07-2圆轴扭转变形和刚度091116
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l＝ϕl 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
28
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角：
Mx φ＝ l GI p M xi li GI pi
M n＝∫ ρτ P dA
A
？
15
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA =
A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
Ip表示截面对原点 的极惯性矩 表示截面对原点O的极惯性矩
16
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA
2 A A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
图9.1 扭转变形
4
7.2圆轴扭转的变形和刚度 圆轴扭转的变形和刚度
圆轴扭转时， 圆轴扭转时，任意两个横截面之间发生绕轴线的 相对转角（扭转角），图示p151。 ），图示 相对转角（扭转角），图示 。
5
6
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
7
剪应变： 剪应变：
P153式（6－27） 式 － ）
Mn τ max＝ ≤ [τ ] Wp
31
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件 τ
max
＝......
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
τ max＝
32
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
bb’ rdφ ＝
8
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
bb’ rdφ ＝
则
dφ γ＝r dx
9
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
bb’ rdφ ＝
则
dφ dx
dφ γ＝r dx
——扭转角沿轴线的变化率
2 A A
Ip表示截面对原点O的极惯性矩 表示截面对原点 的极惯性矩
19
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
2 A A
Ip表示截面对原点O的极惯性矩 表示截面对原点 的极惯性矩
则：
Mn ϕ＝ GI p
20
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
29
分段型两截面间的扭转角： 分段型两截面间的扭转角：
φ＝∑
圆轴扭转时的刚度条件
单位长度上的最大扭转角
M nmax ϕ max＝ ≤ [ϕ ]rad / m GI p
或写作
M n 180 o θ max＝ × ≤ [θ ] / m GI p π
30
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
10
剪应变
dφ dx
dφ γ＝r dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
dφ 记 ＝ϕ dx
γ＝rϕ
11
剪应变
dφ dx
dφ γ＝r dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
dφ 记 ＝ϕ dx
γ＝rϕ
距圆心为 ρ 的点所发生的剪应变为
γ ρ＝ρϕ
12
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
2 A A
Ip表示截面对原点O的极惯性矩即： ϕ＝ GI p dx
G——剪切弹性模量 剪切弹性模量 21
φ ——两截面间的扭转角 两截面间的扭转角
dφ dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
φ＝
？
22
φ ——两截面间的扭转角 两截面间的扭转角
dφ dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
φ＝∫ dφ
0
l
？
23
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx 0 0 GI p
l l
24
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = 0 0 GI p
26
M n dφ ϕ＝ ＝ GI p dx
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l＝ 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
27
M n dφ ϕ＝ ＝ GI p dx
τ max＝
Mn Ip
ρ max
33
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
τ max＝
Mn Ip
ρ max
Mn = Wp
Wp：抗扭截面模量，mm3或m3
34
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
P153式（6－27） 式 － ）
τ max＝
Mn Ip
ρ max
Ip表示截面对原点 的极惯性矩 表示截面对原点O的极惯性矩
17
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
2 A A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
记 作
18
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
25
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
第七章 杆件的变形和刚度
1
剪切 例如铆钉联接的铆钉受力后的变形，如图所示。 例如铆钉联接的铆钉受力后的变形，如图所示。
剪切
dF F = τ＝ dA A
2
7.2圆轴扭转的变形和刚度 圆轴扭转的变形和刚度
3
圆轴扭转时， 圆轴扭转时，原来与轴线平行的纵向线仍近似地为 一直线，只是倾斜了一个微小的角度。 一直线，只是倾斜了一个微小的角度。杆件任意横 截面之间相对转过的角度φ称为扭转角。 称为扭转角 截面之间相对转过的角度 称为扭转角。 如图所示，扭转角是如何变化的？ 如图所示，扭转角是如何变化的？
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
剪应力沿半径的分布： 剪应力沿半径的分布：
14
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ） 在平衡状态下，圆轴横截面上各微分面积 上 在平衡状态下，圆轴横截面上各微分面积dA上 的微剪力 τ p dA对圆心的力矩总和应与该截面 对圆心的力矩总和应与该截面 上的扭矩相等： 上的扭矩相等：
扭转实验的结果表明，在弹性范围内， 扭转实验的结果表明，在弹性范围内，剪应力与 相应的剪应变成正比。 相应的剪应变成正比。
τ ρ＝Gγ P
图9.1 扭转变形
G——剪切弹性模量，与材料有关，可由扭转实验测得。 剪切弹性模量，与材料有关，可由扭转实验测得。 剪切弹性模量
13
（1）圆轴扭转变形的物理关系 ） 据胡克定律， 据胡克定律，弹性材料在剪切比 例极限内有： 例极限内有：
Mn = ≤ [τ ] Wp
35
对于实心轴： 对于实心轴：
ρ max
d = 2
Wp =
πd
3
16
对于空心轴： 对于空心轴：
ρ max
D = 2
Wp =
πD (1 − α )
3 4
16
α =dD
36
Q & A? Thanks!
