2020学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2020学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期期末考试数学试题 一、 单选题
1． 设集合{}{}2
1,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）
A ．1
B ．1
2
-
C ．
12
D ．-1
【答案】A
【解析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】
因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.
当1m =时，1
{1,}3
B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A.
【点睛】
本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.
2．已知函数()2
1y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为
（ ）
A ．[2,1][1,2]--
B ．[]1,2
C ．[]0,3
D ．[]1,8-
【答案】D
【解析】函数()2
1y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一
样. 【详解】
因为函数()2
1y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，
所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D. 【点睛】
求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域
均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.
3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于
y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）
A ．
3
B ．3
-
C ．13
D ．13
-
【答案】A
【解析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的
正弦值相等，所以1
sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦
函数在第四象限的符号，求得cos β=.
【详解】
角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，
因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22
sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3
，
故选A. 【点睛】
本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.
4．已知命题“x R ∀∈，使得2
1
2(1)02
x a x +-+
>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞- B ．(3,)-+∞ C ．(13)-， D ．()3.1-
【答案】C
【解析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<.
【详解】
由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以2
1
(1)4202
a ∆=--⋅⋅
<， 解得：13a -<<，故选C. 【点睛】
本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.
5．已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2
(1)3N ，
，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，
内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2
(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，
(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)
A ．4. 56%
B ．13.59%
C ．27. 18%
D ．31. 74%
【答案】B
【解析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=. 【详解】
正态分布2(1)3N ，
中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，
(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，
所以(57)(24)
(47)13.59%2
P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.
【点睛】
本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.
6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，
()31x f x =-，则()9f =（ ）
A ．2-
B ．2
C ．23
-
D ．
23
【答案】D
【解析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T
=，得到
()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式
()31x f x =-求出2
(1)3
f -=-，从而得到()9f 的值.
【详解】
因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T
=，
所以()22
9(1)(1)()33
f f f ==--=--=，故选D.
【点睛】
由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T
=，其理由是：(2)x -为函
数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.
7．函数()tan(2)3f x x π
=-的单调递增区间为（ ）
A ．5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈
B ．5[,]()12
12k k k Z π
π
ππ-
+∈ C ．5(
,)()212212
k k k Z ππππ-+∈ D ．2(,)()6
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ 【答案】C
【解析】利用复合函数的单调性，直接把23
x π
-
代入tan y x =的单调递增区
间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间. 【详解】 因为22
3
2k x k π
π
π
ππ-
<-
<+
，解得：
5,212212
k k x k Z ππππ-<<+∈，
所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212
k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】
本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
<-
<+
，即把正、余弦函数的周期2k π与正
切函数的周期k π混淆. 8．函数
在
处切线斜率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【解析】分析：首先求得函数的导函数，然后结合导函数研究函数的切线
即可.
详解：由函数的解析式可得：，
则，
即函数
在处切线斜率为.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．已知函数()sin(2)3
f x x π
=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到
函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．
12
π
B ．
512
π C ．6
π
D ．
56
π 【答案】B
【解析】由平移变换得到()sin(22)3
g x x π
ϕ=-+，由偶函数的性质得到
sin(22)13
x π
ϕ-+=±，
从而求min 512
πϕ=. 【详解】
由题意得：()sin[2())]sin(22)3
3
g x x x ππ
ϕϕ=-+=-+，
因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，
所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13
π
ϕ-+=±，
所以2,3
2
k k Z π
π
ϕπ-+
=+
∈，解得：1,22
k k Z ππ
ϕ=-
-∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512
π
ϕ=，故选B. 【点睛】
平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移
(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3
g x x x π
ϕ=+
-.
