海南省三亚市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题含解析

海南省三亚市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列哪一个是假命题（ ）
A ．五边形外角和为360°
B ．切线垂直于经过切点的半径
C ．（3，﹣2）关于y 轴的对称点为（﹣3，2）
D ．抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=2
2．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DC ∥AB ，下列说法正确的是（ ）
A ．BC=CD
B ．AD ∥B
C C ．AD=BC
D ．点A 与点C 关于BD 对称
3．从一个边长为3cm 的大立方体挖去一个边长为1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在解方程12x -－1＝313
x +时，两边同时乘6，去分母后，正确的是( ) A ．3x －1－6＝2(3x ＋1) B ．(x －1)－1＝2(x ＋1)
C ．3(x －1)－1＝2(3x ＋1)
D ．3(x －1)－6＝2(3x ＋1) 5．今年春节某一天早7:00，室内温度是6℃，室外温度是－2℃，则室内温度比室外温度高( ) A ．－4℃ B ．4℃ C ．8℃ D ．－8℃
6．关于x 的一元二次方程x 2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( )
A ．q<16
B ．q>16
C ．q≤4
D ．q≥4
7．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）
A ．()3,2-
B ．()2,3
C ．()2,3--
D ．()2,3-
8．一次函数
1
1
2
y x
=-+的图像不经过的象限是：（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（）A．30°B．60°C．120°D．180°10．tan60°的值是( )
A．3B．3
C．
3
D．
1
2
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）
A．B．
C．D．
12．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）
A．EF CF
AB FB
=B．
EF CF
AB CB
=C．
CE CF
CA FB
=D．
CE CF
EA CB
=
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．
14．计算：（π﹣3）0+（﹣1
3
）﹣1=_____．
15．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB交于点D，连接OD，若点B的坐标为（2，3），则△OAD的面积为_____．
16．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______度．
17．⊙M的圆心在一次函数y=1
2
x+2图象上，半径为1．当⊙M与y轴相切时，点M的坐标为_____．
18．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．
20．（6分）计算：（-1
3
）-2– 2（34
+）+ 112
-
21．（6分）现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
22．（8分）为了丰富校园文化，促进学生全面发展．我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”活动．今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E 五个等级，该校部分学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．
（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；
（2）求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；
（3）已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率．
23．（8分）如图，已知一次函数y=3
2
x﹣3与反比例函数
k
y
x
=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交
于点B．
填空：n的值为，k的值为；以AB为边作菱形ABCD，使点C
在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；考察反比函数
k
y
x
=的图象，当2
y≥-时，请直接
写出自变量x的取值范围．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O 经过点E，且交BC于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
25．（10分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC3，求EC的长.
26．（12分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据
3≈1.732）
27．（12分）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.1．）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
分析：
根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可.
详解：
A选项中，“五边形的外角和为360°”是真命题，故不能选A；
B选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B；
C选项中，因为点（3，-2）关于y轴的对称点的坐标是（-3，-2），所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C；
D选项中，“抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D.
故选C.
点睛：熟记：（1）凸多边形的外角和都是360°；（2）切线的性质；（3）点P（a，b）关于y轴的对称点为
（-a ，b ）；（4）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线：2b x a
=-
等数学知识，是正确解答本题的关键.
2．A
【解析】
【分析】 由BD 是∠ABC 的角平分线，根据角平分线定义得到一对角∠ABD 与∠CBD 相等，然后由DC ∥AB ，根据两直线平行，得到一对内错角∠ABD 与∠CDB 相等，利用等量代换得到∠DBC=∠CDB ，再根据等角对等边得到BC=CD ，从而得到正确的选项．
【详解】
∵BD 是∠ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD ，
又∵DC ∥AB ，
∴∠ABD=∠CDB ，
∴∠CBD=∠CDB ，
∴BC=CD ．
故选A ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质．学生在做题时，若遇到两直线平行，往往要想到用两直线平行得同位角或内错角相等，借助转化的数学思想解决问题．这是一道较易的证明题，锻炼了学生的逻辑思维能力．
3．C
【解析】
【详解】
左视图就是从物体的左边往右边看．小正方形应该在右上角，故B 错误，看不到的线要用虚线，故A 错误，大立方体的边长为3cm ，挖去的小立方体边长为1cm ，所以小正方形的边长应该是大正方形13，故D 错误，所以C 正确．
故此题选C ．
4．D
【解析】 解：1316(1)623
x x -+-=⨯ ，∴3（x ﹣1）﹣6=2（3x+1），故选D ． 点睛：本题考查了等式的性质，解题的关键是正确理解等式的性质，本题属于基础题型．
5．C
根据题意列出算式，计算即可求出值．
【详解】
解：根据题意得：6-（-2）=6+2=8，
则室内温度比室外温度高8℃，
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．A
【解析】
∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16，
故选 A.
