【学霸优课】高考数学(理)一轮复习课时练：10-1椭圆的方程与性质(含答案解析)

时间： 60 分钟
基础组
1.[2016 冀·州中学仿真 ] 若曲线 ax 2＋ by 2＝ 1 为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数
a ，
b 知足
()
2
2
1 1 A ． a >b B. a <b
C ． 0<a<b
D ． 0<b<a
答案
C
2
2
x 2 y 2
1 1
分析
由 ax ＋ by ＝1，得 1
＋
1 ＝ 1，由于焦点在
x 轴上，所以 a >b >0，所以 0<a<b.
a b
2． [2016 武·邑中学展望 ] 设 F 1、 F 2 分别是椭圆
x 2 2
＋ y ＝ 1 的左、右焦点，若椭圆上存在
4
→
→ →
一点 P ，使 (OP ＋OF 2 ) ·PF 2＝ 0(O 为坐标原点 )，则△ F 1PF 2 的面积是 ()
A ． 4
B ．3
C ． 2
D ． 1
答案
D
分析
→ → → → → →
→ →
∵ (OP ＋ OF 2) ·PF 2＝ (OP ＋ F 1O) ·PF 2＝ F 1P ·PF 2＝ 0，∴ PF 1⊥ PF 2，∠ F 1PF 2＝ 90°.
2
2 1 设 |PF 1 |＝ m ，|PF 2|＝ n ，则 m ＋ n ＝ 4， m ＋ n ＝ 12,2mn ＝ 4，∴ S △ F 1 PF 2＝
2mn ＝ 1，应选
D.
3． [2016 衡·水二中模拟 ] 已知点 P 是椭圆
x 2 ＋
y
2
＝ 1(x ≠0， y ≠0)上的动点， F 1、 F 2 分别为
16
8
→ →
→
椭圆的左、 右焦点， O 是坐标原点， 若 M 是∠ F 1PF 2 的均分线上一点， 且 F 1M ·MP ＝ 0，则 |OM |的取值范围是 (
)
A ． [0,3)
B ．(0,2 2)
C ． [2 2，3)
D ． (0,4]
答案
B
分析延伸 F1M 交 PF2或其延伸线于点 G.
→→→→
，又 MP 为∠ F1PF2的均分线，∴ |PF1|＝ |PG|且 M 为 F1G 的∵F1M ·MP＝ 0，∴ F1M⊥ MP
中点，∵ O 为 F1F2的中点，
1→1
∴OM 綊F2G.∵ |F2G|＝ |PG|－|PF2|＝ ||PF1|－ |PF2||，∴ |OM |＝ |2a－ 2|PF2 ||＝ |4－ |PF2||.
22
∵ 4－2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4＋ 2
→
2，∴ |OM |∈ (0,2 2)．
7
4．[2016 枣·强中学期末 ] 在△ ABC中， AB ＝ BC，cosB ＝－18.若以 A ，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率为 ()
33
A. 4
B.7
33
C.8
D.18
答案C
分析依题意知 AB ＝BC＝ 2c， AC ＝2a－ 2c，在△ ABC 中，由余弦定理得 (2a－ 2c)2＝
8c2－2×4c2× －7
，故 16e2
3 18
＋ 18e－ 9＝ 0，解得 e＝ .
8
5． [2016 衡·水二中仿真 ] 如图， F1， F2是双曲线 C1： x2－y2
＝ 1 与椭圆 C2的公共焦点，3
点 A 是 C1， C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝ |F1A| ，则 C2的离心率是 ()
12
A.3
B.3
1 2 C.5
D.5
答案 B
分析
由题知 |AF 1|＋ |AF 2|＝2a(设 a 为椭圆的长半轴 )， |AF 1|－ |AF 2|＝ 2，而 |F 1F 2|＝ |F 1A|
＝ 4，所以可得 2×|F 1A| ＝ 2a ＋ 2，∴ 8＝ 2a ＋ 2，∴ a ＝3，又 c ＝ 2，故 C 2 的离心率 e ＝ 2
.
