【精准解析】福建省普通高等学校招生全国统一考试2020届高三模拟考试数学(理)试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313
111222
i i i i z i i i i ++++=
===+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限.
故选：A .
【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 2.已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==
⎨⎩则()U A B =（ ）
A. (1,)+∞
B. (0,1)
C. (0,)+∞
D. [1,)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，
()[)1,U A B ∴=+∞.
故选：D .
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
3.已知3sin 24θ=-，则1
tan tan θθ
+
=（ ） A. 83
- B. 43
- C. 83
D.
4
3
【答案】A 【解析】 【分析】
由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】
3sin 22sin cos 4θθθ==-，3
sin cos 8
θθ∴=-，
221sin cos sin cos 18
tan 3tan cos sin sin cos 38
θθθθθθθθθθ+∴+=+===-
-. 故选：A .
【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.
4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A.
3
14
B.
1114
C.
114
D. 27
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2
828C =种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有22
8422C C -=种取法；
∴所求概率22112814
p =
=. 故选：B .
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
5.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A. 若//αβ，则l//m B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，则m α⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C .
【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.
6.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的
边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则22
22a b c
-=（ ） A.
3
2
B.
12
C.
1
4
D.
18
【答案】D 【解析】 【分析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.
【详解】由余弦定理得：222222224
a c
b b
c a c
a b ac bc +-+-⋅-⋅=，
整理可得：22
2
4
c a b -=，2221
28a b c -∴=.
故选：D .
【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题. 7.已知2log 3a =， 4.12b -=，13
827c -
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则（ ） A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. a c b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数运算法则、指数函数函数和对数函数单调性，可通过临界值比较出大小关系. 【详解】
13
4.102238221log 22log 3227-
-⎛⎫<=<
==< ⎪⎝⎭
，b c a ∴<<.
故选：C .
【点睛】本题考查指数幂、对数值的大小关系的问题，关键是熟练掌握指数函数和对数函数的单调性.
8.已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8
【答案】B 【解析】 【分析】
取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得
2
AM ，利用()
AM AN AM AO ON ⋅=⋅+可求得结果.
【详解】取AM 中点O ，连接ON ，
AN NM =，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=.
60DAB ∠=，120ADM ∴∠=，
()
2
2
22
2cos 416828AM DM DA
DM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=，
则()
21
142
AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==. 故选：B .
【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解. 9.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2
()3f x x x
=+
-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）
A. [2,1]--
B. (,2][1,0]-∞-⋃-
C. (,2][1,0)-∞-⋃-
D. (,2)(1,0]-∞-⋃-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.
当0x <时，0x ->，()2
3f x x x
∴-=--
-， ()f x 为奇函数，()()()2
30f x f x x x x
∴=--=++<，
由02
30x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩
得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--.
故选：B .
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.
10.将函数()cos f x x =的图象先向右平移
5
6
π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,
)22
ππ
上没有
零点，则ω的取值范围是（ ）
A. 228(0,][,]939
B. 2
(0,]9
C. 28(0,][,1]99
D. (0,1]
【答案】A 【解析】 【分析】
根据y =Acos （ωx +φ）的
图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56
x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移5
6π个单位长度， 可得5cos 6
y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的
1
ω
(0)>ω倍(纵坐标不变)，
得到函数5()cos 6g x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
∴周期2T π
ω
=
，
若函数()g x 在3(
,)22
ππ
上没有零点，
∴ 553526626
x ωπππωππ
ω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππ
ω
⎛⎫⎛⎫---≤=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，
又5226
352
26k k π
ωππππωππ
π⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得
3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解
28
39
ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得2
09
ω<≤
，
ω∴∈228
(0,][,]939
.
故答案为：A .
【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
11.在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A. 3π B.
3π
C. 12π
D. 24π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在
PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据
长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．
【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，
O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，
过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，
PB PC =，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点
由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且1
12
OG PH ==． 设AB x =，
22PB =，211822
AO PA x ∴=
=+ 12
22
AG BC x =
=，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=，
即2
2
2211822x x ⎛⎫⎛⎫
+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()
()
2
2
2
11
2242232
2
x AO +=
+==
，
∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．
故选：C .
【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
12.已知抛物线2
:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则
||
||
FB TS =（ ） A.
25
B. 2
C.
72
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得
TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p
+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，
由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.
2FA AS =，13SA SF ∴
=，133p AN OF ∴==，4
3
AM p ∴=，
由抛物线定义知：
4
3
AF AM p
==，
12
23
AS AF p
∴=
=，2
SF p
∴=，
2
TS SF p
∴==.
