涿州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

涿州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．64
B ．72
C ．80
D ．112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.2． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（
）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
3． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（
）
A ．(]0,2016
B ．[]0,2015
C ．(]1,2016
D ．[]
1,20174． 已知抛物线：的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛C 2
4y x =F (0,2)A FA C M 物线的准线交于点，则的值是（ ）
C N ||:||MN FN
A ．
B ．
C ．
D 2)-21:(15． α是第四象限角，
，则sin α=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（
）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
7． 若圆上有且仅有三个点到直线是实数）的距离为，2
2
6260x y x y +--+=10(ax y a -+=则（
）
a =
A ．
B ．
C ．
D ．1±8． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ）
A ．1或﹣3
B ．﹣1或3
C ．1或3
D ．﹣1或﹣3
9． 函数f （x ）＝
，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（
）
kx ＋b x ＋1
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
10．函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（
）
A ．a ≤0
B ．0＜a ＜
C ．＜a ＜1
D ．a ≤0或a ＞1
11．已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）
2
()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ．
B ．
C ．
D ． 1412
12．四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在
P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =体积为同一球面上，则（ ）
24316
πPA =
A ．3
B ．
C ．
D ．
729
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
二、填空题
13．i 是虚数单位，化简：
= ．
14．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g （
x ）（a ＞0且a ≠1），+
=．若数列{
}的前n 项和大于62，则n 的最小值为
．
15．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的()0,2()4,0()7,3(),m n m n +值是
．
16．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，若从点O 到点A 3的回形线为第1圈（长为7），从点A 3到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
17．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE 所成角的余弦值为
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．
18．在中，角的对边分别为，若，的面积，ABC ∆A B C 、、a b c 、、1cos 2c B a b ⋅=+ABC ∆S =则边的最小值为_______．
c 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知函数（）.
2
()(21)ln f x x a x a x =-++a R ∈ （I ）若，求的单调区间；1
2
a >
)(x f y = （II ）函数，若使得成立，求实数的取值范围.
()(1)g x a x =-0[1,]x e ∃∈00()()f x g x ≥a
20．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．（I ）求p 的值；
（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设p ：实数满足不等式39a ≤，：函数()()32331932
a f x x x x -=++无极值点.
（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为，且：2112022a m a m m ⎛⎫⎛
⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，若是t ⌝的必要不充分
条件，求正整数m 的值．
22．(本小题满分10分）选修4­4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
23．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．
24．已知，其中e是自然常数，a∈R （Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．
涿州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C.
【解析】
2．【答案】B
【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，
在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】D
【解析】
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题M
得到解决.本题就是将到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
5．【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，
∴sinα=，
故选B．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．
6．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
7．【答案】B
【解析】
试题分析：由圆，可得，所以圆心坐标为，半径为
226260x y x y +--+=22
(3)(1)4x y -+-=(3,1)，要使得圆上有且仅有三个点到直线是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于2r =10(ax y a -+=
，解得
B. 11
2r 1=a =±
考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于1
2
r 是解答的关键.
8． 【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=
≠
，
解得 a=﹣3，或a=1．故选：A ．　
9． 【答案】
【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），
则，恒成立．
{
n ＝km ＋b m ＋14－n ＝
k （－2－m ）＋b －1－m )
由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立，∴4＝2k ，即k ＝2，
∴f （x ）＝，又f （－2）＝＝3，
2x ＋b
x ＋1－4＋b －
1∴b ＝1，故选B.10．【答案】D
【解析】解：∵f （1）=lg1=0，∴当x ≤0时，函数f （x ）没有零点，故﹣2x +a ＞0或﹣2x +a ＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a ＞2x ，或a ＜2x 在（﹣∞，0]上恒成立，故a ＞1或a ≤0；故选D ．
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．　
11．【答案】A 【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'
222()x x a f x x
++=2
()2ln 2f x a x x x
=+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2
()222h x x x a =++)
,0(+∞恒成立，，故选A. 1
1
0,4
a ∴∆≤∴≥考点：导数与函数的单调性．12．【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则,AC BD E PC O OE OE PA A OE ⊥ABCD O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为O 12PC ==
可得
，解得，故选B ．34243316ππ=7
2
PA =
二、填空题
13．【答案】　﹣1+2i ．
【解析】解：
=
故答案为：﹣1+2i ．　
14．【答案】　1　．
【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，
再左右扩展知f（x）为周期函数．
结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
15．【答案】34 5
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
16．【答案】　63　．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7
第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23
…
第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1
故n=8时，第8圈的长为63，
故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
17．【答案】　4或　．
【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=，
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2，BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
18．【答案】1
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．
请20．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．
所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
或；（2）1
<<≤
m=.
125
a a a
21．【答案】（1）{}
【解析】
（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与只有一个命题是真命题．
若p 为真命题，为假命题，则2115a a a a ≤⎧⇒<⎨<>⎩
或．………………………………5分若为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩
．……………………………………6分于是，实数的取值范围为{}125a a a <<≤或．……………………………………7分
考点： 1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件.
22．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）{x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α)得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.
即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，
由C 2：ρ＝得2
sin （θ＋π4）ρ（sin θ＋cos θ）＝2，
即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得
x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，
将θ＝代入上式得3π4ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2
∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.222∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.121222即△PMN 的面积为3.
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，
∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；
∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，
∴B 1C 1⊥A 1B ．
又∵A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1=B 1，
∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1，
∵A 1B ⊂平面A 1BE ，∴平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；
（Ⅱ）证明：连接EF ，EF ∥
，且EF=，
设AB 1∩A 1B=O ，
则B 1O ∥C 1D ，且
，∴EF ∥B 1O ，且EF=B 1O ，
∴四边形B 1OEF 为平行四边形．
∴B 1F ∥OE ．
又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ，
∴B 1F ∥平面A 1BE ，
（Ⅲ）解： ====．　
24．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=，
所以f（x）min﹣g（x）max＞，
所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．　。