10
．已知函数2
(1),10()1
x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A ．
38
12
π- B ．
44
π
+ C ．
34
12
π+ D ．
34
12
π- 【答案】C
【解析】
由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出
21
1(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】 因为1
01
1
1
()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰
由微积分基本定理得：0
230
11111()(1)(1)|33
f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，
由积分的几何意义得：1
(),4
f x dx π
==
⎰⎰
所以1
134
()12
f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】
本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力. 11．若函数
()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有
()2,
133
f x f x f ππ⎛
⎫⎛⎫
+=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0 B ．0 和1 C ．1± D ．2± 【答案】A
【解析】由()3f x f x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭得函数一条对称轴为π6x = ,因此
()
ππsin 1π36k k Z ϕϕ⎛⎫
+=±⇒=+∈ ⎪⎝⎭
,由
213
f π
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
得
4ππsin π1112036k b b b ⎛⎫+++=-⇒=-±⇒=- ⎪⎝⎭
或 ,选A. 点睛：求函数解析式()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法： (1) max min max
min
,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T π
ωω
=
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ()π
π2
x k k Z ωϕ+=
+∈求对称轴 12．已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4π
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）
A ．
7
25
B ．
925
C ．
1625
D ．
2425
【答案】B
【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛
⎫+== ⎪
-⎝
⎭，解得1tan 7α=-，故
2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪
+⎛⎫⎝⎭-=
==+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα=
==-++，故19
sin cos 225
αα+=.
点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.
13．设函数()()2
24,ln 25x f x e x g x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是
()(),f x g x 的零点，则（ ）
A ．()()0g a f b <<
B ．()()0f b g a <<
C ．()()0g a f b <<
D ．()()0f b g a <<
【答案】A
【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，
∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。

选A 。

点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用
()()10,10f g ><判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得()()g a f b ，的取值范围，其中借助0将()()g a f b ，与联系在一起是关键。

14．已知函数1()2(0)2
x
f x x =-<与2()lo
g ()g x x a =+的图象上存在关于y 轴
对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(,22)-∞ C ．(,2)-∞ D ．2
(22,
)2
- 【答案】C
【解析】函数()f x 关于y 轴对称的解析式为12(0)2x
y x -=->，则它与
2()log ()g x x a =+在0x >有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，
观察图象得到2a >. 【详解】
函数()f x 关于y 轴对称的解析式为12(0)2
x
y x -=->，
函数2()log ()g x x a =+(0)x >，两个函数的图象如图所示：
若2()log ()g x x a =+过点1
(0,)2
时，得2a =y
轴上，
所以要保证在x 轴的正半轴，两函数图象有交点，则()g x 的图象向右平移均存在交点，
所以2a < C. 【点睛】
本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.
15．已知函数()ln (1)22f x x a x a =+-+-.若不等式()0f x >的解集中整数的
个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(]1ln3,0- B ．(]1ln3,2ln 2- C ．(]0,1ln 2-
D ．(]1ln3,1ln 2--
【答案】D
【解析】将问题变为2ln 2ax a x x ->--，即()()h x g x >有3个整数解的问题；利用导数研究()g x 的单调性，从而可得()g x 图象；利用()h x 恒过点2,0画出()h x 图象，找到有3个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】
由()0f x >得：()ln 1220x a x a +-+->，即：2ln 2ax a x x ->-- 令()()ln 20g x x x x =-->，()()20h x ax a x =->
()()11
10x g x x x x
-'∴=-
=> 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>
g x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增
()()min 11g x g ∴==-，且()31ln30g =-<，()422ln 20g =-> 由此可得()g x 图象如下图所示：
由()()22h x ax a a x =-=-可知()h x 恒过定点2,0 不等式()0f x >的解集中整数个数为3个，则由图象可知：
()()()()
()()
()()11223344h g h g h g h g ⎧>⎪>⎪⎨
>⎪⎪≤⎩
，即102ln 22
1ln 3222ln 2a a a ->-⎧⎪>--⎪⎨>-⎪⎪≤-⎩，解得：(]1ln3,1ln 2a ∈-- 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系. 二、填空题
16．已知函数22
log (3),2()2,2x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(log 12)f =_________ 【答案】3
【解析】判断2log 122≥，再代入2
()2x f x -=，利用对数恒等式，计算求得式
子的值为3. 【详解】
因为2log 122≥，所以2(log 12)f =22log 12log 122
22122324
-===，故填3.
