闸北高中补习班秋季新王牌高考冲刺补习班模拟考试数学试卷

上海市高考模拟考试数学试卷
一、填空题（本大题满分48分）
1．1
2lim 22
+∞→n P n n = .
2．函数a x y +=2的反函数是1-=bx y ，则b a += .
3．3
1
=αtg ，则=-αα44cos sin .
4．6
)31(x
x -
的展开式中的常数项为 . 5．棱长为1的正三棱柱111C B A ABC -中，异面直线1AB 与BC 所成角的大小
为 .
6．圆)cos (sin 2θθρ+=的圆心的极坐标为 .
7．若函数f (x ) =⎩
⎨⎧+≥）＜，（）
，（4)3(42x x f x x ，则f (log 23)= .
8．若x 是y 21+与y 21-的等比中项，则xy 的最大值为 ．
9．已知两根的平方和为2的实系数方程20x bx c ++=，与平面直角坐标系上的点
(),P b c b +
对应，则点P 的轨迹方程为 . 10．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向
的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的 环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短， 最多可以有 种不同的走法． 11．记
5215
1
a a a a
i i
+++=∑= ，若47.41=a ，51.42=a ，61.43=a
65.44=a ，76.45=a ．则
235
1
=∑=i i
a ．另有正整数)51(≤≤i A i
的和仍是23，若以i
A 来
估计i a ，则“误差和”
∑=-5
1
||i i
i
a A 的最小值为 ．
12．问题：过点()1,2M 作一斜率为1的直线交抛物线()022>=p px y 于不同的两点B A ,，且
点M 为AB 的中点,求p 的值．请阅读某同学的问题解答过程：
解：设()()2211,,,y x B y x A ，则22
21212,2px y px y ==,两式相减，
得()()()2121212x x p y y y y -=+-.又12
12
1=--=
x x y y k AB ，221=+y y ,因此1=p .
并给出当点M 的坐标改为()()0,2>m m 时,你认为正确的结论：
A
B
二、选择题（本大题满分16分）
13．函数y = log a x 和y = (1－a )x+a 的图象只可能是………………………………………（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是……（ ）
A ．a 2 + a 13
B ．a 2·a 13
C ．a 1 +8a +a 15
D ．a 1·a 8·a 15
15．函数n m x x x f ++=|arcsin |)(为奇函数的充要条件是……………………………（ ）
A ．022=+n m
B ．0=+n m
C ．n m =
D ．0=mn
16．已知集合}C ,R ,,02)i ()i ({∈∈=+-++=z b a z b a z b a z A ，C},1{∈==z z z B ，
若A
B =∅，则下列说法中错误的是………………………………………………（ ）
A ．b a ,都不大于1
B ．b a ,至多一个大于1
C ．b a ,至少一个小于1
D ．b a ,不都小于1
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题， 17．（本题满分12分，第（1）题6分、第（2）题6分）
棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱的CC 1中点．
（1）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求四面体ACPD 1的体积． 18．（本题满分12分，第（1）题6分、第（2）题6分）
三角形的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量),(a b a c m --=，
),(c b a n +=, 若n m //．
（1）求角B 的大小； （2）求sin sin A C +的取值范围．
B 1
P
A C
D
A 1
C 1
D 1
B
19．（本题满分14分，第（1）题5分、第（2）题9分）
一场特大暴风雪严重损坏了某铁路干线供电设备，抗灾指挥部决定在24小时内完成抢险工程．经测算，工程需要15辆车同时作业24小时才能完成，现有21辆车可供指挥部调配．
（1）若同时投入使用，需要多长时间能够完成工程？（精确到0.1小时）
（2）现只有一辆车可以立即投入施工，其余20辆车需要从各处紧急抽调，每隔40分钟有一辆车可以到达并投入施工，问：24小时内能否完成抢险工程？说明理由． [解]： 20．（本题满分14分，第（1）题6分、第（2）题8分）
已知函数f (x ) =b
x a
x ++（a 、b 为常数）. （1）若1=b ，解不等式0)1(>-x f ；
（2）当x ∈[1-，2]时，f (x )的值域为 [
4
5
，2]，求a 、b 的值.
21.（本题满分16分，第（1）题4分、第（2）题6分、第（3）题6分）
已知等差数列{}n x ，n S 是{}n x 的前n 项和，且34,5553=+=x S x ． （1）求{}n x 的通项公式；
（2）判别方程n n n n S x x x =++1cos sin 2是否有解，说明理由；
（3）设n
n a ⎪⎭⎫
⎝⎛=31，n T 是{}n a 的前n 项和，是否存在正数λ，对任意正整数k n ,，
使22
n λλ<-k x T 恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 22．（本题满分18分，第（1）题4分、第（2）题6分、第（3）题8分）
已知二次曲线C k 的方程：
22
194x y k k
+=--． （1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线C k 与直线1y x =+有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点)0,5(1-F ，
)0,5(2F 满足021=⋅PF PF ？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．。