电磁场理论(第三章)2012

中的电流在其自身边界的曲面上产生磁通量与c上的电流强度之比为自感系数记为l使c为边界的曲面上产生的磁通量与c中的电流强度之为互感系数记为m121212电源克服回路上感应的电动势作功转变为系统的磁场能电流建立的过程中没有其它形式的能量损耗电流环磁场力线dt时间内电源对回路电流环磁场力线设电流按照同样比例线性增大0i在磁场力的作用下载流体系发生了小的位移磁场力所作的虚拟功为如果两线圈的几何形状和电流保持不变线圈1相对于线圈2有微小的位移方向恒定一部分为磁场能量的增量其数值为
n
i−1
1 =∫∫∫ ρ ( r )φ ( r ) dV 2 V
利 ∇⋅ D = ρ和 (r ) = −∇φ(r ) 用 E
1 1 We = ∫∫∫ ρ ( r )φ ( r ) dV = ∫∫∫ ∇⋅ D( r )φ ( r ) dV 2 V 2 V 1 = ∫∫∫ D( r ) ⋅E ( r ) dV + ∫∫ φ ( r ) D( r ) ⋅ dS 2 V S∞ 1 = ∫∫∫ D( r ) ⋅E ( r ) dV 2 V 1 静电场能量密度函数：we = D( r ) ⋅ E ( r ) 2
∫
L
E ⋅ dL = 0 →ˆ ×( E2 − E1 ) = 0 n
3 导体及其边界ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件
+ + + + +
附加场
没有外加电场
导体内部存在大量 可自由移动的电子 宏观上呈现电中性
E 达到静电平衡状态 导体内部电场为零
电场中的导体： 电场中的导体： 导体内电场为零，为等势体； 导体内电场为零，为等势体； 导体边界面电场切向分量为零； 导体边界面电场切向分量为零； 电荷只分布在导体的表面
∇× E(r ) = 0
E (r )
ρ (r )
ε
S
n
引入电位函数 φ(r )，令 E(r ) = −∇φ(r ) 得到 φ(r ) 满足的方程
2
∇2φ(r ) = 0 如果 ρ(r ) = 0 ，变为Lap lace方程
ρ(r ) （Poisson方程） ∇ φ(r ) = − ε
问题：静电场与电位函数是不是一一对应 关系，这是否意味着由电位函数决 定的静电场是多值的？
B(r ) = ∇× A(r )
引入：A′(r ) = A(r ) ± ∇φ(r ) B(r ) = ∇× A(r ) = ∇× A′(r )
A(r ) A′(r ) ⇒ (描述同一个)B(r ) 产生这一问题的原因？
造成磁矢势不是唯一的原因是：
而 A(r ) 的散度没有唯一确定。
2
§3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势 恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H(r ) ⋅ dl = J (r ) ⋅ ds ⇒ ∇× H(r ) = J (r ) ∫∫ ∫ L s ∫∫ B(r ) ⋅ ds = 0 ⇒ ∇⋅ B(r ) = 0 s
引入矢量函数 A(r ) ，磁感应强度可表示为 称矢量函数 A(r )为磁矢势。但存在的问题是：
{
+ ρ ( r ) dV1φn1 + ρ ( r2 ) dV2φn2 +⋅⋅⋅+ ρ ( rn−1 ) dVn−1φn,n−1 1
}
We = dW2 + dW3 + dW4 +⋅⋅⋅+ dWn = lim∑∑ρ ( ri ) dViφji
n→∞ i=1 j =1 n 1 n 1 n = lim ∑ρ ( ri ) dVi ∑ φji = lim ∑ρ ( ri ) φidVi n→∞ 2 n→∞ 2 i=1 j =1( j ≠i ) i=1
将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为
1 1 1 We = ∫∫∫φ(r )ρ(r )dV = ∑∫∫φi ρs ds = ∑φi qi 2 V 2 2 si
导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量
6
带电体系的静电作用力
F F
依据库仑定律计算
F +δ F
dWn = ρ ( rn ) dVnφ1n + ρ ( rn ) dVnφ2n
