华东理工大学概率论答案-23

华东理工大学
概率论与数理统计
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第二十三次作业
一．填空题：
1. 单侧检验与双侧检验的最大区别是__拒绝域在一侧还是两侧都有____
2. 如果要检验的是某品牌手机的辐射是否符合国家标准,应该选用_单侧检验 如果要检验的是某厂生产螺栓的直径是否符合标准, 应该选用双侧检验
3. 某产品工艺改革前后的次品率分别为12,p p ，若要检验工艺改革是否显著降低 了产品的次品率，那么检验的原假设和备选假设分别为 210:p p H ≤ 和 211:p p H >
4．设需要对某正态总体（方差2σ已知）的均值进行假设检验:0H 15=μ，
:1H 15<μ，显著性水平为α，采用的统计量为n
x u /15
σ-=，
拒绝域为α--<1u u 。

5．进行5次试验，测得锰的熔化点（˚C ）如下：1269，1271，1256，1265，1254，
已知锰的熔化点服从正态分布。

现要根据以上数据判断猛的熔化点是否显著高于1250˚C （01.0=α），采用的原假设为1250:0≤μH ，备择假设为
1250:1>μH ，采用的统计量n
s x T n /151--=在0H 为真时服从的分布为(4)t ，
拒绝域为7469.3>T 。

6. 一元线性回归的模型为 ),0(~ 210σεεββN X Y ++=; 回归分析的三个前 提是 正态性, 独立性, 方差齐性; 根据n 组样本数据(i i y x ,)求回归模型中参
数的极大似然估计(也是最小二乘估计)的公式为 x y L L xx
xy 1
01ˆˆ ,ˆβββ-== ; 求变元X 与Y 的样本相关系数的公式为 yy
xx xy L L L R =
, 2R 称为可决系数;
残差平方和SSE=2101
)ˆ ˆ(i
n
i i x y ββ--∑=; 若SSE=0, 则可决系数2R = 1 ; 在EXCEL 中对回归方程进行检验,当检验的p 值 小于 给定的显著性水平时
说明变元的线性相关关系显著(回归方程有意义).
7. 如图为根据变元X 与Y 的样本数据用EXCEL 进行回归分析的结果
1) 这个回归分析的前提是_),0(~ 210σεεββN X Y ++=,其中误差项满足__
正态性, 独立性, 方差齐性_;
2) 变元X 与Y 的样本相关系数是__0.9584___,可决系数是__0.9185___;
3) 变元X 与Y 的回归方程是__Y=1.25+1.625X, 回归的残差平方和是___3__; 4) 在显著性水平0.05情况下, 变元X 与Y 的线性相关关系是否显著___是____
5) 根据分析结果,当X=0时, 预测变元Y 的点估计为 __1.25___;
6) 回归方程中变元X 系数的置信水平为95%的置信区间是___[0.7355, 2.5145]__
二. 选择题：
1. 若要通过抽样了解其某个服从正态分布的质量指标的方差是否在允许的范围内，宜采用 的检验是（ C ）
A. 双侧正态检验
B. 双t 检验
C. 单侧2χ检验
D. 单侧F 检验
2. 在显著性水平α下对原假设0H 的检验,本来应该做双侧检验的,某同学却错误 地做了单侧检验,其检验的结果是拒绝0H , 则 ( D ) A. 双侧检验的结果一定是拒绝0H B. 双侧检验的结果一定是接受0H
C. 无论用单侧检验还是双侧检验, 犯第一类错误的概率都相同
D. 无论用单侧检验还是双侧检验, 犯第一类错误的概率都不超过α
3. 假设一个(一元或多元)线性回归问题的总离差平方和SST=100, 残差平方和 SSE=19, 则错误的选项是 ( C ) A. 回归平方和SSR=81 B. 可决系数2R 为0.81
C. 样本(复)相关系数R 为0.9
D. 样本(复)相关系数R 为0.9或-0.9
4. 假设根据样本数据求得变元X 与Y 的样本相关系数R = - 0.9, 则变元X 与Y 可能的回归方程是 ( B )
A. Y=1+2X
B. Y=1-2X
C. Y= -1+2X
D. Y= -0.9+0.9X
(注: 根据变元负相关, 或R 与1ˆβ的计算公式可得他们符号相同 判断)
三. 计算题：
1．某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005。

今在一批导线中任取9根，测得样本标准差007.01=-n S ，这批导线的电阻的标准差比起规定的电阻的标准差来是否显著地偏大()05.0=α？ 解：检验222201:0.005,:0.005H H σσ≤>，
考虑到均值μ未知，故采用单侧2χ检验法。

