高考数学大一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列教师用书 理-人教版高三全册数学试题

第三节 等比数列
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.理解等比数列的概念；
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
3.了解等比数列与指数函数的关系。

2016，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式)
2016，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题)
2015，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算)
2015，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质)
主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质。

解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。

微知识 小题练
自|主|排|查
1．等比数列的有关概念 (1)定义：
①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。

②符号语言：
a n ＋1a n
＝q (n ∈N *
，q 为非零常数)。

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

即：G 是a 与
b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab 。

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q
n －1。

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q
＝a 1－a n q
1－q ，q ≠1。

3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q
n －m
(m ，n ∈N *
)。

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 。

特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2
p 。

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2
＝S m (S 3m
－S 2m )(m ∈N *
，公比q ≠－1)。

(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列。

(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k。

微点提醒
1．等比数列的概念的理解
(1)等比数列中各项及公比都不能为零。

(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0。

(3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。

2．等比数列{a n }的单调性
(1)满足⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列。

(2)满足⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1>0，
0<q <1或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列。

(3)当⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1≠0，
q ＝1时，{a n }为常数列。

(4)当q <0时，{a n }为摆动数列。

小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修5P 68B 组T 1(1)改编)等比数列{a n }各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2
＋…＋log 3a 10＝( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 35
【解析】∵a 4a 7＝a 5a 6，∴a 5a 6＝9，又log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5
＝log 395
＝10。

故选B 。

【答案】 B
2．(必修5P 62B 组T 2改编)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9
S 3
＝________。

【解析】S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，则(S 6－S 3)2
＝S 3·(S 9－S 6)，由S 6S 3＝12知S 6＝12
S 3，
则14S 23＝S 3·(S 9－S 6)，所以S 9＝34S 3，所以S 9S 3＝3
4。

【答案】34
二、双基查验
1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32
【解析】a 2·a 6＝a 2
4＝16。

故选C 。

【答案】 C
2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 【解析】q ＝
a 2＋a 3
a 1＋a 2
＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1
＝64。

故选A 。

【答案】 A
3．(2016·某某高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。

若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年
【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12
n －1。

由130×1.12
n －1
>200，两边同时取对数，得n －1>
lg2－lg1.3
lg1.12
，又
lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.11
0.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金
开始超过200万元。

故选B 。

【答案】 B
4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________。

【解析】∵S 3＋3S 2＝0， ∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2
)＝0。

∵a 1≠0，∴q ＝－2。

【答案】 －2
5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________。

【解析】 解法一：各项均为正数的等比数列{a n }中a 10a 11＝a 9a 12＝…＝a 1a 20， 则a 1a 20＝e 5
，
ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 20)10
＝lne 50
＝50。

解法二：各项均为正数的等比数列{a n }中a 10a 11＝a 9a 12＝…＝a 1a 20， 则a 1a 20＝e 5
，
设ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝S ， 则ln a 20＋ln a 19＋…＋ln a 1＝S ， 2S ＝20ln(a 1a 20)＝100，S ＝50。

【答案】 50
微考点 大课堂
考点一
等比数列的基本运算
【典例1】 {a n }为等比数列，求下列各值。

(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝1
2，求n ；
(2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q ； (3)已知q ＝－2，S 8＝15(1－2)，求a 1。

【解析】 (1)解法一：
∵⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 7＝a 3·q ＋a 6·q ＝q a 3＋a 6＝18，
a 3＋a 6＝36，
2
又∵a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3
)＝36，∴a 3＝32。

∵a n ＝a 3·q
n －3
＝32·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －3＝28－n ＝12＝2－1
，
∴8－n ＝－1，即n ＝9。

解法二：∵a 4＋a 7＝a 1·q 3
(1＋q 3
)＝18且a 3＋a 6＝a 1·q 2
·(1＋q 3
)＝36， ∴q ＝1
2，a 1＝128。

又∵a n ＝a 1·q
n －1
＝27
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝28－n ＝12＝2－1，
∴8－n ＝－1，即n ＝9。

(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7＝36且a 3＋a 7＝15， ∴a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3。

∵q 4＝4或q 4
＝14，∴q ＝±2或q ＝±22。

(3)∵S 8＝
a 1[1－－2
8
]1＋2
＝
a 1
－151＋2
＝15(1－2)，
∴a 1＝－(1－2)·(1＋2)＝1。

【答案】 (1)9 (2)±2或±
2
2
(3)1 反思归纳 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。

