三角函数对称性问题的一种简捷解法

三角函数对称性问题的一种简捷解法
三角函数对称性问题,是近年来高考考察比较多的一类题目,但均为小题或中低档题目。

若按对称性的定义来解,比较麻烦,甚至会出现运算上的错误。

现结合三角函数的图象特征,给出一种快速、简捷且准确性较高的方法。

定理若x=x0是函数y=Asin(ω+φ)+k,x∈R的一条对称轴,则一定有sin(ωx0+φ)=±1;若点P(x0, k)是函数的一个对称中心,则一定有sin(ωx0+φ)=0.(证明从略)
注:上述结论对于函数y=Acos(ωx+φ)+k, x∈R也适用;当y=Atan(ωx+φ)+k时,只有对称中心,无对称轴,将x=x0代入得tan(ωx0+φ)=0或无意义.
例1 (09年天津.文)已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是()
A.π2
B.3π8
C. π4
D. π8
解:由已知,周期为π=2πω,得ω=2,即f(x)=sin(2x+π4)(x ∈R)向左平移|φ|个单位得g(x)=sin[2(x+φ)+π4 ∵其图象关于y轴对称∴将x=0代入sin[2(x+φ)+π4]得
sin(2φ+π4)=±1,∴2φ+π4=kπ+π2,k∈Z
∴φ=kπ2+π8,k∈Z令k=0,得φ=π8故选答案D.
评析:此题若用偶函数定义来解运算比较复杂.
例2 (05年全国I.理)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.求f(π8)的值.
解:原函数可化为f(x)=2sin(ωx+φ-π6,由题意得周期T=π,∴ω=2即f(x)=2sin(2x+φ-π6 ∵f(x)为偶函数∴将x=0, 代入sin(2x+φ-π6)得sin(φ-π6)=±1,∴φ-π6=kπ+π2,k∈Z ∴φ=kπ+2π3,k∈Z ∵00)个单位,所得图象关于直线x=π12对称,求φ的最小值. 答案:φ=π4.。