由抛物线性质
1121
2
AF BF p p
+==得：
311
4p BF p
+=，解得：4
BF p
=，
4
2
2
FB p
TS p
∴==.
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13.若变量x，y满足约束条件
20
30
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则32
z x y
=+的最大值为__________．【答案】
3
2
【解析】
【分析】
根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线
3
22
z
y x
=-+在y轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过
13
,
22
B
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
时，z取最大值，代入可求得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
将32
z x y
=+化为
3
22
z
y x
=-+，则z最大时，直线
3
22
z
y x
=-+在y轴截距最大；
由直线
3
2
y x
=-平移可知，当
3
22
z
y x
=-+过B时，在y轴截距最大，
由2030
x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫
∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.
故答案
：
3
2
. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.
14.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为
45和3
4
；乙笔试、面试通过的概率分别为
23和1
2
．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 【答案】
815
【解析】 【分析】
分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.
【详解】甲被录取的概率1433545p =
⨯=；乙被录取的概率2211323
p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()122132128
11533515
p p p p p =-+-=⨯+⨯=.
故答案为：8
15
.
【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为(F ，A 、B 为双曲线上关于原点对
称的两点，AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线
AB 的斜率为
4
，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．
【答案】 (1). 【解析】 【分析】
设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=可得到A
点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得22
00,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b ，进而得到离心率. 【详解】
左焦点为()
F ，∴
双曲线的半焦距c =
设()00,A x y ，()00,B x y --
，00,22x y H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴
，0022x y K ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
， 2HK OG =，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=，22
003044
x y -∴-=，即22
003x y +=，
又直线AB
斜率
004y x =，2083x ∴=，2
013y =，
AB ∴==
A 在双曲线上，22
00
221x y a b
∴-=，即2281133a b -=，
结合2223c a b =+=
可解得：a =1b =，∴离心率6c
e
a . 故答案为：
2
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.
16.已知函数()()ln ()ln x
x e
ax e x f x x ax
--=
-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范
围是__________．
【答案】1,e e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
根据指数函数x
y e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为()()ln 0x e ax
x ax --<恒成
立问题，凑而可知y ax =的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲
线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【
详解】由指数函数x
y e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，
()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax
-<-恒成立，即()
()ln 0x
e ax x ax --<恒成立，
ln x e ax x ∴>>，即y ax =是夹在函数x
y e =与ln y x =的图象之间，
y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，
则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m e
k e =⎧⎪⎨=⎪⎩
；
设过原点且与x
y e =相切的直线与函数相切于点(
),n
n e
，
则切线斜率2n
n
e k e n ==，解得：2
1n k e =⎧⎨=⎩；
当1
a e =
时，1ln 0x x e
-≤，又ln 0x ax -≠，1a e ∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1
,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12n
a n
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 【答案】（1）2n a n =；（2）2
11
343
n n S n n =+-
+⨯.
【解析】 【分析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；
（2
）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】（1）124,,a a a 成等比数列，2
2
14a a a ∴=，即()()2
1113a d a a d +=+，
()()2
11126a a a ∴+=+，解得：12a =，
()2212n a n n ∴=+-=.
（2）由（1）得：2111224n a n n
n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，114n n b b +∴=，114b =，
∴数列{}n b 是首项为
14，公比为1
4
的等比数列， ()()
123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()232211112
4444n
n n ⎡⎤
+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
211343n
n n =+-+⨯． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC
BD O =，1A O ⊥平面
ABCD ．
（1）证明：1//A O 平面11B CD ；
（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）15
5
. 【解析】 【分析】
（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，可证得四边形11 A OCO 为平行四边形，由此得到
11AO//O C ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，
在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为11,AC A C 的中点，11//OC AO ∴，
∴四边形11 A OCO 为平行四边形，11A O//O C ∴，
1A O ⊄平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ．
（2）以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．
设1OA =，
四边形ABCD 为正方形，12AB AA ∴==11OA ∴=， 则()0,1,0A -，()10,0,1A ，()11,1,1B ，()11,1,1D -， ()11,2,1AB ∴=，()112,0,0B D =-，()111,1,0A B =，
设()1111,,n x y z =为平面11AB D 的法向量，()2222,,n x y z =为平面11A AB 的法向量，
由1111100
n AB n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：11112020x y z x ++=⎧⎨-=⎩，令11y =，则10x =，12z =-， 由2121100
n AB n A B ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩得：22222200x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，令21x =，则21y =-，21z =，
()10,1,2n ∴=-，()21,1,1n =-，
121212
cos ,55n n n n n n ⋅∴<>=
=
=-
⋅，
二面角111D AB A --为锐二面角，
∴二面角111D AB A --的余弦值为5
. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.
