2021版新高考数学一轮复习第九章9.7抛物线课件新人教B版

第七节ꢀ抛ꢀ物ꢀ线
内容索引
【教材·知识梳理】
1.抛物线的定义
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做_______，
焦点准线
定点F叫做抛物线的_____，定直线l叫做抛物线的_____.
2.抛物线的标准方程与几何性质
【常用结论】
1.焦半径、通径：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x
0，y
)到焦点F
的距离|PF|=x
+，也称为抛物线的焦半径.
过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p，是过焦点最短的弦.
2.四倍关系：y2=ax的焦点坐标为，准线方程为x=-.
3.抛物线中的常用结论：直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，如图.
1122
①y y=-p2，x x=
1212
②|AB|=x+x+p，x+x≥2=p，即当x=x时，
121212
弦长最短为2p.
③为定值.
④弦长AB=(α为AB的倾斜角).
⑤以AB为直径的圆与准线相切.
【知识点辨析】ꢀ(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.
(ꢀꢀ)
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.(ꢀꢀ)
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(ꢀꢀ)
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(ꢀꢀ)
(5)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F
,yy=-p2,弦长|AB|=x+x+p.
的弦,若A(x,y),B(x,y),则xx=
112212 (ꢀꢀ)
1212
(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.(ꢀꢀ)
提示:(1)×.当定点在定直线上时,轨迹为过定点与定直线垂直的一条直线,不是抛物线.
(2)×.方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是y=-.
(3)×.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)×.例如,直线y=1与抛物线y2=4x只有一个交点,但它们相交.
(5)√.由焦半径的性质可知正确.
(6)√.由通径定义及抛物线性质知正确.
【易错点索引】
序号易错警示典题索引
1 2 3不会利用定义转化考点一、T1,2联想不到利用焦点弦的有关结
论求解
考点二、T3
运算不过关导致出错考点三、角度1
【教材·基础自测】
1.(选修2-1P70练习AT2改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x,y),
11
Q(x,y)两点,如果x+x=6,则|PQ|等于(ꢀꢀ)
2212
A.9ꢀ
B.8ꢀ
C.7ꢀ
D.6
【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,根据题意可得
|PQ|=|PF|+|QF|=x+1+x+1=x+x+2=8.
1212
2.(选修2-1P63例3改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上任意一点,则以PF为直径的圆C与y轴(ꢀꢀ)
A.相交C.相离
B.相切
D.以上都不对
【解析】选B.由抛物线方程得F,
设P(x,y),则由抛物线定义可得|PF|=x+.
000
由已知点C为PF的中点则C的坐标为,半径r=,故C点到y轴的距离d=,所以d=r,故圆C与y轴相切,故选B.
3.(选修2-1P61练习BT3改编)顶点在坐标原点,焦点为F(0,1)的抛物线上有一动点A,圆(x+1)2+(y-4)2=1上有一动点M,则当|AM|+|AF|取得最小值时=(ꢀꢀ) A.3 B. C.2 D.
【解析】选B.由题知,抛物线方程为x2=4y,其准线为y=-1,
设d=|AF|为A到准线的距离,
则|AM|+|AF|的最小值等于圆心(-1,4)到准线的距离减去半径,此时A
,则
ꢀ考点一ꢀ抛物线的定义及标准方程ꢀ
【题组练透】
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为(ꢀꢀ)
A.(2,-2)ꢀ
B.(1,2)ꢀ
C.(1,-2)ꢀ
D.(-1,2)
2.已知直线l:4x-3y+6=0和l:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l和直线l的
1212距离之和的最小值是(ꢀꢀ)
A. B.2ꢀ
3.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为(ꢀꢀ)
C.ꢀ
D.3
A.y2=4x或y2=8xꢀC.y2=4x或y2=16xꢀ
B.y2=2x或y2=8x D.y2=2x或y2=16x
4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.世纪金榜导学号ꢀ
5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________.世纪金榜导学号ꢀ
【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).
:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动2.选B.由题可知l
2
点P到l的距离等于|PF|,则动点P到直线l和直线l的距离之和的最小值,即焦212
点F到直线l
:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是
1
3.选C.由已知得抛物线的焦点
设点M(x
0,y
),则
由已知得,=0,即-8y
+16=0,
因而y
=4,
由|MF|=5,得
又p>0,解得p=2或p=8.
