高中数学必修4练习题第一章 1.5(二)

§1.5函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(二)
学习目标
1.会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象.
2.能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.
3.了解y＝A sin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点一“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤
第一步：列表：
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
知识点二函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
知识点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0中参数的物理意义
1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
5的振幅是－2.( × ) 提示 振幅是2.
2．函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相是π
4.( × ) 提示 初相是－π
4
.
3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象的对称轴方程是x ＝π
4
＋k π，k ∈Z .( √ ) 提示 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，即f (x )的图象的对称轴方程是x ＝π
4＋k π，
k ∈Z .
4．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .( × ) 提示 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝－π6＋k π
2
，k ∈Z ，即f (x )的图象的对称中心坐标为
⎝⎛⎭
⎫－π6＋k π2，0，k ∈Z .
题型一 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的
图象
例1 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫
x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
考点 三角函数(正弦)的图象 题点 正弦函数的图象 解 (1)列表：
(2)描点画图：
反思感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π
2，2π，
解出x ，从而确定这五点．
(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象． 跟踪训练1 已知f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π
2上的图象． 考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数的图象
解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴2x －π
4∈⎣⎡⎦⎤－54π，34π. 列表如下：
(2)描点，连线，如图所示．
题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A ＝3，
又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2π
T
＝2. 由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π
6
×2＋φ＝2k π，k ∈Z ，
∴φ＝π
3
＋2k π，k ∈Z .
又|φ|<π2，得φ＝π
3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)
由图象知A ＝3，又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫
5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点
法”中的第三点和第五点)，有⎩⎪⎨⎪⎧
π3
·ω＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，5π
6·ω＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，|φ|<π2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
ω＝2，φ＝π
3.
∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3. 方法三 (图象变换法)
由T ＝π，点⎝⎛⎭
⎫－π
6，0，A ＝3可知， 图象是由y ＝3sin 2x 向左平移π
6
个单位长度而得到的，
∴y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. 反思感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.
(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π
|ω|，确定ω.
(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φ
ω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
2；
“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2；
“第五点”为ωx ＋φ＝2π.
跟踪训练2 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________.
考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案
910
π 解析 由题意得T 2＝2π－3
4π，
所以T ＝52π，ω＝4
5
.
又由x ＝3
4π时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝⎛⎭⎫35π＋φ， 又－2π5<35π＋φ≤8
5π，
所以35π＋φ＝32π，
所以φ＝910
π.
综合利用正弦、余弦函数性质求参数
典例 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π
2的最高点为(2，2)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x 轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式；
(2)求函数在x ∈[－6,0]上的值域． 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 解 (1)由题意可知A ＝2，T
4＝6－2＝4，
∴T ＝16，即2πω＝16，∴ω＝π
8，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又图象过最高点(2，2)，∴sin ⎝⎛⎭⎫π
8×2＋φ＝1， 故π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π
4＋2k π，k ∈Z ， 由|φ|≤π2，得φ＝π
4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. (2)∵－6≤x ≤0，∴－π2≤π8x ＋π4≤π4，
∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫
π8x ＋π4≤1.
即函数在x ∈[－6,0]上的值域为[－2，1]．
[素养评析] 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质，根据条件进行推理，得出相应结论，通过本题的训练，使学生能够掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，从而提升学生逻辑推理
的数学核心素养.
1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭
⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π
6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π
6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
考点 求三角函数解析式 题点 三角函数中参数的物理意义 答案 A
解析 T ＝2πω＝2π
π
3
＝6.
∵f (x )的图象过点(0,1)，∴sin φ＝1
2.
∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6
.
2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π6 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π6 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6 D ．f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6 考点 求三角函数解析式 题点 根据三角函数图象求解析式 答案 D
解析 由图象可知，A ＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎫
5π12－π6＝π， 所以2π
ω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，
因为图象过点⎝⎛⎭⎫
π6，2，
所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，所以sin ⎝⎛⎭
⎫π
3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π
6＋2k π，k ∈Z ，
因为|φ|<π2，所以φ＝π
6
，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫
π3，0对称 B ．关于直线x ＝π
4对称
C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称
D ．关于直线x ＝π
3对称
考点 正弦、余弦函数的周期性与对称性 题点 正弦、余弦函数的周期性与对称性
答案 A
解析 由T ＝2π
ω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫
π3，0对称．
4．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π
6
B ．x ＝5π
12
C ．x ＝2π
3
D ．x ＝－2π
3
考点 正弦、余弦函数的周期性与对称性 题点 正弦、余弦函数的对称性 答案 B
解析 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π
12，k ∈Z ，
当k ＝1时，x ＝5π
12
，故选B.
5．关于函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π
4，以下说法： ①其最小正周期为2π
3；
②图象关于点⎝⎛⎭⎫
π4，0对称； ③直线x ＝－π
4是其一条对称轴．
其中正确说法的序号是________． 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 答案 ①②③ 解析 T ＝2πω＝2π
3
；
当x ＝π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－3π4＝0， 所以图象关于点⎝⎛⎭⎫
π4，0对称，
当x ＝－π
4时，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3π4－3π4＝2， 所以直线x ＝－π
4
是其一条对称轴．
1．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，3
2π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值．
2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.
(2)因为T ＝2π
ω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定
T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T
2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φ
ω，0(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π
2
＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．
一、选择题
1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π
6的函数表达式是( )
A ．y ＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π6 考点 求三角函数的解析式 题点 三角函数中参数的物理意义 答案 D
解析 由最小正周期为2π
3，排除A ，B ；
由初相为π
6
，排除C.
