河南省三门峡市2012届高三上学期调研考试(数学理)

学必求其心得，业必贵于专精
★2011年11月26日
河南省三门峡市2012届高三上学期调研考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生
作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．．．．．．．．．
.
注意事项：
1、答题前,考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框．．．．．．．．．．．．．)．内作答，超出答题区．．．．．．．．．域书写的答案无效．．．．．．．．.
4、保持卷面清洁,不折叠，不破损.
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
(1）设集合U=R ， A ＝{x |错误!<2x <4｝，B ＝｛x |lg x 〉0｝，则A B =
A ．{x |x 1}>-
B ．{x |1x 1x 2}<≤≥－或
C ．{x |x 1x 2}≤≥或
D ．{x |1x 2}<<
（2）在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的
A.充要条件 B 。

充分非必要条件 C 。

必要非充分条件 D 。

非充分非必要条件 （3）正项等比数列{}n
a 中，1n n a
a +<，286a a ⋅=,465a a +=，则
5
7
a a =
A 。

错误!
B 。

错误! C.错误! D.错误!
（4)已知命题2
:,9610p x R x x ∀∈-+>
；命题:,sin cos q x R x x ∃∈+=
A ．p ⌝是假命题
B ．q ⌝是真命题
C ．p q ∨是真命题
D ．p q ⌝∧⌝是真命题
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（5）已知log (1)
()(3) 1 (1)a x x f x a x x ≥⎧=⎨
--<⎩ 是定义在R 上的增函数，求a 的取值范
围是
A 。

[2,3)
B 。

(1,3) C.(1,)+∞ D 。

(1,2]
(6）已知tan 2θ=-（02π
θ-<<）则2sin cos 22
θ
θ+=
A 。

47
B 。

47-
C 。

417
D 。

417
-
（7）如图，函数y ＝f （x ）的图象在点P （5,f （5)）
处的切线方程是y ＝－x ＋8,则f （5）＋'
(5)f ＝
A.错误! B 。

1 C.2 D.0
（8）
已知ABC ∆中，AB BC AC CB ⋅=⋅且2AC AB BC +=,
则ABC ∆的形状为：
A 。

锐角三角形
B 。

钝角三角形 C.等腰直角三角形 D 。

等边三角形 （9） 由曲线2
y x =与直线1
2
y x =-所围成的封闭图形的面积是
A ．23
B ．43
C ．2
D ．512
(10) 定义：若数列{}n
a 对任意的正整数n ，都有1
||||n n a
a d
++=(d 为常数),
则称{}n
a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”1
{},2n
a a
=中,“绝对公和”2d =,则其前2012项和2012
S 的最小值
为
A ．-2008
B ．-2010
C —2011
D ．-2012 （11)已知实数0,1a a >≠且，函数
()log ||(,0)
a f x x =-∞在上是减函数,函数
1
()x x
g x a a =+
，则下列选项正确的是
A ．(3)(2)(4)g g g -<<
B ．(3)(4)(2)g g g -<<
C ．(4)(3)(2)g g g <-<
D ．(2)(3)(4)g g g <-<
(12）已知三次函数3
2
()f x ax x x =-+在(0,)+∞存在极大值点，则a 的范围是
A.1(0,)3
B.1(0,]3
C 。

1(,)3
-∞ D 。

1
(,0)(0,)3
-∞ 第Ⅱ卷
二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13)递减等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n
最大,则n ＝______．
（14）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53
x π=,则函数
()sin cos g x a x x =+ 的初相是 .
（150如果对于函数()f x 定义域内任意的x ,都有()f x M ≥（M 为常数)，称M 为()f x 的下界，下界M 中的最大值叫做()f x 的下确界．定义在[1,]e 上的函数()21ln f x x x =-+的下确界M ＝__________. （16）给出下列四个结论：①“若2
2
am
bm <则a b <”的逆命题为真; ②
若0
()f x 为()f x 的极值,则0
()0f x '=； ③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；④对于任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=且x >0时，()0,()0f x g x ''>>,则
x 〈0时()()f x g x ''>。