3
2 2
，F 分别是椭圆 x ＋ y
＝ 1 的左、右焦点， A 是椭圆上一
6．[2016 枣·强中学期中 ]已知 F 1 2
4
3
动点，圆 C 与 F 1A 的延伸线、F 1F 2 的延伸线以及线段
AF 2 相切，若 M(t,0) 为一个切点，则 ()
A ． t ＝2
B ．t>2
C ． t<2
D ． t 与 2 的大小关系不确立
答案 A
分析
如图， P ， Q 分别是圆 C 与 F 1A 的延伸线、线段 AF 2 相切的切点， |MF 2|＝ |F 2Q|
＝ 2a － (|F 1A| ＋ |AQ|) ＝2a － |F 1P|＝ 2a － |F 1M| ，即 |F 1M| ＋ |MF 2 |＝2a ，所以 t ＝ a ＝ 2.应选 A.
x 2 y 2
7．[2016 ·冀州中学猜题 ]椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0) 上一点 A 对于原点的对称点为 B ，F 为其
右焦点，若 AF ⊥ BF ，设∠ ABF ＝ α，且 α∈ π， π
，则该椭圆离心率的取值范围为
()
12
4
A.
2， 6 B. 2， 3
2 3 2 2
6
D.
2
C. 3 ， 1 2 ， 1
答案 A
分析
由题知 AF ⊥ BF ，依据椭圆的对称性， AF ′⊥ BF ′(此中 F ′是椭圆的左焦点 )，所以
四边形 AFBF ′是矩形，于是 |AB| ＝ |FF ′|＝2c ， |AF|＝ 2csin α，依据椭圆的定义， |AF|＋ |AF ′|＝
2a ，∴ 2csin
c ＝ 1 ＝ 1 π ，而 α∈ π，
π
， ＋α2ccos α＝ 2a ，∴ e ＝ a sin α＋ cos α
α＋ 12 4 2sin 4
π π π ，∴ sin
π
3
1 ，故 e ∈ 2
6
，应选 A.
∴ α＋ ∈ ，
α＋ ∈
4 3 2 4 2 ， 2 ，
3
8. [2016 武·邑中学仿真 ]已知椭圆 x 2 y 2
F 1(－ c,0)、F 2(c,0)，
2 ＋ 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为
a b
若椭圆上存在点
P 使 a ＝ c ，则该椭圆离心率的取值范围为
()
sin ∠ PF 1 F 2
sin ∠ PF 2F 1
A ． (0， 2－ 1)
2
， 1
B. 2
C. 0， 2
D ． ( 2－1,1)
2
答案 D
分析
依据正弦定理得
|PF 2| ＝ |PF 1| ，所以由 a ＝ c
可得 a
sin ∠PF 1F 2 sin ∠PF 2F 1 sin ∠ PF 1F 2 sin ∠ PF 2F 1 |PF 2|
＝ c
，即
|PF 1|＝ c ＝ e ，所以 |PF 1 |＝ e|PF 2 |，又 |PF 1|＋ |PF 2|＝ e|PF 2|＋ |PF 2|＝ |PF 2 | (e ·＋ 1) ＝ 2a ，
|PF 1|
|PF 2|
a
则 |PF 2|＝ 2a
，由于 a － c<|PF 2|<a ＋ c(不等式两边不可以取等号，不然分式中的分母
为
0，无心
e ＋ 1
义 ) ， 所 以 a － c<
2a
c 2
c
， 所 以 1 － e<
2
e ＋ 1 <a ＋ c ， 即 1 － a < e ＋1 <1 ＋ a
e ＋ 1 <1 ＋ e ， 即
－
＋
，
2－ 1<e<1，选 D.
