线性代数自考题-2_真题(含答案与解析)-交互

线性代数自考题-2
(总分100, 做题时间90分钟)
第一部分选择题
一、单项选择题
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。

1.
设，当x与y满足______时，有AB=BA．
• A. 2x=7
• B. 2y=x
• C. y=x+1
• D. y=x-1
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 2
答案:C
[解析] 由于
，
，
∵
解得y=x+1．答案为C．
2.
如果n阶方阵A满足A T·A=A·A T=I，则A的行列式|A|为______ • A.|A|=1
• B.|A|=-1
• C.|A|=1或-1
• D.|A|=0
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 2
答案:C
[解析] |A·A T|=|A|·|A T|=|A|2=|I|=1，所以|A|=±1．答案为C．
3.
设A是n阶方阵，已知A2-2A-2I=0，则(A+I)-1=______
A．3I-A B．3I+A
C．A-3I D．
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 2
答案:A
[解析] 把已知关系式A2-2A-2I=O写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵，由题设关系式A2-2A-2I=O，可得A(A+I)-3(A+I)=-I，即(A+I)(3I-A)=I，故(A+I)-1=3I-A．答案为A．
4.
已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为______ A．(5，-3，-1) B．
C． D．
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 2
答案:A
[解析] 将四个选项代入验证Ax=0是否成立即可．答案为A．
5.
齐次线性方程组的自由未知量是______
•**，x2
•**，x3
•**，x4
**，x4
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 2
答案:C
[解析] 对系数矩阵作初等变换得：
，
即
故．所以x
2，x
4
为自由未知量．答案为C．
第二部分非选择题
二、填空题
1.
行列式=______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:0
[解析] 按定义计算，可得结果为0．
2.
设A为n阶方阵，且|A|=2，则=______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] ．
3.
设矩阵，则A T·A______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] ．
4.
分块矩阵，则A T=______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] 由转置矩阵的定义知．
5.
已知α
1，α
2
线性无关而α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则向量组α
1
，3α
2
，7α
3
的
极大无关组为______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:α
1，3α
2
[解析] 分析：由于α
1与3α
2
线性无关，并且7α
3
可由α
1
，3α
2
线性表示．
6.
设矩阵A为4×6矩阵，如果秩A=3，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数为______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:3
[解析] 由于AX=0是6个未知量的齐次线性方程组．6-r(A)=6-3=3，所以基础解系中含有3个解向量．
7.
设λ=2是n阶方阵A的一个特征且|A|≠0，则n阶方阵B=A3-3E+A-1必有特征值______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] |A|≠0，因此A可逆，又λ=2是A的特征值，因此存在非零向量α使得Aα=2α，所以A3α=A2(Aα)=α2(2α)=2A(Aα)=4Aα=8α，α，所以，所以B有特征值．
8.
设3阶方阵A的特征值为λ
1=-1，λ
2
=1，λ
3
=2，则|A|=______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:-2
[解析] |A|=λ
1·λ
2
·λ
3
=-2．
9.
已知三阶矩阵有一个特征向量p=，则x=______，y=______，p所对应的特征值λ=______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:x=-2，y=6，λ=-4
[解析] 设矩阵A的特征向量p所对应的特征值为λ，则有
(λI-A)p=0，
即
或
解得x=-2，y=6，λ=-4．
10.
已知，二次型f(x)=x T Ax的矩阵为______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] 因为二次型f(x
1，x
2
，x
3
)=+，故由二次型矩阵的定义知矩阵为．
三、计算题
1.
计算．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
2.
设f(x)是二次多项式，已知f(1)=1，f(-1)=9，f(2)=-3，求出f(3)．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
设f(x)=ax2+bx+c，则有
解得a=0，b=-4，c=5，从而f(x)=-4x+5，f(3)=-7．
3.
设A、B为两个三阶矩阵，且|A|=-1，|B|=5．求|2(A T B-1)2|．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
．
4.
设向量α，β，γ满足5(α-γ)+3(β+γ)=0，其中，求α+β+γ．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
由于5α-5γ+3β+3γ=0，所以所以．
5.
设向量都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α
1+2α
2
，
求A2β．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
因此
r(A)=3．
6.
将线性无关向量组，化为单位正交向量组．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
用施密特正交化方法，有
则β
1，β
2
，β
3
是正交向量组，再单位化，有
，
则γ
1，γ
2
，γ
3
是单位正交向量组．
7.
用正交变换将二次型f(x
1，x
2
，x
3
)=-2x
1
x
2
-2x
1
x
3
-2x
2
x
3
化为标准型并写出正
交变换．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 9
答案:
首先写出二次型的系数矩阵为
A的特征多项式|λE-A|=λ(λ-3)2，所以A的特征值为λ
1=λ
2
=3，
λ
3
=0．
对于λ
1=λ
2
=3解齐次线性方程组(3E-A)X=0，求出基础解系α
1
=将α
1
，
α
2标准正交化得，β
2
对于λ
3
=0，解齐次线性方程组(-A)X=0，求出基础解系
将α
3
标准化得
令，则P为正交矩阵，经过正交变换X=PY，二次型化为标准型．
四、证明题
1.
已知向量β=(-1，2，s)可由α
1=(1，-1，2)，α
2
=(0，1，-1)，α
3
=(2，-3，
t)惟一地线性表示，求证：t≠5．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 7
答案:
[证明] α
1，α
2
，α
3
是3个3维向量，如果它们线性无关，则任意一个3维向
量均可惟一地由它们线性表示．反之，若它们线性相关，则或者不能表示，或
者表示不惟一，而α
1，α
2
，α
3
要线性无关，由它们组成的矩阵必
须是非奇异矩阵，即通过计算得t≠5．1。