【点睛】
在计算2log 1222-的值时，先进行幂运算，再进行对数运算，能使运算过程更清晰. 17
．12
(x -
的展开式中第三项的系数为_________。

【答案】6
【解析】利用二项展开式的通项公式，当2r 时得到3T 项，再抽出其系数.
【详解】
12112((0,1,12)r r
r
r T C x r -+==， 当2r
时，
210
2312(T C x =，
所以第三项的系数为2
212(6C =，故填6.
【点睛】
本题考查二项展开式的简单运用，考查基本运算能力，注意第3项不是3r =，而是2r
.
18．某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与利润额y （单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据：
经计算，月微信推广费用x 与月利润额y 满足线性回归方程ˆ 6.517.5y x =+，则p 的值为______． 【答案】50
【解析】计算x ,y ，代入线性回归方程即可得解. 【详解】
由题中数据可得24568301060702005,555
p p
x y +++++++++=
===.
由线性回归方程 6.5175ˆ.y
x =+经过样本中心(x ,)y . 有：
200 6.5517.55
p
+=⨯+，解得50p =. 故答案为：50. 【点睛】
本题主要考查了回归直线方程过样本中心，属于基础题. 19．已知函数()sin()(,0,0,0)2
f x A x x R A π
ωϕωϕ=+∈>><<的图象与x 轴
的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
则()f x 的解析式为________。

【答案】()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【解析】根据函数周期为π，求出2ω=，再由图象的最低点2(,2)3
M π
-，得到振幅2A =，及6
π
=ϕ. 【详解】
因为图象与x 两个交点之间的距离为2
π
，所以222T T ππππω=⇒=⇒
=， 所以2ω=，由于图象的最低点2(,2)3
M π
-，则2A =， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，当23x π=时，4sin 13πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
， 因为02
π
ϕ<<，所以6
π=ϕ，故填：()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题考查正弦型函数的图象与性质，考查数形结合思想的应用，注意
02
π
ϕ<<
这一条件限制，从面得到ϕ值的唯一性.
20．某中学连续14年开展“走进新农村”社会实践活动.让同学们开阔视野，学以致用.展开书本以外的思考.进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1个班级.则A 、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有______种. 【答案】30
【解析】根据题意，分2步进行分析：（1）将四个班级分成3组，要求A,B 两个班级不分到同一组；（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，由分步计数原理得到答案. 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
（1）将四个班级分成3组，要求A,B 两个班级不分到同一组，有2
415C -=种
分组方法；
（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，有3
36A =种情况，
则有5630⨯=种不同的情况，故填：30. 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题. 三、解答题
21．已知函数2
1()log 1x
f x x
+=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论; (2)解不等式()1f x <-
【答案】(1) ()f x 为奇函数；证明见解析；(2) 11,3⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
【解析】（1）求出函数定义域(1,1)-关于原点对称，再求得()()
0f x f x ，
从而得到原函数为奇函数；
（2）利用对数式与指数式的互化，得到分式不等式
111
212
x x -+<=-，求得1
13
x -<<-.
【详解】
（1）根据题意()f x 为奇函数； 证明：
10111x
x x
+>⇒-<<-，所以()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称． 任取(1,1)x ∈-， 则2
2221111()()log log log log 101111x x x x f x f x x x x x -+-+⎛⎫
-+=+=⋅== ⎪+-+-⎝⎭
． 则有()()f x f x -=-，()f x 为奇函数．
（2）由（1）知11x -<<，2
1()1log 11x f x x
+<-⇒<--，即111
212x x -+<=-，
11(22)(1)31
0122(1)2(1)x x x x x x x ++--+-==<---，即3101
x x +>-， ∴13
x <-或1x >．
又由11x -<<，则有1
13
x -<<-，
综上不等式解集为11,3⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭．
【点睛】
本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景，考查奇偶性和解不等式，求解时注意对数式与指数式互化.