＋
2，
解得
9． [2016 衡·水中学模拟 ] 已知椭圆的焦点在
x 轴上，一个极点为
A(0 ，－ 1)，其右焦点
到直线 x －y ＋ 2
2＝ 0 的距离为 3，则椭圆的方程为 ________．
答案
x 2 2
＋ y ＝ 1
3
分析
据题意可知椭圆方程是标准方程，故
b ＝ 1.设右焦点为 (c,0)(c>0) ，它到已知直线
的距离为
|c ＋ 2 2|
2 2
2
x 2
2
2
＝3，解得 c ＝
2，所以 a ＝ b ＋ c ＝ 3，故椭圆的方程为
＋ y ＝ 1.
3
2
2
e ＝1
， F ， A 10． [2016 冀·州中学期中 ]如图，焦点在 x 轴上的椭圆
x ＋y
2＝ 1 的离心率
4 b 2 分别是椭圆的一个焦点和极点，
P 是椭圆上随意一点．则
→ →
PF ·PA 的最大值为 ________．
答案 4
分析
设 P 点坐标为 (x 0， y 0)．由题意知 a ＝ 2，
∵ e ＝c ＝ 1
， c ＝ 1，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝
3. a 2
2 2
故所求椭圆方程为
x 4 ＋ y
3 ＝ 1.
∴－ 2≤x≤2，－ 3≤y≤ 3.
∵ F(－ 1,0)， A(2,0) ，
→
＝ (－ 1－ x ，－ y → ＝ (2－ x ，－ y
PF 0 0)， PA 0
0)， → → 2 2 1 2
1 2
∴ PF ·PA ＝ x 0－ x 0－ 2＋ y 0＝ x 0－ x 0＋ 1＝
(x 0－ 2) .
4 4
→ →
即当 x 0＝－ 2 时， PF ·PA 获得最大值 4.
11． [2016 ·水中学仿真衡 ] 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ，焦点在x 轴上，
左、右焦
3
点分别为 F 1 和 F 2 ，且 |F 1F 2|＝ 2，点 1， 2 在该椭圆上．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过 F 1 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，若△ AF 2B 的面积为
12 2
，求以 F 2 为圆
7
心且与直线 l 相切的圆的方程．
解
(1)由题意知 c ＝
3 3 2 ＋2 2
＝4， a ＝ 2，故椭圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2
1,2a ＝ ＋
2
4 ＝ 1.
2
3
(2)①当直线 l ⊥ x 轴时，可取
A －1，－
3
，B － 1，
3
，△ AF 2B 的面积为 3，不切合
2 2
题意．
②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝k(x ＋1) ，代入椭圆方程得 (3＋ 4k 2)x 2
＋ 8k 2
2
>0建立，设 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1 ＋x 2＝－
8k 2
2，x 1·x 2
x ＋ 4k － 12＝ 0，明显
3＋ 4k
＝ 4k 2
－ 12
2＋
，
3＋ 4k 2 ，可得 |AB| ＝
3＋4k
2
又圆 F 2 的半径 r ＝
2|k| ，∴△ AF 2B 的面积为
2
＋ 1
2
，化简得：
1|AB|r ＝ 12|k| k
2＝
12
1＋ k 2
2
3＋4k
7
17k 4＋ k 2
－ 18＝0，得 k ＝±1，
∴ r ＝ 2，圆的方程为 (x －1)2＋ y 2
＝ 2.
， F 分别是椭圆 x 2
2
12．[2016 枣·强中学展望 ]如图，在平面直角坐标系
2 y 2
xOy 中， F 1 2
a ＋
b ＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点，极点 B 的坐标为 (0，b)，连结 BF 2 并延伸交椭圆于点 A ，过点 A 作
x 轴的垂线交椭圆于另一点
C ，连结 F 1C.
(1)若点 C 的坐标为
4， 1 ，且 BF 2＝ 2，求椭圆的方程；
3 3
(2)若 F 1C ⊥ AB ，求椭圆离心率 e 的值．
解
设椭圆的焦距为 2c ，则 F 1(－ c,0)， F 2(c,0)．
(1)由于 B(0， b)，所以 |BF 2|＝
b 2＋
c 2＝ a.
