x x
dy y x f dx dy y x f dx
，，_____________．
4．假设0>a ，0>b ，那么级数
()()()
()()()∑∞
=++++++1
11211121n nb b b na a a 在__________时发散．
5．设方程()x f y y y =-'-''32有特解*
y ，那么它的通解为________________． 答案：
⒈y x ≥，0≥y ；⒉x z
-；⒊()⎰⎰-+212
2
y y dx y x f dy ，；
⒋
1≥b
a
；⒌*321y e C e C y x x ++=-． 二．选择填空题〔此题总分值15分，共有5道小题，每道小题3分〕。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出适宜的答案填在空中，多项选择无效．
1．曲曲折折曲曲折折折折线Γ：⎩⎨⎧=++=++0
6
222z y x z y x 在点()121
，，-处的切线一定平行于_____． 〔A 〕．xOy 平面；〔B 〕．yOz 平面；〔C 〕．zOx 平面；〔D 〕．平面0=++z y x ． 2．L ：()()
⎩⎨
⎧==t y t x ψϕ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲曲折折曲曲折
折折折线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，那么
()=⎰L
dx y x f ，_________．
〔A 〕．
()()[]⎰β
αψϕdt t t f ，；〔B 〕．()()[]⎰α
β
ψϕdt t t f ，； 〔C 〕．
()()[]()⎰'β
αϕψϕdt t t t f ，；〔D 〕．()()[]()⎰'α
β
ϕψϕdt t t t f ，． 3．设k x j z i y A
++=，那么=A rot ______________．
〔A 〕．k j i ++；〔B 〕．()
k j i ++-；〔C 〕．k j i +-；〔D 〕．k j i
--．
4．函数()⎰=
x
dt t t
x f 0
sin 在0=x 处的幂级数展开式为___________． 〔A 〕．()()()
∑∞
=++--01212!121n n n
x n n ()+∞<<∞-x ；
〔B 〕．()()()
∑∞
=++--01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，
； 〔C 〕．()()()
∑∞
=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<∞-x ；
〔D 〕．()()()∑∞
=+++-0121
2!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，． 5．设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，那么
()()x y C x y C y 2211+=〔1C 与2C 为任意常数〕是该方程的通解．
〔A 〕．两个不同的解；〔B 〕．任意两个解； 〔C 〕．两个线性无关的解；〔D 〕．两个线性相关的解． 答案： ⒈〔D 〕；⒉〔D 〕；⒊〔B 〕；⒋〔C 〕；⒌〔C 〕． 三．〔此题总分值7分〕
设()xy y x f z ，+=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求y
x z ∂∂∂2．
解：
21f y f x
z
'+'=∂∂……3 因此，
2221212112f xy f y f f x f y x z
''+''+'+''+''=∂∂∂ ()2221211
f f xy f y x f '+''+''++''=……7 四．〔此题总分值7分〕 计算
⎰⎰
++--D
dxdy y
x y x 2
22
211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域． 解：
作极坐标变换θθsin cos r y r x ==，那么有
⎰⎰⎰⎰
+-=++--1
2
2
2
022221111rdr r r d dxdy y x y x D
π
θ……2 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=1
04
1
02
121arcsin 2
1
2r r π (5)
()28
-=
ππ
(7)
五．〔此题总分值8分〕
证实：曲曲折折曲曲折折折折面3
a xyz =〔0≠a 为常数〕上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数． 解：
令()3
a xyz z y x F -=，， (2)
那么yz F x ='，xz F y ='，xy F z ='
设()000z y x ，，为曲曲折折曲曲折折折折面3
a xyz =上的任意一点，那么在该点处的
切平面方程为
()()()0000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y (4)
化为截距式，有
13330
00=++z z y y x x 因此，所求四面体的体积为
30000002
9
2933361a z y x z y x V ==⋅⋅=
……8 即所求体积为常数． 六．〔此题总分值8分〕
求微分方程()x y y dx
dy
x
ln ln -=的通解． 解：原方程化为x