取检验统计量2
02
1
2
)1(σχ--=
n S n ，在0H 真时服从)1(2-n χ。

计算统计量的值：2
22
1
2
2
(1)80.00715.680.005n n S χσ∧--⨯=== 由0.05α=，查表得2210.95
(1)(8)15.507n α
χ
χ
--==，由于2
2
0.95
(8)χχ∧
>，
故拒绝0H ，即认为电阻的标准差显著偏大。

2. 某公司营销人员对公司6个月来每月广告费用（记为x, 单位:万元）和销售额（记为y, 单
位:万元）做了统计，得到如下数据：
经计算得
∑=21i
x
，∑=912i x ，∑=78i y ，∑=13762i y ，∑=352i i y x ：
1) 计算销售额（y ）与广告费用(x)的相关系数 2) 求销售额对广告费用的直线回归方程
3) 若下月计划广告费支出10万元，试预测相应的销售额 解：1) 相关系数L n xy x y R -=
=
＝0.99
2) 由x y L L xx
xy 101
ˆˆ ,ˆβββ-== 得: 10
ˆˆ4.51, 2.8ββ==-, 所以直线回归方程为 x y 51.48.2+-=
3) 3.421051.48.2=⨯+-=y
3. 为了研究钢线含碳量（单位：%）x 对于电阻Y 在20o C 下的影响，做了7次试验，得到数据如下：
1）画出散点图；
2）求电阻关于钢线含碳量的直线回归方程； 3）进行线性回归的显著性检验（0.01α=）
解：
1）利用Excel 计算得到画出散点图
2）利用Excel 计算得到 SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple R 0.998714 R Square 0.99743 Adjusted R Square 0.996916
标准误差
0.016539 观测值
7 方差分析
df
SS
MS
F
Significan ce F
回归分析 1 0.530775 0.530775 1940.48 1.14E-07 残差 5 0.001368 0.000274 总计
6 0.532143
Coefficien
ts 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% 下限 95.0% 上限
95.0%
Intercept
-1.10794 0.037993 -29.162 8.89E-07 -1.2056 -1.01028 -1.2056 -1.01028
X Variable 1
0.079474 0.001804 44.05088 1.14E-07 0.074837 0.084112 0.074837 0.084112
所以直线回归方程为 1.110.08y x =-+
3）由于P-value 小于α，故认为回归方程有显著意义
*4．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，的样本含锌平均值及样本方差如下：
东支： 230.0=x 1337.02
=x S
西支： 269.0=y 1736.02
=y S
若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉 含锌量的平均值是否可以看作一样()05.0=α？
解：检验012112:,:H H μμμμ=≠，采用双侧t 检验法
检验统计量为n
m S y x T w
1
1+-=
，在0H 真时服从)2(-+n m t
计算0.15232w S =
=，
ˆ0.2056X Y T
===- 由0.05α=查表得0.97512
(2)(15) 2.1314t
m n t α
-
+-==，
由于0.975
ˆ(15)T t <，故接受0H ，即这两支矿脉含锌量的平均值可以看作一样。

*5．为了提高振动板的硬度，热处理车间选择两种淬火温度1T 及2T 进行试验，测得振动板的硬度数据如下：
1T ：85.6， 85.9，85.7， 85.8， 85.7， 86.0， 85.5， 85.4 2T ：86.2， 85.7， 86.5, 85.7， 85.8， 86.3， 86.0， 85.8 设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布，检验
（1）两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异()05.0=α？ （2）淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响()05.0=α？
解：由样本观测值计算得：22
85.7,86,0.04,0.09143x y X Y S S ====，8==n m
(1) 检验2222
012112
:,:H H σσσσ=≠，使用双侧F 检验。

检验统计量22y
x
S S F =在0H 真时服从)7,7(F
计算220.04ˆ0.43750.09143
x y S F S ===， 由0.05α=，得0.9750.0250.97511
(7,7) 4.99,(7,7)0.2004(7,7) 4.99
F F F ==
==
由于0.0250.975
ˆ(7,7)(7,7)F F F <<，故接受0H ， 即两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。

(2)检验012112:,:H H μμμμ=≠，由于12,σσ未知，但上面已经检验了它们的方差无显著差异，即可以认为12σσ=，故采用双侧t 检验法。

检验统计量为n
m S y x T w
1
1+-=
，在0H 真时服从)2(-+n m t
计算0.2563w S =
=
ˆ 2.3406X Y T
===- 由0.05α=得0.97512
(2)(14) 2.1448t
m n t α
-
+-==，
由于0.975ˆ(14)T t >，故拒绝0
H ，即淬火温度对振动板硬度有显著影响。