类等比放缩专练

指数型数列--类等比放缩法
原理：由
1
n
n a q a -≤ 可以得到： 2211221....n n n n n a a q a q a q a q ----≤≤≤≤≤ 从而可以构造类等比的通项公式进行放缩。

从而有以下三种放缩度的控制
211231111........n n a a a a a a q a q a q -++++≤++++ （从2a 开始放） 21231222........n n a a a a a a a q a q -++++≤++++ （从3a 开始放）
241231234444.......n n a a a a a a a a a q a q a q -++++≤+++++++ （从4a 开始放）
1、 设1
2n n a n -=⋅，证明：
12311113 (2)
n a a a a ++++<
2、（技巧积累：浓度不等式）设141n n
a =-，1231
(2)
n a a a a ++++<
3、1
2n n a -=，1
31
n n a b =
-。

证明：123....3n b b b b ++++<
4、求证: 7
4123112311311<+⋅+++⨯++-n
5、(类等比数列放缩法 技巧积累：如何进行化简整理出类公比 ) 已知数列的首项为
12a =，前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，当n ≥2时，a n 总是3S n －4与2－5
2S n 的等差
中项．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设(1)n n b n a =+，n T 是数列{}n b 的前项和，*
n N ∈求n T ；
（Ⅲ）设13423n n n n n a c a -=⋅-⋅，n P 是数列{}n c 的前项和，，*
n N ∈，试证明：32
n
P <．
6.(技巧积累：类等比放缩，浓度不等式)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足
1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。

（3）证明：对一切正整数n ，有12
11132
n a a a +++
<
7.(2012广东)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*
1221()n n n S a n N ++=-+∈，且
123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。

（3）证明：对一切正整数n ，有12
11132
n a a a +++
<
答案
4、求证: 7
4123112311311
<+⋅+++⨯++-n 解
析:
1
21123123128111231714112311231131---⋅++⋅+<+⋅+++=+⋅+++⨯++n n n 74
844884472
1141
312811=
<=-⋅+<
5、(类等比数列放缩法 技巧积累：如何进行化简整理出类公比 ) 已知数列的首项为
12a =，前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，当n ≥2时，a n 总是3S n －4与2－5
2S n 的等差
中项．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设(1)n n b n a =+，n T 是数列{}n b 的前项和，*
n N ∈求n T ；
（Ⅲ）设1
3423n n n n n a c a -=
⋅-⋅，n P 是数列{}n c 的前项和，，*
n N ∈，试证明：32
n P <． 解：（Ⅰ）当n ≥2时，2a n ＝3S n －4＋2－5
2S n ，
即2(S n －S n －1)＝3S n －4＋2－5
2S n ，
所以S n ＝1
2
S n －1＋2
∴a n ＋1a n ＝S n ＋1－S n S n －S n －1＝(12S n ＋2)－(1
2S n －1＋2)
S n －S n －1＝1
2(n ≥2) 又2＋a 2＝12×2＋2＝3 ⇒ a 2＝1 ⇒ a 2a 1＝12
∴数列{a n }是首项为2，公比为1
2的等比数列
∴a n ＝22－
n (n ∈N *)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n ＝22－
n (n ∈N *)
则T n ＝b 1＋b 2＋……＋b n
＝2×2＋3×1＋4×12
＋……＋(n ＋1)×22－
n
∴12 T n ＝ 2×1＋3×12＋……＋n×23－n ＋(n ＋1)×22－n , 作差得：12 T n ＝2×2＋1＋12＋14＋……＋23－n －(n ＋1)22－n
＝6－n ＋3
2n －1
∴T n ＝12－n ＋3
2n －2(n ∈N *)
（Ⅲ）证明：1133999
42343343244324
n n n n n n n n n n n n
n a c a --=
===<⋅-⋅-⋅-⋅+-⋅ 122311
(1)
91111931344()(1).1244442242
14
n n n n n P c c c -∴=+++<++++=⋅=-<- 6.(技巧积累：类等比放缩，浓度不等式)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足
1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。

（3）证明：对一切正整数n ，有
12
11
132
n a a a +++
< 【解析】（1）12112221,221n n n n n n S a S a +++++=-+=-+ 相减得：1
2132n n n a a +++=+
12213212323,34613S a a a a a a =-⇔=+=+=+ 123,5,a a a +成等差数列13212(5)1a a a a ⇔+=+⇔=
（2）121,5a a ==得132n n n a a +=+对*
n N ∀∈均成立 1113223(2)n n n
n n n n a a a a +++=+⇔+=+
得：
1
1
2
23n n
n n
a a --
--
+=
+
=
+==+⇔=-
（3）当1n =时，11312a =< 当2n ≥时，23311()()23222222n n n n
n n n a a ≥>⇔>⨯⇔>⇔
< 231211111111311222222
n n n a a a +++<++++=+-< 由上式得：对一切正整数n ，有121113
2
n a a a +
++<（lfxlby ）
7.(2012广东)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*
1221()n n n S a n N ++=-+∈，且
123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。

（3）证明：对一切正整数n ，有
12
11
132
n a a a +++
< 【解析】（1）12112221,221n n n n n n S a S a +++++=-+=-+ 相减得：1
2132n n n a a +++=+
12213212323,34613S a a a a a a =-⇔=+=+=+ 123,5,a a a +成等差数列13212(5)1a a a a ⇔+=+⇔=
（2）121,5a a ==得132n n n a a +=+对*
n N ∀∈均成立 1113223(2)n n n
n n n n a a a a +++=+⇔+=+
得：
1
1
2
23n n
n n
a a --
--
+=
+
=
+==+⇔=-
（3）当1n =时，11312a =< 当2n ≥时，23311()()23222222n n n n
n n n a a ≥>⇔>⨯⇔>⇔
< 231211111111311222222
n n n a a a +++<++++=+-< 由上式得：对一切正整数n ，有121113
2
n a a a +
++<。