2．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π
6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0
D ．－3或3 考点 正弦、余弦函数的周期性与对称性 题点 正弦、余弦函数的对称性 答案 D
解析 由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 知，x ＝π
6是函数的对称轴，解得f ⎝⎛⎭⎫π6＝3或－3，故选D. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移π
8个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既奇又偶函数 C ．奇函数
D ．偶函数
考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 答案 C
解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移π
8个单位长度后， 得函数y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π
4＝sin 2x ，为奇函数，故选C. 4．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π
4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.5
3
D ．2 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 答案 D
解析 函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω>0)的图象，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得0＝sin ωπ
2，故ω的最小值是2. 5．如图所示，函数的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式
答案 D
解析 由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT
＝2. 又当x ＝π
12
时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．
6．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π
6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )
A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
B ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
D ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
考点 求三角函数解析式、三角函数图象变换 题点 根据图象求解析式 答案 A
解析 由图象可知A ＝1，T ＝5π
6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2π
T ＝2.
∵图象过点⎝⎛⎭⎫
π3，0， ∴sin ⎝⎛⎭
⎫2π
3＋φ＝0，
∴2π
3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π
3
＋2k π，k ∈Z .
∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. 故将函数y ＝sin x 的图象上所有的点先向左平移π
3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短
到原来的1
2
，纵坐标不变，可得原函数的图象．
7.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝
⎛⎭⎫k π－14，k π＋3
4，k ∈Z B.⎝
⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14
，k ＋3
4，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z 考点 求三角函数解析式、正余弦函数的单调性 题点 根据图象求解析式 答案 D
解析 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2π
ω
＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4
，
∴f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π
4<2k π＋π，k ∈Z ，得
2k －14<x <2k ＋3
4
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z . 故选D. 二、填空题
8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.
考点 求三角函数的解析式 题点 根据图象求解析式 答案 3
2
解析 由题图，知T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3，又T ＝2πω＝4π3，∴ω＝3
2
.
9．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π
2，x ∈R 的部分图象如图所示，则A ＋ω＋φ＝________.
考点 求三角函数解析式 题点 根据三角函数图象求解析式 答案 3＋π
6
解析 由图可知A ＝2，T 4＝5π6－π3＝π
2，
所以T ＝2π，所以ω＝1.
再根据f ⎝⎛⎭⎫π3＝2得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
即φ＝π
6＋2k π(k ∈Z )．
又因为－π2<φ<π
2
，
所以φ＝π6，因此A ＋ω＋φ＝3＋π
6
.
10．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________．(填序号) ①y ＝f (x )的表达式可改写为f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
6； ②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π
6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π
6对称．
考点 正弦、余弦函数性质的综合应用
题点 正弦函数性质的综合应用 答案 ①③
解析 因为4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
6，所以①正确； f (x )的最小正周期为2π
2
＝π，易得②不正确；
f ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，故⎝⎛⎭
⎫－π
6，0是对称中心，③正确，④不正确． 11．已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，且在区间⎝⎛⎭⎫0，π
14上单调递增，则ω的最大值为________．
考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用 答案 6
解析 函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，且在⎝⎛⎭
⎫0，π
14上单调递增， 所以⎩⎨⎧
2π
3
ω＝k π，k ∈Z ，π14ω≤π
2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
ω＝32k ，k ∈Z ，
ω≤7，ω的最大值为6.
三、解答题
12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭
⎫π2>f ()π，求f (x )的单调递增区间．
考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 解 ∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，
∴sin(π＋φ)>sin φ，得sin φ<0.
又f (x )≤⎪⎪⎪
⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立， 故f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝π
2
＋k π，k ∈Z ，
∴φ＝π
6
＋k π，k ∈Z .
又sin φ<0，不妨取φ＝－5π
6，
故f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π，k ∈Z .
故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦
⎤π6＋k π，2π
3＋k π，k ∈Z . 13．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π
8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π8，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2. (1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫
3π8－π8＝π， ω＝2π
T
＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．
又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z .又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π
4， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4. (2)列出x ，y 的对应值表：
描点，连线，如图所示．
14．已知函数f(x)＝sin πx和函数g(x)＝cos πx在区间[－1,2]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是()
A.
2
2 B.
32
4 C. 2 D.
52
4
考点三角函数正弦、余弦函数的图象题点正弦、余弦函数的图象
答案 C
解析由题意得sin πx＝cos πx，
所以tan πx＝1，所以πx＝π
4
＋kπ(k∈Z)，
即x＝1
4
＋k(k∈Z)．
又因为x ∈[－1,2]，所以x ＝－34，14，5
4，
因此A ⎝⎛⎭⎫－34，－22，B ⎝⎛⎭⎫14，22，C ⎝⎛⎭⎫54，－2
2，
所以△ABC 的面积是12×⎝⎛⎭⎫2
2×2×⎝⎛⎭
⎫54＋34＝2，故选C. 15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)． (1)求f (x )的解析式及x 0的值； (2)求f (x )的单调递增区间； (3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域． 考点 求三角函数解析式 题点 根据三角函数图象求解析式 解 (1)由题意作出f (x )的简图如图．
由图象知A ＝2，由T
2＝2π，得T ＝4π.
∴4π＝2πω，即ω＝1
2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ， ∴f (0)＝2sin φ＝1， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π
6，
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π6.
∵f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π
6＝2， ∴12x 0＋π6＝π
2＋2k π，k ∈Z ， ∴x 0＝4k π＋2π
3
，k ∈Z ，
又(x 0，2)是y 轴右侧的第一个最高点， ∴x 0＝2π3
.
(2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－4π3＋4k π≤x ≤2π
3
＋4k π，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3＋4k π，2π
3＋4k π(k ∈Z )． (3)∵－π≤x ≤π， ∴－π3≤12x ＋π6≤2π
3，
∴－
3
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6≤1， ∴－3≤f (x )≤2， 故f (x )的值域为[－3，2]．。