又 |BF 2|＝ 2，故 a ＝ 2.
16 1
由于点 C
9
9 2
＝ 1. 4
，1
在椭圆上，所以 2 ＋ 2＝ 1.解得 b
3 3
a b
x 2
故所求椭圆的方程为 ＋ y 2
＝ 1.
2
(2)由于 B(0， b)， F 2(c,0) 在直线 AB 上， 所以直线 AB 的方程为 x ＋y
＝ 1.
c b
x ＋ y
＝ 1，
x 1＝ 22a 2 c 2 ，
x 2＝ 0，
解方程组
c
b
得
a ＋ c
x 2 y
2
2－ a
2
或
y 1＝
，
y 2＝ b.
2＋
2＝ 1，
2
2
a
b
a ＋ c
2
2 2
所以点 A 的坐标为
2a c
2，
－ a .
2 2 2
a ＋ c a ＋ c
又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点
C 的坐标为
2a 2c
2－ c
2
2
2，
2
2.
a ＋ c
a ＋ c
2－c
2
2 2 － 0
2－ c
2
由于直线 F 1 C 的斜率为
a ＋ c ＝
2
2 3 ，直线 AB 的斜率为－ b ，且 F 1C
2a c
2－ －
3a c ＋ c
c
2
＋c
a
⊥ AB ，所以
2－ c
2
－
b
＝－ 1.
2
3
·
c
3a c ＋ c
又 b 2
＝ a 2
－ c 2
，整理得 a 2
＝ 5c 2.故 e 2
＝1
.所以 e ＝ 5
.
55
能力组
2 2
x
y
13. [2016 冀·州中学一轮检测 ]过椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0) 左焦点 F ，且斜率为 1 的直线交椭
圆于 A ， B 两点，向量 → → 与向量 a ＝ (3，－ 1)共线，则该椭圆的离心率为 (
)
OA ＋OB 3 6 A. 3
B. 3
3 2 C. 4
D. 3
答案 B
分析
设椭圆的左焦点为
→
→
F(－ c,0)， A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)，则 OA ＋OB ＝ (x 1＋x 2， y 1＋
y 2) ，直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋ c ，代入椭圆方程并整理得
(a 2＋ b 2)x 2＋ 2a 2cx ＋ a 2c 2－ a 2b 2＝ 0.
由韦达定理得 x 1＋ x 2＝－ 2
2a 2c 2，所以 y 1＋ y 2＝ x 1＋ x 2＋ 2c ＝ 2b 22c
2.
a ＋ b
a ＋
b → →
依据 OA ＋ OB 与 a ＝(3，－ 1)共线，得 x 1＋ x 2＋ 3(y 1＋ y 2 )＝ 0，
2a 2c 2b 2c b 2 1 ，所以 e ＝ b 2
6 ，应选 B.
即－ 2 2＋ 3× 2 2＝ 0，解得 2 3 1－ 2 3
a ＋
b a ＋ b a ＝ a ＝
2 2 14． [2016 武·邑中学一轮检测
] 已知点 A ， D 分别是椭圆 x 2＋ y
2＝ 1(a>b>0) 的左极点和上 a b
极点，点 P 是线段 AD 上的随意一点，点 F 1， F 2 分别是椭圆的左，右焦点，且
→ → PF 1·PF 2的最
大值是 1，最小值是－ 11 ________．
5 ，则椭圆的标准方程为
答案 x 2 2
4 ＋ y ＝ 1
分析
→
＝(
→
设点 P(x ，y)，F 1(－ c,0)，F 2(c,0)，则 PF 1 － c － x ，－ y)，PF 2＝ (c － x ，－ y)，所 → → 2 2 2 以 PF 1·PF 2＝ x ＋ y － c .