其中正确结论的序号是 。

（填上所有正确结论的序号)
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的
对边，
且(2)cos cos 0a c B b C ++=．
（Ⅰ)求角B 的值；
（Ⅱ）已知函数
2
()sin cos sin f x x x x B =⋅+，求()f x 的单调递增区间.
（18）（本题满分12分）已知等差数列{}n
a 的公差0d >，其前n 项和
为3
123,12,2,,1n
S S
a a a =+若且成等比数列.
（I ）求{}n
a 的通项公式;
（II ）记*1
1
()n
n n b
n N a a +=
∈，求数列{}n b 的前n 项和.n
T
（19）(本题满分12分）某市的老城区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，老城区改造规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原老城区建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米,BC ＝6万米，CD ＝2万米． （I ）请计算原老城区建筑用地ABCD 的面积及圆面
的半径R 的值；
（II ）因地理条件的限制，边界AD 、CD
不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高老城区改造建筑用地的利用率,请在ABC 上设计一点P ，使得老城区改造的新建筑用地APCD 的面积最大,并求出其最大值．
（20)（本题满分12分） 已知二次函数f （x)=ax 2+bx ，f(x+1）为偶函数,函数f （x ）的图象与直线y=x 相切.
(I)求f(x)的解析式；
（II ）已知k 的取值范围为[23
,+∞）,则是否存在区间[m ，n ］
（m<n ），使得f(x ）在区间［m,n ］上的值域恰好为[km,kn ］?若存在，请求出区间［m ，n]；若不存在,请说明理由。

(21）(本题满分12分）设函数()()
2
ln 21f x x
a x =-+（1,12
x ⎛⎤
∈- ⎥⎝
⎦
，0a >)． （I ）若函数()f x 在其定义域内是减函数，求a 的取值范围；
（II ）函数()f x 是否有最小值?若有最小值，指出其取得最小值时x 的值，并证明你的结论．
（22）
(本题满分10分)选修4—5《不等式选讲》 设函数a
x x x f +-++=
21)(．
（I ）当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；
（II ）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围． ★2011年11月26日
2011-2012年三门峡市高三调研考试试题答案
理科数学
一、选择题
1。

A 2。

A 3.D 4.C 5。

A 6。

A 7.C 8.C 9.B 10.A 11。

D 12.D 二、填空题
13. 7或8 14。

23
π 15。

1 16. ④
三、解答题
17.解：(Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=，
即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=
得
2sin cos sin()0A B B C ++=
...。

..。

3分
因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，得2sin cos sin 0A B A +=,
因为sin 0A ≠， 所以1cos 2
B =-，
又B 为三角形的内角，所以23πB = .。

..。

6
分
(Ⅱ）
22()sin cos sin
3
f x x x x π
=⋅+
21sin 21)22x x =-
-1sin 2cos 2sin(2)223
x x x π=-=- 由222()2
3
2
k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 得5()12
12
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈ 故()f x 的单调递增区间为：
5[,]()12
12
k k k Z π
π
ππ-
+
∈ . ..。

...12分
18. 解:（I ）由题意,得 2213123
2(1)
12a a a a a a ⎧=+⎪⎨
++=⎪⎩ 即21111()2(12)
4
a d a a d a d ⎧+=++⎨+=⎩
解之得
4()d =-舍去，d=3
，1
1a
=
32n a n ∴=- 。

.。

.6分
（2)由（1）得
111111(32)(31)33231n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
所以12111111
[(1)()(
)]3447
3231
n n
T
b b b n n =++
+=-+-+--+ 11(1)33131
n n n =-=++ 所以 31
n n T n =+。

..。

.。

12分
19.解： （1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ,由余弦定理：
AC 2＝42＋62－2×4×6cos∠ABC
＝42＋22－2×2×4cos∠ADC .
∴cos∠ABC ＝错误!。

∵∠ABC ∈（0，π），∴∠ABC ＝60°。

则S四边形ABCD＝错误!×4×6×sin60°＋错误!×2×4×sin120°＝8
错误!(万平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝16＋36－2×4×6×1
2
＝28,故AC＝2错误!.
由正弦定理得，2R＝
AC
sin∠ABC＝错误!＝错误!,∴
R＝错误!(万
米)．.。