【变式训练】 (1)(2016·某某调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 2
3＝4a 2a 6，则a 4＝( )
A.38
B.245
C.316
D.916
(2)(2016·某某调研)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4
的值为( )
216C ．2 D ．17
【解析】 (1)由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2a 1q ＝3，a 1q 22＝4a 1q ·a 1q 5
，q >0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＝3
2，q ＝1
2，
所以a 4＝a 1q 3
＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝316。

故选C 。

(2)∵a 2－8a 5＝0，∴a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝1
2。

∴S 8S 4＝
a 5＋a 6＋a 7＋a 8
a 1＋a 2＋a 3＋a 4
＋1
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫124a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＋a 4
＋1＝17
16。

故选B 。

【答案】 (1)C (2)B 考点二
等比数列的判定与证明…………母题发散
【典例2】 (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *
)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列。

【解析】 (1)由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 2
6≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，故选D 。

(2)证明：∵a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， ∴
b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n
a n ＋1－2a n
＝2。

∵S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴a 2＝5。

∴b 1＝a 2－2a 1＝3。

∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列。

【答案】 (1)D (2)见解析
【母题变式】 1.在本典例(2)的条件下，求{a n }的通项公式。

【解析】 由(2)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2
n －1
，
所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34
，
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列。

所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －1
4
，
所以a n ＝(3n －1)·2
n －2。

【答案】a n ＝(3n －1)·2n －2
2．在本典例(2)中，若＝
a n
3n －1
，证明：{}为等比数列。

【证明】 由[变式1]知，a n ＝(3n －1)·2n －2
，
∴＝2
n －2。

∴＋1
＝2
n －1
2n －2＝2。

又c 1＝
a 1
3×1－1＝12
，
∴数列{}是首项为1
2
，公比为2的等比数列。

反思归纳 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。

(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证。

【拓展变式】 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0。

(1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ。

【解析】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，a 1≠0。

由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n 。

由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以
a n ＋1a n ＝λλ－1。

因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1
的等比数列，于是
a n ＝
11－λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－1n －1。

(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n 。

由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－15＝132。

解得λ＝－1。

【答案】 (1){a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1
(2)λ
＝－1
n 311210( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16
【解析】 (1)∵a 3·a 11＝16，∴a 2
7＝16。

又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4。

又∵a 10＝a 7q 3
＝4×23
＝25
，∴log 2a 10＝5。

故选B 。

(2)设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2
，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2
，所以b ＝S 4n ＝30。

故选B 。

【答案】 (1)B (2)B
反思归纳 等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形。

根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。

【变式训练】 (1)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比
数列，则m n
＝( )
A.32
B.32或23
C.2
3
D ．以上都不对 (2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3，S 12－S 8＝12，则S 8＝__________。

【解析】 (1)设a ，b ，c ，d 是方程(x 2
－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，
n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝2
3。

故选B 。

(2)由S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，得(S 8－S 4)2
＝S 4(S 12－S 8)，解得S 8＝9或S 8＝－3，又由等比数列的前n 项和公式知S 8与S 4同号，故S 8＝9。

【答案】 (1)B (2)9
1．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32B.2
3 C ．－23D.23或－23
解析 解法一：由⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1q ＝18，a 1q 3
＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝27，q ＝2
3
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－27，q ＝－2
3。

又a 1<0，因此q ＝－2
3。

故选C 。

解法二：由已知得a 4a 2＝a 1q 3a 1q ＝q 2＝818＝49，即q 2
＝49，又因为a 1<0，a 2＝18>0，所以q ＝a 2a 1
<0，
所以q ＝－2
3。

故选C 。

答案 C
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不
为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为( )
A ．24里
B ．12里
C ．6里
D ．3里
解析 记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝1
2
的等比数列，S 6＝378。

又S 6＝
a 1⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
61－12＝378，所以a 1＝192，所以a 6＝192×1
25＝6，故选C 。

答案 C
3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于
________。

解析⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 3
＝9，a 21·q 3
＝8，⇒a 1＝1，q ＝2，
所以S n ＝1－2n 1－2＝2n
－1。

答案 2n
－1
4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________。

解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝1
2，则a 2＝4，a 3＝2，a 4
＝1，a 5＝1
2
，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64。

答案 64
5．(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝1
3
，a n b n
＋1
＋b n ＋1＝nb n 。

(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和。

解析 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝1
3
，得a 1＝2。

所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1。

word
(2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此数列{b n }是首项为1，公比为13
的等比数列。

记{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13
＝32－12×3n －1。

答案 (1)a n ＝3n －1 (2)S n ＝32－12×3n －1。