We = ρ ( r2 ) dV2φ12 + ρ ( r3 ) dV3φ13 + ρ ( r3 ) dV3φ23 +⋅⋅⋅ = lim∑∑ρ ( ri ) dViφji
n→∞ i=1 j =1 n i−1
+ ρ ( rn ) dVnφ3n ⋅⋅⋅+ρ ( rn ) dVnφn−1,n
特例： 特例：无界均匀介质空间点电荷电位
q
q 2 ∇ φ ( r ) = − ε δ ( r ) limφ ( r ) = 0 r→∞ qr E(r) = 3 4πε r r q dr q φ (r) = − ∫ r2 = 4πε r 4πε ∞
M
【例3-2】电偶极子由相距一 小距离L的两个等值异号的
这是一个矢量Poisson方程，包含三个标量 Poisson方程，是求恒定电流磁场的基本方程
∇ A( r ) = µJ ( r ) 的基本解是：
2
J (r) µ A( r ) = dr′ ∫∫∫ r - r′ 4π V
1 2 S 2 S 1 S
1
1
S1
dS =
1
φ2
∫∫ ρ
S
S2
dS →
Q 1
φ1
=
Q2
φ2
4 静电场的定解问题 均匀介质空间Ω 均匀介质空间Ω中的静 电场为确定边界条件下 Poisson方程的解 方程的解， Poisson方程的解，即
ρ (r) 2 ∇ φ1 ( r ) = − ε ∂φ1 ∂φ2 ε1 − ε2 ∂n =－ρs S ∂n S 或 φ ( r ) | = φ ( r ) |S 1 2 S
V0 E= d
,
V0 d ε , 介质中 D= V0 ε0 , 介质外 d
2
1 1 V0 We = ∫∫∫ we (r )dV = db[ε0 (l − x) + εx] 2 V 2 d 1 V0 ˆ F = ∇We = ex db(ε − ε0 ) 2 d
δA = F ⋅ δl
该虚功等于电荷体系能量的减少
∂We ∂We ∂We ˆ ˆ ˆ F = −ex + ey + ez = −∇We ∂y ∂z ∂x
① 将上式应用于电荷保持不变导体系： 结合导体系能量表达式，静电力为
F = −∇We |
q=常量
1 ＝− ∑∫∫ ∇φi ρsids ⇐ E = −∇φi 2 si 1 = ∑∫∫ ρsi Eds = ∑∫∫ f ds 2 si si
φ =常 量
【例1 】 平行板电容器宽长度为l，宽度为b， 间距为d 。电容器两板极之间的部分区域充 满了电介质。 满了电介质。如果将平行板电容器接入电压 的直流电源，求电容器的储能； 为V0 的直流电源，求电容器的储能；求介质 板在拉出时受到的作用力。 板在拉出时受到的作用力。
x
ε
d
l
忽略平行板的边缘效应， 两板极之间的电场为
5 静电场的能量和能量密度
静电场对置于其中的电荷有力的作用，并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。 根据能量守恒原理，静电场的能量等于电荷 体建立过程中，外力克服静电力做功的总和
第一个小电荷元自从无穷远处移 到r1，外界克服电场力做功为零
ρ(r1 )∆V1
ρ(r2 )∆V2
第二个小电荷元自从无 穷远处移到r2点时，外 力克服电场力作功为：
另一方面：
Q2φ12
Qφ21 1
1 dW2 = ρ ( r2 ) dV2φ12 = ρ ( r2 ) dV2φ12 + ρ ( r ) dV1φ21 1 2 1 dW3 = ρ ( r3 ) dV3φ13 + ρ ( r3 ) dV3φ23 + ρ ( r ) dV1φ31 + ρ ( r2 ) dV2φ32 1 2 1 dWn = ρ ( rn ) dVnφ1n + ρ ( rn ) dVnφ2n +⋅⋅⋅+ ρ ( rn ) dVnφn−1,n 2
r1
q
r2
点电荷所组成的电荷体系， 其方向由负电荷指向正电 -q P 荷，大小为： = qL 。求 q 1 1 电偶极子在远处的电场。 φ(r ) = 4πε r − r 0 1 2
E(r ) = −∇φ(r ) Pe ⋅ r qLcosθ φ(r ) ≈ = 2 1 4πε 0r 4πε 0r 3 ˆ ˆ (e 2Pecosθ + eθ Pesinθ ) = 3 r 4πε0r
dW2 = −∫ ρ ( r2 )dV2 E1 ⋅ dL = ρ ( r2 ) dV2φ12
∞
r2