7．D
【解析】
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】
解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．
【点睛】
本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.
8．C
【解析】
试题分析：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限；当k＜0，b
＜0，图像过二三四象限.这个一次函数的k=
1
2
＜0与b=1＞0，因此不经过第三象限.
答案为C
考点：一次函数的图像9．C
求出正三角形的中心角即可得解
【详解】
正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，
故选C ．
【点睛】
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键
10．A
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
tan60°故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．D
【解析】
【分析】
在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm ，可得AB=A=∠B=45°，分当0＜x≤3（点Q 在AC 上运动，点P 在AB 上运动）和当3≤x≤6时（点P 与点B 重合，点Q 在CB 上运动）两种情况求出y 与x 的函数关系式，再结合图象即可解答.
【详解】
在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm ，可得AB=A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q 在AC 上运
动，点P 在AB 上运动（如图1）， 由题意可得x ，AQ=x ，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ，在等腰
直角三角形AQN 中，求得x ，所以y=12AP QN ⋅=211=222
x x ⨯（0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y 随x 的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P 与点B 重合，点Q 在
CB 上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x ，，过点Q 作QN ⊥BC 于点N ，在等腰直角三角形
PQN中，求得QN=
2
2
(6-x)，所以y=
1
2
AP QN
⋅=123
32(6)=9
222
x x
⨯⨯--+（3≤x≤6），即当3≤x≤6
时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.
【点睛】
本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答．
12．B
【解析】
分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判断.
详解: ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴EF CF CE
AB CB CA
==,故选B.
点睛：本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．8﹣π
【解析】
分析：
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.
详解：
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，
∴∠DHE=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=2，
∴22
3213
+=
由旋转的性质结合已知条件易得：13，OE=BO=2，OF=AO=3，
∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DEH，
∴△DEH≌△BAO，
∴DH=BO=2，
∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF
=
22 9031190(13)
3252
36022360
ππ
⨯⨯
+⨯⨯+⨯⨯-
=8π
-.
故答案为：8π
-.
点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.
14．-1
【解析】
【分析】
先计算0指数幂和负指数幂，再相减.
【详解】
（π﹣3）0+（﹣1
3
）﹣1，
=1﹣3，
=﹣1，
故答案是：﹣1．【点睛】
考查了0指数幂和负指数幂，解题关键是运用任意数的0次幂为1，a-1=1 a .
15．．【解析】
由点B的坐标为（2，3），而点C为OB的中点,则C点坐标为（1，1.5），利用待定系数法可得到k=1.5，然后利用k的几何意义即可得到△OAD的面积.
【详解】
∵点B的坐标为（2，3），点C为OB的中点，
∴C点坐标为（1，1.5），
∴k=1×1.5=1.5，即反比例函数解析式为y=，
∴S△OAD=×1.5=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于.
16．270
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和与平角定义可求解．
【详解】
解析：如图，根据题意可知∠5=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°，故答案为：270度.
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．
17．（1，5
2
）或（﹣1，
3
2
）
【分析】
设当⊙M与y轴相切时圆心M的坐标为（x，1
2
x+2），再根据⊙M的半径为1即可得出y的值．
【详解】
解：∵⊙M的圆心在一次函数y=1
2
x+2的图象上运动，
∴设当⊙M与y轴相切时圆心M的坐标为(x, 1
2
x+2)，
∵⊙M的半径为1，∴x=1或x=−1，
当x=1时,y=5
2
，
当x=−1时,y=3 2 .
∴P点坐标为：(1, 5
2
)或(−1,
3
2
).
故答案为(1, 5
2
)或(−1,
3
2
).
【点睛】
本题考查了切线的性质与一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握切线的性质与一次函数图象上点的坐标特征.
18．20 cm．
【解析】
【分析】
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【详解】
解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得2222
A B A D BD121620
'='+=+=（cm）．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．C点到地面AD的距离为：（22+2）m．
【解析】
【分析】
直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE，CF的长，进而得出答案．
【详解】
过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，
在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，
∴BE=2m，
由题意可得：BF∥AD，
则∠FBA=∠A=30°，
在Rt△CBF中，
∵∠ABC=75°，
∴∠CBF=45°，
∵BC=4m，
∴CF=sin45°•BC=22m，
222m．
∴C点到地面AD的距离为：()
【点睛】
考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
20．0
【解析】
【分析】
本题涉及负指数幂、二次根式化简和绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
【点睛】
本题主要考查负指数幂、二次根式化简和绝对值，熟悉掌握是关键.