22．已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
222()sin cos a b c C C +-=．
（1）求角C ；
（2）若c =2b a -的取值范围．
【答案】（1）π
=
3
C ；（2）2(30)b a -∈-，
. 【解析】试题分析：（1）运用三角形的余弦定理，可得sinC ，可得角C ； （2）运用正弦定理和两角差的正余弦公式，结合函数的单调性，即可得到所求范围． 试题解析：
（1）由余弦定理，可得2222cos a b c ab C +-=，
所以2cos sin cos ab C C C =，所以
sin 2
C =， 又π02C <<
，所以π
=3
C ．
（2
）由正弦定理，2sin sin sin a b c A B C
===
=，
所以2π22sin 4sin 2sin 4sin 3sin 3b a B A A A A A ⎛⎫
-=-=--=-
⎪⎝⎭，
π23b a A ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭，
因为ABC 是锐角三角形，
所以π
02
{2ππ032A A <<<-<，
，
得ππ62A <<，
所以ππ5π+236A <<
，πcos 032A ⎛⎫⎛
⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即()230b a -∈-，
． 23．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完
成的概率都是2
3
，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．
【解析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于
~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，分别写出分布列，再求期望值均为2；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】
（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，
∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，30423
61
(3)5
C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：
∴
131
1232555EX =⨯+⨯+⨯=． 2~3,3Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∴0303
211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1
2
132162(1)C 33279P Y ⎛⎫
⎛⎫==== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 2
1
23
21124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3
33218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， ∴Y 的分布列为：
∴1248
01232279927
EY =⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）
222
1312(12)(22)(32)5555
DX =⨯-+-⨯+-⨯=， 212
1333(3)DY np p =-=⨯⨯=，
∵DX DY <，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.
24．已知（为自然对数的底数），.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；
(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a的取值. 【详解】
（1）当时，令解得
递减极小值递增（2）设，
令，，
，设，，
由得，
，在单调递增，
即在单调递增，，
①当，即时，时，，在单调递增,又，
此时在当时，关于的方程有且只有一个实数解.
②当，即时，
，又
故，当时，，单调递减，又，故当时，，
在内，关于的方程有一个实数解.
又时，，单调递增，
且，令，
,,故在单调递增，又
故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.
故当时，的方程有两个解为和
综上所述：当时的方程有且只有一个实数解【点睛】
本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关
键点，属于难题.
如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)= 0的根.
25．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2sin θ＝cos a θ（a ＞0），过点
(2,4)P --的直线l 的参数方程为2
2,2{2
4,
2
x t y t ＝－＋
＝－＋（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．
（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若2
||PA PB AB ⋅=，求a 的值．
【答案】（Ⅰ），2y x =-（Ⅱ）2．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可将曲线C
的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线l 的普
通方程为2y x =-．（Ⅱ）由直线参数方程几何意义有
1212,PA PB t t AB t t ⋅=⋅=-，因此将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程
中，
得22(8)4(8)0t a t a -+++=,由韦达定理有
12122(8),4(8)t t a t t a +=+⋅=+．解之得：2a =或8a =-（舍去）
试题解析：（Ⅰ）由2sin cos (0)a a ρθθ=>得22sin cos (0)a a ρθρθ=>,
∴曲线C 的直角坐标方程为．
直线l 的普通方程为2y x =-．
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，
得22(8)4(8)0t a t a +++=,
设A B 、两点对应的参数分别为12,t t , 则有12122(8),4(8)t t a t t a +=+⋅=+． ∵2
PA PB AB ⋅=,∴21212()t t t t -=⋅, 即21212()5t t t t +=⋅． ∴22[2(8)]20(8),6160a a a a +=++-=． 解之得：2a =或8a =-（舍去）,∴a 的值为2． 【考点】极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义
26．已知函数
. (1)若,解不等式;
(2)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
；（2） 【解析】分析：第一问先将代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b 的绝对值不等式，利用平方法求得结果. 详解：（1）
所以解集为：
. (2)
所以的取值范围为：.
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.。