y
x y dx dy ln =，
这是一个齐次方程，令ux y =，那么dx
du
x
u dx dy +=，代进原方程，得 u u dx
du x u ln =+ (3)
不离变量，得()x
dx
u u du =-1ln
积分，得()C x u ln ln 1ln ln +=-， 即Cx u =-1ln (6)
代回原变量，得1
+=Cx e x
y ，
因此所求通解为1
+=Cx xe y (8)
七．〔此题总分值8分〕 求函数
的全微分，并研究在点()00，处该函数的全微分是否存在？ 解：
当()()00，，≠y x 时， (3)
(
)(
)
()
2
24
226422y
x
dy
y x x dx x y xy +-+-=
(3)
在原点()00，处，
()()()()()()
2420000y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆，，， 那么有()()()()()()()()2
2242
001
lim 0000lim
y x y x y x y f x f z y x ∆+∆⋅∆+∆∆∆=∆'-∆'-∆→→ρρρ，，，
令x y ∆=∆，那么有
因此，函数()y x f ，在点()00，处不可微． (8)
八．〔此题总分值8分〕 求三重积分
其中Ω是由曲曲折折曲曲折折折折线⎩
⎨⎧==022x z
y 绕z 轴旋转一周所成的曲曲折折曲曲折
折折折面与平面4=z 所围成的立体．
解：
作柱坐标变换z z r y r x ===，，θθsin cos ，……1 那么有
(
)
()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++=Ω
4
2
280
20
2
22r dz z r dr d dxdydz z y x I πθ (4)
π3
256
=
……8 九．〔此题总分值8分〕
求幂级数∑∞
=1
!n n n
n x n 的收敛域〔端点情形要讨论〕．
解：
设n n n n a !=
， 那么()()!1!1lim lim 11n n n n a a n
n n n
n n ⋅++=+∞→+∞→
e n n n 1111lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛+=∞→，
因此，收敛半径为e R =， (4)
当e x =时，级数为∑∞
=1
!n n n
n e n
而
()()111!1!111>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
⋅++++n
n
n n n n e e n n n e n
因此，0!lim
≠→∞n
n
n n e n 因此，级数∑∞
=1!n n n
n
e n 发散． (6)
同理，当e x -=时，级数()∑∞
=-1
!1n n n
n
n e n 也发散． (7)
因此幂级数∑∞
=1
!n n n
n x n 的收敛区间为()e e ，-． (8)
十．〔此题总分值8分〕
设()1=πϕ，试确定函数()u ϕ，使得曲曲折折曲曲折折折折线积分
在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，并求由点()01，A 到()ππ，B 的上述积分． 解：
因为()[]
x
y
x x P ϕ-=sin ，()x Q ϕ= 由于曲曲折折曲曲折折折折线积分()[]()⎰
+-L
dy x dx x
y x x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，因此
因此得微分方程()()x x x x x sin 1=
+
'ϕϕ 解此方程，得通解()x
x
C x cos -=ϕ (4)
代进()1=πϕ，得1-=πC
因此，所求函数为()x
x
x cos 1--=πϕ (5)
又()[]()()
()
⎰+-ππϕϕ，，01sin dy x dx x y
x x
πππ
ππ
=--+=⎰
cos 10dy (8)
十一．〔此题总分值8分〕
利用Gauss 〔高斯〕公式计算曲曲折折曲曲折折折折面积分
()()()
⎰⎰+
∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x
222
，
其中+
∑为球面()()()22
2
2
R c z b y a x =-+-+-的外侧．
解：
yz x P -=2，zx y Q -=2，xy z R -=2
因此，()z y x z
R
y Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂2
因此，由Gauss 公式，得
其中Ω为空间区域()()()(){
}
22
22R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，， (4)
而()()()(){
}
22
2
2
R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，，的重心为()c b a ，，，又设Ω
的体积为V ，那么
⎰⎰⎰Ω
=
xdxdydz V
a 1
，⎰⎰⎰Ω
=
ydxdydz V
b 1，⎰⎰⎰Ω
=
zdxdydz V
c 1
因此，
()()()
⎰⎰+
∑
-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x
222
()c b a R ++=33
8
π． (8)。