37
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l＝ϕl 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
28
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角：
Mx φ＝ l GI p M xi li GI pi
M n＝∫ ρτ P dA
A
？
15
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA =
A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
Ip表示截面对原点 的极惯性矩 表示截面对原点O的极惯性矩
16
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA
2 A A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
图9.1 扭转变形
4
7.2圆轴扭转的变形和刚度 圆轴扭转的变形和刚度
圆轴扭转时， 圆轴扭转时，任意两个横截面之间发生绕轴线的 相对转角（扭转角），图示p151。 ），图示 相对转角（扭转角），图示 。
5
6
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
7
剪应变： 剪应变：
P153式（6－27） 式 － ）
Mn τ max＝ ≤ [τ ] Wp
31
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件 τ
max
＝......
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
τ max＝
32
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
bb’ rdφ ＝
8
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
bb’ rdφ ＝
则
dφ γ＝r dx
9
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
bb’ rdφ ＝
则
dφ dx
dφ γ＝r dx
——扭转角沿轴线的变化率
2 A A
Ip表示截面对原点O的极惯性矩 表示截面对原点 的极惯性矩
19
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
2 A A
Ip表示截面对原点O的极惯性矩 表示截面对原点 的极惯性矩
则：
Mn ϕ＝ GI p
20
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
29
分段型两截面间的扭转角： 分段型两截面间的扭转角：
φ＝∑
圆轴扭转时的刚度条件
单位长度上的最大扭转角
M nmax ϕ max＝ ≤ [ϕ ]rad / m GI p
或写作
M n 180 o θ max＝ × ≤ [θ ] / m GI p π
30
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
10
剪应变
dφ dx
dφ γ＝r dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
dφ 记 ＝ϕ dx
γ＝rϕ
11
剪应变
dφ dx
dφ γ＝r dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
dφ 记 ＝ϕ dx
γ＝rϕ
距圆心为 ρ 的点所发生的剪应变为
γ ρ＝ρϕ
12
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
2 A A
Ip表示截面对原点O的极惯性矩即： ϕ＝ GI p dx
G——剪切弹性模量 剪切弹性模量 21
φ ——两截面间的扭转角 两截面间的扭转角
dφ dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
φ＝
？
22
φ ——两截面间的扭转角 两截面间的扭转角
dφ dx
——扭转角沿轴线的变化率，表示为 扭转角沿轴线的变化率，
ϕ
φ＝∫ dφ
0
l
？
23
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx 0 0 GI p
l l
24
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = 0 0 GI p
26
M n dφ ϕ＝ ＝ GI p dx
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l＝ 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
27
M n dφ ϕ＝ ＝ GI p dx
τ max＝
Mn Ip
ρ max
33
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
τ max＝
Mn Ip
ρ max
Mn = Wp
Wp：抗扭截面模量，mm3或m3
34
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
P153式（6－27） 式 － ）
τ max＝
Mn Ip
ρ max
Ip表示截面对原点 的极惯性矩 表示截面对原点O的极惯性矩
17
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
2 A A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
记 作
18
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA = GϕI p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
25
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
第七章 杆件的变形和刚度
1
剪切 例如铆钉联接的铆钉受力后的变形，如图所示。 例如铆钉联接的铆钉受力后的变形，如图所示。
剪切
dF F = τ＝ dA A
2
7.2圆轴扭转的变形和刚度 圆轴扭转的变形和刚度
3
圆轴扭转时， 圆轴扭转时，原来与轴线平行的纵向线仍近似地为 一直线，只是倾斜了一个微小的角度。 一直线，只是倾斜了一个微小的角度。杆件任意横 截面之间相对转过的角度φ称为扭转角。 称为扭转角 截面之间相对转过的角度 称为扭转角。 如图所示，扭转角是如何变化的？ 如图所示，扭转角是如何变化的？
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
剪应力沿半径的分布： 剪应力沿半径的分布：
14
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ） 在平衡状态下，圆轴横截面上各微分面积 上 在平衡状态下，圆轴横截面上各微分面积dA上 的微剪力 τ p dA对圆心的力矩总和应与该截面 对圆心的力矩总和应与该截面 上的扭矩相等： 上的扭矩相等：
扭转实验的结果表明，在弹性范围内， 扭转实验的结果表明，在弹性范围内，剪应力与 相应的剪应变成正比。 相应的剪应变成正比。
τ ρ＝Gγ P
图9.1 扭转变形
G——剪切弹性模量，与材料有关，可由扭转实验测得。 剪切弹性模量，与材料有关，可由扭转实验测得。 剪切弹性模量
13
（1）圆轴扭转变形的物理关系 ） 据胡克定律， 据胡克定律，弹性材料在剪切比 例极限内有： 例极限内有：
Mn = ≤ [τ ] Wp
35
对于实心轴： 对于实心轴：
ρ max
d = 2
Wp =
πd
3
16
对于空心轴： 对于空心轴：
ρ max
D = 2
Wp =
πD (1 − α )
3 4
16
α =dD
36
Q & A? Thanks!
37