由于点 P 在线段 AD 上，所以 x 2＋ y 2 能够看作原点
O 至点 P 的距离的平方，易知当点
P 与点 A 重合时， x
2
＋ y 2 取最大值 a 2
，当 OP ⊥ AD 时， x 2
＋ y 2
取最小值 2
a 2
b 2
2 .
a ＋ b
a 2－ c 2
＝ 1
x 2
由题意，得
2 2 2
2
2
2
a b
11 ，解得 a
＝ 4， b ＝ 1.即椭圆的标准方程为
4 ＋y ＝ 1.
a 2＋
b 2－
c ＝－ 5
15． [2016 武·邑中学月考 ]已知圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4，点 A( 3， 0)，以线段 AB 为直径的圆
内切于圆 O ，记点 B 的轨迹为 Γ.
(1)求曲线 Γ的方程；
(2)直线 AB 交圆 O 于 C ，D 两点，当 B 为 CD 的中点时，求直线
AB 的方程．
解 (1)设 AB 的中点为 M ，切点为 N ，连结 OM ，MN ，则 |OM|＋ |MN| ＝ |ON|＝ 2，取 A
对于 y 轴的对称点
A ′，连结 A ′B，故 |A ′B|＋ |AB| ＝2(|OM| ＋ |MN|) ＝ 4.
所以点 B 的轨迹是以
A ′， A 为焦点， 4 为长轴长的椭圆．
此中， a ＝ 2， c ＝ 3， b ＝ 1，
2
则曲线 Γ的方程为 x
4 ＋ y 2＝ 1.
(2)由于 B 为 CD 的中点，所以 OB ⊥ CD ，
→ → 则 OB ⊥AB .设 B(x 0， y 0)，
则 x 0(x 0－ 3)＋ y 02＝ 0.
又 x 02
2
＝1，解得 x 0＝
2 ，y 0＝ ± 2
4 ＋ y 0 3
3
2
则 k OB ＝ ±2 ，所以 k AB ＝ ± 2，
则直线 AB 的方程为
2x ＋ y －
6＝ 0 或 2x － y － 6＝ 0.
2
2
，F
是椭圆 C ：x
2 y 2
16. [2016 衡·水中学热身 ] 已知 F 1
2
a ＋
b ＝ 1(a>b>0) 的左、 右焦点， 点 P(－ 2，1) 在椭圆上，线段 PF 2 与 y 轴的交点
→ →
M 知足 PM ＋F 2M ＝0.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)椭圆 C 上任一动点
N(x 0， y 0)对于直线 y ＝ 2x 的对称点为 N 1(x 1，y 1)，求 3x 1 －4y 1 的
取值范围．
解 (1)点 P(－ 2，1)在椭圆上，
2 1
∴ a 2＋ b 2＝ 1.①
→ →
又∵ PM ＋ F 2M ＝ 0， M 在 y 轴上，
∴ M 为 PF 2 的中点，
∴－ 2＋c ＝ 0， c ＝ 2.
∴ a 2－ b 2＝ 2，②
联立①②，解得 b 2＝ 2(b 2＝－ 1 舍去 )， ∴ a 2＝ 4.
2
2
x
y
故所求椭圆 C 的方程为
＋ ＝ 1.
(2)∵点 N(x 0 ，y 0)对于直线 y ＝ 2x 的对称点为 N 1(x 1 ，y 1)，
y 0－ y 1 ×2＝－ 1， x 0－ x 1
∴
x 0＋ x
y 0＋ y 1
1 2 ＝ 2× 2 .
4y 0－ 3x 0 x 1＝ 5
，
解得
∴ 3x 1 －4y 1＝－ 5x 0.
3y 0＋ 4x 0
y 1＝
5
.
C ：
x
2
2
∵点 N(x 0， y 0)在椭圆 ＋ y
＝ 1 上，
4 2
∴－ 2≤x
≤－ 5x 0≤ 10，
0≤2，∴－ 10 即 3x 1 －4y 1 的取值范围为 [ － 10,10]．。