北师大版八年级上册数学 1.3 勾股定理的应用 教案(无答案)

集体备课教案
【教学标题】勾股定理的应用
【教学目标】1、进一步熟练掌握勾股定理和勾股逆定理
2、综合运用勾股定理和勾股逆定理解答实际问题
【重点难点】勾股定理和勾股逆定理综合运用
【教学内容】1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：a 2+b 2= c 2，
那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

3、实例分析
4、课堂演练
5、方法小结与课后作业
【例题讲解】：
例1：甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后
乙出发，他以5千米/时的速度向北行
进.上午10∶00，甲、乙两人相距多
远？
例2：如图：有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相
对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（∏的取值
为3）
例3：如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、0.3
米0.2米，A处有一只蚂蚁，它想吃到B处食物，你能帮蚂蚁设计一
条最短的线路吗？并求出最短的
例:4：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱
是多少。

例5：由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区
频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城××局测得沙尘暴中心在A城
的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向
移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
例6：请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满
足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2-b2c2=a4-b4，A
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B
∴c2=a2+b2，C
∴△ABC为直角三角形
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；
（2）错误的原因是：；
（3）本题正确的结论是：．
例7：:当n为自然数时，求证：以n2
n2
n2
+
=
c2+
n
=，b＝2n＋1，1
2
a2+
为三边的三角形是直角三角形．
【过手练习】
（一）填空题：
1、若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。

2、一个三角形的三边之比为13
:5，且周长为60cm，则它的面积
12
:
是2
cm。

3、如图（1），一只鸭子从边长为12的正方形水池一边中点A处游
处（即点B），则它的最短路程的平方为___________ 到水池一边的3
4
4、如图（2），为修通铁路需凿通隧道AC，测得∠=︒==，若每天凿隧道0.3km，则需___________ 天90,5,4
C AB km BC km
才能把隧道AC凿通
5、如图（3），长方体木盒的长6
BC cm
AB cm
=，高3
=，
BF cm
=，宽5
一只蜘蛛在D点，想吃掉F点的苍蝇，你认为最短路线的长是___________
6、如图（4），有一个长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体铁盒，铁盒内能放入的最长的木棒可为___________ cm
（二）解答题：
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？【拓展训练】
1、为筹备迎春晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸.如图,已知圆筒高为108cm,其截面
周长为36cm,如果在表面缠绕油纸4圈,最少应裁剪
多长油纸？(油纸宽度忽略不计)
2、如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，
高为3cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．
3、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且30
QPN
∠=︒，点A 处有一所中学，AP160m
=。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为km h，那么学校受影响的时间为多少秒？
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4、某工厂的大门如图，其中四边形ABCD是长方形，上部是以CD 为直径的半圆，其中AD=2.3米，AB=2米，现有一辆装满货物的卡
车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？请说明理由.
5、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
【课后作业】
（一）填空题：
1、直角三角形三边长分别为3，4，x，则x=_______．
2、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端
点A到达A1，
，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为________．若圆柱底面半径为6
π
3、如图，一人在A处放牛，家在B处，A、B两处与河岸的距离AC、BD的长分别是500m和700 m，CD =900m。

若他天黑前从A处将牛牵到河边去喝水，再牵回家，那么至少要走___________m.
（二）选择题：
1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是( )
A.48 cm
B.4.8 cm
C.0.48 cm
D.5 cm
2、若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a-b）·（a2+b2-c2）=0，则△ABC是（）．
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
3、如图,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,
要爬行的最短路程大约是( )
A.20cm
B.10cm
C.14cm
D.无法确定
4、折叠长方形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边的D ’ 处，AE
是折痕，已知AB=8cm ，CD ′= 4cm ，则AD 的长为 ( )
A.6cm
B. 8cm
C. 10cm
D.
12cm
5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边
长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ）
A ．14cm
B ．4cm
C ．15cm
D ．3cm
（三）解答题：
1、在ABC ∆中，6,8,10BC CA AB ===，点P
为三条内角平分线的交点，则点P 到各边的距离为多少？
2、在等腰Rt ⊿ABC 中，∠BAC=900，P 为⊿ABC 内一点，PA 为1，
PB 为3，PC=7，
求∠CPA 的大小。

3、 如图，有一圆柱，高15cm ，底面圆周长为10cm ，在圆柱下底
面有一点A ，它到离上底面3cm 处的点B 的最短路线的长是多少？
4、如图，小明家一个标有刻度的圆柱形玻璃容器，高为18cm ，底面
A B A
B C D
D ′ E
周长为60cm。

一天，小明看到一只蚂蚁在一侧距下底1cm的A处，与点A正对的圆柱形容器外侧距下底面17cm的B处有一饭粒，试着求出蚂蚁爬到B处所走最短路线长。

5、如图所示，一只蜘蛛从长方体的一个端点A爬到另一个端点D,已知长方体的长、宽、高分别是AB=8cm ,BC=7cm ,CD= 8cm ,求这个蜘蛛爬行的最短距离。

6、如图如果点C在SA上且SC＝6cm，A处有一只蜗牛想要吃到C 处食物，但它不能直接爬到C处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行最短路程吗？，若SA＝8cm，侧面展开图的夹角为90°，试求最短路径长。