19.金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -
=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.
【详解】（1）∵2K 的观测值()2
160604040203210.667 6.6358080100603
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯
=人，女生有2
1045
⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．
则X 的可能取值有0,1,2,3，
()30
64310201
01206
C C P X C ∴====，2164
310
6011
1202
C C P X
C ， 1264
310
3632
12010C C P X C ，()03643
1041
312030
C C P X C ====， X ∴的分布列为：
()11316
01236210305
E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.
20.已知函数()()2
ln 2f x a x x x x =-+-．
（1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值； （2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：
()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
首先确定函数的定义域和()f x '；
（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；
（2）通过分析法可将问题转化为证明12112
221ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1
t h t t t -=-
+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.
【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x -+⎛⎫'=-+-= ⎪
⎝⎭
， （1）当2a e =-时，()()()
21x x e f x x
--'=
，
∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，
()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，
()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22
212f e e e e e e =--+-=-.
（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即证：()()()1212122x x f
x f x f x x '+⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
， 即证：
()()22
11222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭
，
化简可得：()121212
2ln
a x x x a x x x ->+．
0a >，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭>+， 设12
1x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()
2
2
101t h t t t -'=>+， ()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112
2
21ln 1x x
x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭>+，
从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.
21.如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，
2B ，且1()0,1B ，112A B B 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于
M 、N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求四边形21B MNB 面积的取值范围．
【答案】（1）22
13x y +=；（2
）3,12
⎛+ ⎝⎦. 【解析】 【分析】
（1）根据1B 坐标和112A B B ∆为等边三角形可得,a b ，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线MN 斜率不存在时，易求,M N 坐标，从而得到所求面积；②当直线MN 的斜率存在时，设方程为()1y k x =-，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k 的取值范围；利用21NOB OMN MOB S S S S =++△△△，代入韦达定理的结论可求得S 关于k 的表达式，采
用换元法将问题转化为
S m m
=
+
-
，m ∈的值域的求解问题，结合函
数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果. 【详解】（1）
()10,1B ，1b ∴=，
112A B B ∆
为等边三角形，a ∴==∴椭圆的标准方程为2
213
x y +=．
（2）设四边形21B MNB 的面积为S ． ①当直线MN
的斜率不存在时，可得1,M ⎛ ⎝⎭
，N ⎛ ⎝⎭
，
1211233S ⎛=⨯+⨯=+ ⎭
∴⎝． ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
联立()22
131x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得：()2222
316330k x k x k +-+-=，
2122
631k x x k ∴+=+，21223331k x x k -=+，(
)1212y y k x x ∴-=-= 10x >，20x >，120x x ∴>，1k ∴>，
面积
()12121211
11
22
OMN MO NOB B S S S S x x y y =++=⨯+⨯+⨯-⨯△△
△222
33
1313k k k
=+=+
+23k
+．
令t =
S =
t ∈，
令m t =+
S =
m m
=
+
-
，m ∈，
()S m
在定义域内单调递减，312
S ∴<<
综上所述：四边形21B MNB
面积的取值范围是3,12⎛+ ⎝⎦
．
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参
数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线l
经过点(1,M --且倾斜角为α.
（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.
【答案】（1）4cos ρθ=
，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
；（2
. 【解析】
【分析】
（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程22
4x y x +=
，整理得)
26cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可. 【详解】（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）消去参数， 可得()2
224x y -+=，即224x y x +=， ∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，
cos x ρθ=，222x y ρ=+，
∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，
∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，
直线l
经过点(1,M --，且倾斜角为α， ∴直线l
的参数方程：1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .
将直线l 的参数方程代入C 并整理，
得)
26cos 320t t αα-++=，
∴)
6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，
∴2B A t t =，
∴)2
cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝
⎭，即2sin ()16πα+=，
0απ≤≤， ∴7666
π
π
πα≤+<， ∴62
π
πα+=，即3πα=，
∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
23.设函数()121f x x x a =++-+．
（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；
（2）设12
a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[2,3]-；（2）12,2⎛
⎫--
⎪⎝⎭. 【解析】
【分析】
（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，
21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩
∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩
，解得21x -≤<-．
综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．
（2）
21a x ≤<-，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，
()26f x x ≤+有解，31a ∴--<-，即2a >-，
又21a <-，12
a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。