21．（1）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算，能节省400元钱；（3）这台冰箱的进价是2480元．
【解析】
【分析】
（1）设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等，根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，列出方程，解方程即可；根据x的值说明在什么情况下购物合算
（2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算，以及节省的钱数；
（3）设进价为y元，根据售价-进价=利润，则可得出方程即可．
【详解】
解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．
根据题意，得300+0.8x＝x，
解得x＝1500，
所以当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；
当顾客消费少于1500元时，300+0.8x>x不买卡合算；
当顾客消费大于1500元时，300+0.8x<x买卡合算；
（2）小张买卡合算，
3500﹣（300+3500×0.8）＝400，
所以，小张能节省400元钱；
（3）设进价为y元，根据题意，得
（300+3500×0.8）﹣y＝25%y，
解得y＝2480
答：这台冰箱的进价是2480元．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．22．（1）50；（2）115.2°；（3）.
【解析】
（1）先求出参加本次比赛的学生人数；（2）由（1）求出的学生人数，即可求出B等级所对应扇形的圆心角度数；（3）首先根据题意列表或画出树状图，然后由求得所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案．
（2）B 等级的学生共有：（人）.
∴所占的百分比为：
∴B 等级所对应扇形的圆心角度数为：.
（3）列表如下： 男 女1 女2 女3 男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男） 女1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） 女2 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种. ∴P （选中1名男生和1名女生）
.
“点睛”本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．通过扇形统计图求出扇形的圆心角度数，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键． 23． (1)3，1；133)；(3) x 6≤-或x 0> 【解析】 【分析】
（1）把点A （4，n ）代入一次函数y=3
2x-3，得到n 的值为3；再把点A （4，3）代入反比例函数k y x
=，得到k 的值为1；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B 的坐标为（2，3），过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，根据勾股定理得到13AAS 可得△ABE ≌△DCF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D 的坐标；
（3）根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x 的取值范围． 【详解】
解：（1）把点A （4，n ）代入一次函数y=
32x-3，可得n=3
2
×4-3=3； 把点A （4，3）代入反比例函数k y =
，可得3=k ，
（2）∵一次函数y=3
2
x-3与x 轴相交于点B ， ∴
3
2
x-3=3， 解得x=2，
∴点B 的坐标为（2，3），
如图，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，
∵A （4，3），B （2，3）， ∴OE=4，AE=3，OB=2， ∴BE=OE-OB=4-2=2， 在Rt △ABE 中， 22223123AE BE ++==
∵四边形ABCD 是菱形， ∴13AB ∥CD ， ∴∠ABE=∠DCF ， ∵AE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴， ∴∠AEB=∠DFC=93°， 在△ABE 与△DCF 中，
AEB DFC ABE DCF AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△DCF （ASA ）， ∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴1313 ∴点D 的坐标为（133）． （3）当y=-2时，-2=
12
x
，解得x=-2．
【分析】
（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.
（2）根据垂径定理可求BH=1
2
BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，
由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长. 【详解】
（1）证明：如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵ BE平分∠ABC．
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠OEB=∠EBC，
∴OE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴ AC是⊙O的切线.
（2）解：过O作OH⊥BF，
∴BH=1
2
BF=3，四边形OHCE是矩形，
∴CE=OH，
∴，
∴CE=1.
【点睛】
本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
25．（1）见解析；（2）EC=
【解析】
【分析】
（1）直接利用直角三角形的性质得出
1
2
DE BE AB
==，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答
案；
（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC=DB的长，进而得出EC的长. 【详解】
（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴
1
2
DE BE AB
==.
∴∠1＝∠2.
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴BD平分∠ABC.
（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，
∴∠1＝60°.
∴∠3＝∠2＝60°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠4＝30°.
∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.
在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC=，∴DB＝2.
∵DE＝BE，∠1＝60°，
∴DE＝DB＝2.
∴EC==
【点睛】
此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键. 26．隧道最短为1093米．
【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【详解】如图，作BD⊥AC于D，
由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），
∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，
∵tan30°=BD
AD
，即
4003
3
AD
=，
∴3（米），在Rt△BCD中，
∵tan45°=BD
CD
，即
400
1
CD
=，
∴CD=400（米），
∴3（米），
答：隧道最短为1093米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
27．建筑物AB的高度约为5.9米
【解析】
【分析】
在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度；【详解】
在Rt△CED中，∠CED=58°，
CD
∴DE=2tan 58tan 58
o o CD = ， 在Rt △CFD 中，∠CFD=22°，
∵tan22°=CD DF
， ∴DF=2tan 22tan 22o o
CD = ， ∴EF=DF ﹣DE=2tan 22o －2tan 58
o ， 同理：EF=BE ﹣BF=tan 4570o o
AB AB tam - ， ∴tan 4570o o AB AB tam -＝2tan 22o －2tan 58o ， 解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物AB 的高度约为5.9米．
【点睛】
考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．。