2019最新九年级数学上册 第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆教案2 (新版)新人教版

24．3 正多边形和圆
01 教学目标
1．了解正多边形的概念．
2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．
3．会进行有关圆与正多边形的计算．
4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形．
5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．
02 预习反馈
阅读教材P 105～107，完成下列知识探究．
1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°边数
． 4．正n 边形都是轴对称图形，它的对称轴有n 条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．
03 新课讲授
例1 (教材P106例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m 的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．
【解答】 如图，连接OB ，OC .
因为六边形ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360°6
＝60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l ＝6×4＝24(m)．
作OP ⊥BC ，垂足为P .
在Rt△OPC 中，OC ＝4 m ，PC ＝BC 2＝42
＝2(m)， 利用勾股定理，可得边心距r ＝42－22
＝23(m)．
亭子地基的面积S ＝12lr ＝12×24×23≈41.6(m 2)． 思考：正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
【跟踪训练1】 (24.3习题)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，求⊙O 的内接正三角形EFG 的边长．
解：连接AC ，OE ，OF ，作OM ⊥EF 于M ，
根据正方形的性质可得AB ＝BC ＝4.
∵∠ABC ＝90°，∴AC 是⊙O 的直径．
在Rt△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋42
＝4 2.
∴OE ＝OF ＝22.∵OM ⊥EF ，∴EM ＝MF .
∵△EFG 是正三角形，∴∠G ＝60°.∴∠EOF ＝2∠G ＝120°.
∴∠EOM ＝12
∠EOF ＝60°.∴∠OEM ＝30°. 在Rt△OME 中，OE ＝22，∠OEM ＝30°，
∴OM ＝2， ME ＝OE 2－OM 2＝（22）2－（2）2＝ 6.
∴EF ＝2ME ＝26，
即正三角形EFG 的边长为2 6.
例2 已知⊙O，求作⊙O 的内接正△ABC.
【解答】 作直径AM ；再作OM 的垂直平分线BC ，交⊙O 于B ，C ；连接AB ，AC ，则△ABC 为⊙O 的内接正三角形．
【跟踪训练2】 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
【点拨】 只要作出已知⊙O 的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
04 巩固训练
1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C )
A ．3 3
B ．9 3
C ．18 3
D ．36 3
3．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A )
A ．2
B . 3
C ．1
D .12
4．正三角形的边心距、半径和高的比为(D ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶3 C ．1∶2∶ 3 D ．1∶2∶3
5．如图，正六边形的内切圆的半径OD ＝ 3 cm ，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB
＝2cm ，正六边形的面积S 2
.
6．如图，已知正三角形ABC 的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．
解：设这个正三角形的中心为O ，连接OB ，OC ，作OH⊥BC 于H.
∵∠BOC＝360°3＝120°，∴∠BOH＝60°.
在Rt △BOH 中，BH ＝12BC ＝3，∠OBH＝30°， ∴OH＝3，OB ＝23，
即该正三角形的中心角为120°，半径为23，边心距为 3.
【点拨】 正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．
05 课堂小结
1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．
3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．
4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.。