故C的方程为y2=4x或y2=16x.
4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,
交抛物线于点P,则|P Q|=|P F|,
111
则有|PB|+|PF|≥|P B|+|P Q|=|BQ|=4,
11
即|PB|+|PF|的最小值为4.
答案:4
5.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),
则焦点
将代入抛物线方程,
可得2p×=42,得p=4,则准线方程为x=-2,设M(-2,t),则S
=|AB|×p=4×4=16.
△ABM
答案:16
【规律方法】
1.抛物线定义的应用
利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.
②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:
分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴方法一上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px
(p>0)两种情况求解
设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则
抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成方法二
x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设
方程
考点二ꢀ直线与抛物线的综合问题ꢀ
【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为则=(ꢀꢀ)
2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为(ꢀꢀ)
3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.世纪金榜导学号
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.
(2)若求|AB|.
【解题导思】
序号联想解题
一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即
联想到利用抛物线的定义进行转化
1
2 3当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法
当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结论
【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n, |BE|=n-m,
因为∠ABN=60°,于是
解得n=3m,
则
2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
设A(x,y),B(x,y),线段AB的中点M(x,y),则由弦AB 112200
的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x+=5,则x=4,
00
由两式相减得(y+y)(y-y)
1212
=4(x-x),则即k=则
12
即y
=±,所以直线l的斜率k=
3.设直线l:y=x+t,A(x,y),B(x,y).
1122 (1)由题设得
故|AF|+|BF|=x
1+x
2
+,
由题设可得x
1+x
2
=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x+x=
12
从而得t=所以l的方程为y=
(2)由由
可得y=-3y.
12
可得y2-2y+2t=0.
所以y+y=2.从而-3y+y=2,故y=-1,y=3.
122221
代入C的方程得x=3,x=.
12
故|AB|=
【规律方法】
1.直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
【变式训练】
1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|=()
A.6
B.3
C.8
D.9
【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.
设A(x,y),B(x,y),则y+y=4t,y y=-4,
11221212
所以x+x=t(y+y)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),
1212
|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,
解得t2=或t2=-(舍),
所以|AB|=x
1+x
2
+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.
2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.
【解析】设A(x,y),B(x,y),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x++x+ 112212
=5,则x
1+x
2
=,所以线段AB的中点到y轴的距离为
答案:
考点三抛物线的性质及应用考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.命
题
精
解
读
学
1.定义的应用霸
当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,好
应立即考虑到利用定义转化.方
2.交汇问题法与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.
【命题角度1】与抛物线有关的最值问题
【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l,l,且l与l交
1212
于点M.
(1)求p的值.
(2)若l⊥l,求△MAB面积的最小值.
12
【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为
焦点到准线的距离为2,即p=2.
准线方程为y=
(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y′=x,设A(x,y),B(x,y),
1122
l 1:y-(x-x),l:y-(x-x
2
),
12
由于l⊥l,所以=-1,即x
1x
2
=-4.
12
设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,
得所以x2-4kx-4m=0,
Δ=16k2+16m>0,x+x=4k,x x=-4m=-4,
1212
所以m=1,即l:y=kx+1.
联立方程
得:
即M(2k,-1).
M点到直线l的距离d=
|AB|=
所以S=×4(1+k2)×
当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.
【命题角度2】抛物线与向量的综合问题
【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x,y),B(x,y)(x<x)两点,且|AB|=9.世纪金榜导学号
112212
(1)求该抛物线的方程.
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若求λ的值.
【解析】(1)直线AB 的方程是y=与y 2=2px 联立,得4x 2-5px+p 2
由抛物线定义知|AB|=x +x =0,由已知,方程必有两个不等实根,所以x 1+x 2=
+p=+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y 2=8x.
12
(2)由(1)知,x2-5x+4=0,
所以x=1,x=4,y=-2,y=4,
1212
所以A(1,-2),B(4,4).
设C(x,y),则=(x,y)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2), 3333
又=8x
,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或
3
λ=2.
【题组通关】
【变式巩固·练】
1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”则抛物
线方程为A.y2=2x ()
B.y2=3x
C.y2=4x
D.y2=6x
【解析】选B.由题意可知,抛物线的图象如图:
|AB|=3,|BC|=3,
可得|AC|=
所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,则p=,所以抛物线方程为y2=3x.
2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.。