(6)
（2)S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，S△ADC＝错误!
AD·CD·sin120°＝23。

设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝错误!xy·sin60°＝错误!xy.
又由余弦定理：AC2＝x2＋y2－2xy cos60°＝x2＋y2－xy＝28。

∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy. ∴xy≤28,当且仅当x＝y时取
等号．
∴S四边形APCD＝2错误!＋错误!xy≤2错误!＋错误!×28＝9错误!，
即当x＝y时面积最大，其最大面积为9错误!万平方米．。

.。

..。

12分
20.解：(1)∵f（x+1)为偶函数,∴f（-x+1）=f(x+1），即a（-x+1)2+b(-x+1）=a（x+1)2+b(x+1)恒成立,
即（2a+b ）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a ，∴f(x ）=ax 2—2ax ，∵函数f(x)的图象与直线y=x 相切，
∴二次方程ax 2-(2a+1）x=0有两相等实数根，∴Δ
=(2a+1)2-4a×0=0,
∴a=12
-，f （x)=—12
x 2+x. .。

.。

5分
(2）∵f(x)=-12 (x —1）2+12
≤12
,∴[km ，kn]⊆（-∞，12
]，∴kn ≤12
,
又k ≥23，∴n ≤1
2k
≤34
,
又[m,n]⊆
（—∞,1］，f （x ）在［m ，n]上是单调增函数,()()f m km,
f n kn,
=⎧⎪∴⎨
=⎪⎩即-2
21,2
1.2
m m km n n kn ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
即m ，n 为方程—12
x 2+x=kx 的两根,解得x 1=0，x 2=2-2k 。

∵m
〈n 且k ≥23
.
故当23
≤k 〈1时,[m ，n ］=[0，2-2k]; 当k>1时,[m,n]=［2-2k,0]；
当k=1时,[m ，n]不存在。

。

...12分 21.解： （1）∵()(
)1
22212222+-+=
+-='x a
x x x a x x f ,∵()x f 在⎥⎦
⎤
⎝⎛-∈1,21x 上是减函数，
∴ ()0≤'x f 在⎥
⎦
⎤ ⎝⎛-∈1,21x 恒成立。

又∵ 当⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∈1,21x 时，012>+x ， ∴不等式 022≤-+a x x 在⎥⎦
⎤
⎝⎛-∈1,21x 时恒成立,即 x x a +≥22
在⎥⎦
⎤
⎝⎛-∈1,21x 时恒
成立,
设 ()x x x g +=2
2，⎥⎦
⎤
⎝⎛-∈1,21x ，则 ()()31max ==g x g ,∴
3≥
a ……………6分
(2）∵
()(
)1
2222+-+
=
'x a
x x x f ，令 ()0='x f ，解得
:
1x =
2
x =
由于0a >,∴1
1()02
x
--=>，21()02x --=>，
∴2
1
1
-
<x
，
2
12-
>x ，
①
当2
114
x
-+=
<即03a << 时
,在⎪⎭
⎫
⎝⎛-2
,2
1x 上()0<'x f ；在()1,2
x 上()0>'x f ，
∴当14
x -+=时，函数()x f 在⎥⎦
⎤
⎝⎛-1,21上取最小值。

② 当2
1x
=
≥即3a ≥ 时，在⎥⎦
⎤
⎝⎛-1,21上()0≤'x f ，∴当1=x 时,函数()
x f 在⎥⎦
⎤ ⎝⎛
-1,21上取最小值.
由①②可知，当03a << 时，函数()x f 在x =时取最小值;当3a ≥
时， 函数()x f 在1=x 时取最小值. ……………12分 22。

解：（1)由题设知:05|2||1|≥--++x x
如图,在同一坐标系中作出函数21-++=x x y 和5=y 的图象（如图所示）
得定义域为][),32,(+∞⋃--∞. 。

....5分
(2）由题设知，当R x ∈0|2||1|≥+-++a x x
即
a x x -≥-++|2||1|
又由（1）3|2||1|≥-++x x
∴
⇒
≤-3
a
3
-≥a。