第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点 时，外力克服电场力作功为：
dW3 = ρ ( r3 ) dV3φ13 + ρ ( r3 ) dV3φ23
第 n 个小电荷元自从无穷远处移到 rn 点时，外力 克服电场力作功为：
第四讲（ 第四讲（一）
第三章
静态电磁场
主要内容： 主要内容： 静态电场的基本问题 静电场的能量与作用力 静态磁场基本问题 静磁场的能量与作用力
§3.1 静电场及其方程
1 电位函数及其方程
V
对于静电场，Maxwell方程为
∇⋅ D(r ) = ρ(r )
这说明静电场是有散无旋矢 量场，可以表示为某个标量 场的梯度。
B
A
导体带电荷量为Q2 ， 2 = ∫ E2 ( r ) ⋅ dL φ
B
A
B
E1 ( r ) E2 ( r ) E ( r ) E2 ( r ) − ⋅ dL = 0 → 1 = ∫ φ1 φ2 φ1 φ2 B
A
A
1
φ1
∫∫ E ( r ) ⋅ dS = φ ∫∫ E ( r ) ⋅ dS →φ ∫∫ ρ
单位导体表面积受到的静电力是：
1 f = ρs E| 导 表 体 面 2
为系统总电荷在导体表面处产生的电场 E| 导体表面 （含受力面元本身的电荷在内）
f
问题：根据库仑定律 f = ρs E′|
导体表 面
按照虚功原理得到：
1 f = ρs E| 导 表 体 面 2
② 将上式应用于电位保持不变导体系：
A(r )旋度由 B(r ) = ∇× A(r ) 确定
为使 A 与 B 之间是唯一对应关系，对磁 矢势附加条件，才能够则唯一确定。
令磁矢势满足
∇⋅ A(r ) = 0
∇× B(r ) = ∇×∇× A(r ) ⇒ ∇ A(r ) = −µJ (r )
2
= ∇(∇⋅ A(r )) − ∇2 A(r ) = µJ (r )
2 边界条件
电位函数方程的求解，必需知道位函数 在区域边界上的状态，即边界条件。所 谓边界条件即电场在介质交界面两侧所 满足的方程或约束关系。
E1 ( r )
n
E2 ( r )
∫∫ D⋅ ds = ∫∫∫ ρdV
s V
ˆ (ε2∇φ2 −ε1∇φ1 ) ⋅ n = ρs ∂φ2 ∂φ1 ⇒ ε2 − ε1 = ρs ∂n ∂n
δl
F
依据库仑定律计算 F
具有能量We
W ↔F e
虚拟电荷有小位移
具有能量We +δWe
We +δWe ↔ F +δ F
虚拟（功）仿真计算原理
∆We = We −We
δl
′
W e
We
We′
虚拟仿真 —— 现代科学研究的重要手段
虚功原理如下： 设一定空间结构的带电体系，静电能为 We 。 假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用 下发生小的移 δl ,变化后体系的静电能We’， 静电力作的虚功为：
导体系在改变过程中，电位保持不变，则导体 系电荷量将发生变化。外界（电源）对导体系 作功，其中一部分转变为静电场能，另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。
1 F ⋅δl＝ φiδqi − ∑φiδqi ∑ 2 电 能 电 对 统 静 场 源 系 所 的 功 量 变 做 总 改 量 ∴ F = ∇W | e
1 1 We = ∫∫∫ ρ ( r )φ ( r ) dV →? we = ρ ( r ) φ ( r ) 2 V 2 1 1 We = ∫∫∫ D( r ) ⋅E ( r ) dV → we = D( r ) ⋅ E ( r ) 2 2 V
静电场能量: 可通过电荷分布计算，也可通过电场计算 但能量密度函数只能表示为电场的函数。
D2
ˆ (D2 − D ) ⋅ n = ρs 1
ε2
D 1
ε1
ϕ ( P ) −ϕ ( P ) 2 1
P2 = lim −∫ E ( r ) ⋅ dl = 0 P →P 1 2 P 1
ˆ ϕ2 ( r ) −ϕ1 ( r ) s = 0 → n ×( E2 − E1 ) = 0
φ = φ（常数） 0 − ε ∂φ = ρ s ∂n
Q (导体所带电荷量) ∫∫ ρsds = 0 (导体不带电) S
【例3-1】证明均匀介质空间中导体的 】 之比为常数。 电位与其带电量 Q 之比为常数。
证明: 证明 导体带电荷量为Q ，φ1 = ∫ E1 ( r ) ⋅ dL 1