九年级数学上册期末试卷专题练习(解析版)

九年级数学上册期末试卷专题练习（解析版）
一、选择题
1．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
2．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若
26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）
A ．30
B ．42︒
C ．46︒
D ．52︒
3．二次函数2
2y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x <
B ．2x >
C ．0x <
D ．0x >
4．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．
19
B ．
13
C ．
12
D ．
23
5．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和
D 、
E 、
F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4 6．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．2x ﹣3＝x
B ．2x +3y ＝5
C ．2x ﹣x 2＝1
D ．1
7x x
+
= 8．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区
域的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
19
9．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x
…
1
3
4 …
y … 2 4 2 ﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x=﹣1时y ＞0
D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间
10．“一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1
x
﹣2实数根的情况是 （ ） A ．有三个实数根
B ．有两个实数根
C ．有一个实数根
D ．无实数根
11．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）
A ．
32
B ．3
C ．
32
3D 312．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
二、填空题
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
14．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2
(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则
1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）
15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．
16．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
17．把抛物线2
2(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________．
18．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ． 19．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两
点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).
20．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝_____．
21．已知点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上，其中k ≠0，若y 1＞y 2，则x 1的取值范围为_____．
22．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A ⇒B ⇒A 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t ＜3），连接EF ，当t 为_____s 时，△BEF 是直角三角形．
24．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．
三、解答题
25．（1）解方程：234x x -=；（2）计算：2tan 60sin 452cos30︒+︒-︒
26．（1）计算：()2
12cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭
（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.
27．5G 网络比4G 网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G 产品充满期待.华为集团计划2020年元月开始销售一款5G 产品.根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第x 个月（x 为正整数）销售价格为y 元/台，y 与x 满足如图所示的一次函数关系：且第x 个月的销售数量p （万台）与x 的关系为1p x =+.
（1）该产品第6个月每台销售价格为______元；
（2）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？
（3）若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元，则预计销售部符合销售要求的是哪几个月？
（4）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m 元推广费用，当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，求m 的值.
28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：直线DF 与⊙O 相切； （2）求证：BF ＝EF ；
29．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
30．已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值. 31．如图，点C在以AB为直径的圆上，D在线段AB的延长线上，且CA=CD，BC=BD．（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若AB=8，求图中阴影部分的面积．
32．如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，
DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】
解：∵y ＝2(x －1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x 2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y ＝2(x －1)2＋3 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解. 【详解】 连接CO ， ∵26ADC ∠=︒ ∴∠AOC=252ADC ∠=︒ ∵//OA BC ∴∠OCB=∠AOC=52︒ ∵OC=BO ， ∴
B =∠OCB=52︒
故选D.
【点睛】
此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x 的取值范围. 【详解】
222(1)1y x x x =-+=--+，
∵图像的对称轴为x=1，a=-10
<，
∴当x1
<时，y随着x的增大而增大，
故选：C.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，当a0a0
<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 4．B
解析：B
【解析】
【分析】
让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】
解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是31 93 =．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】
解：∵////
a b c
∴AB DE
BC EF
=即
1.5 1.8
2EF
=
解得：EF=2.4
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点．故选B．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】
A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意；
B 、方程2x +3y ＝5是二元一次方程，不符合题意；
C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意；
D 、方程x +
1
x
＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比． 【详解】
解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°， 设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()
22
14
2a a ππ=
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据表中的对应值，求出二次函数2
y ax bx c =++的表达式即可求解． 【详解】
解：选取02（，），14（，），32（，）
三点分别代入2
y ax bx c =++得
24932c a b c a b c =⎧
⎪
+
+=
⎨⎪++=⎩
解得：132a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为232y x x =-++ ∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误； ∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；
当x=－1时，2
(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；
令0y =，得2320x x -++=，解得：1317x +=，2317
x -= ∵317
10--＜
＜，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．
10．C
解析：C 【解析】 试题分析：由
得
，
，即是判断函数
与函数
的图象的交点情况.
因为函数与函数
的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
11．D 解析：
D
【解析】
【分析】
根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.
【详解】
解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON
∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，
∴∠AMO=90°，∠APO=90°，
∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，
∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，
∴∠OMN=∠ONM=30°，
∵∠BNO=90°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABO=30°，
在△APO 和△BPO 中，
OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△APO ≌△BPO （AAS ），
∴AP=12
AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP =3， ∴OP=3，即半径为3.
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P 是AB 中点，难度不大.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 二、填空题
13．14
【解析】
【分析】
先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】
解：x2﹣6x+8＝0，
(x ﹣2)(x ﹣4)＝0，
x ﹣2＝0，x ﹣4＝0
解析：14
【解析】
【分析】
先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】
解：x 2﹣6x+8＝0，
(x ﹣2)(x ﹣4)＝0，
x ﹣2＝0，x ﹣4＝0，
x 1＝2，x 2＝4，
当x ＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x ＝2舍去，
当x ＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．
14．【解析】
抛物线的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .
故答案为>
解析：12y y >
【解析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .
故答案为> 15．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD ⊥BC ，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt △OBD 中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=1
2
BC=3，
∵OB=1
2
AB=5，
∴在Rt△OBD中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
16．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
解析：5 8
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5
个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55 538
= +
故答案为: 5
8
．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m
n
．
17．【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移规律平移即可．
【详解】
抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函
数表达式是
即
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函
解析：22(1)2y x =+-
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移规律平移即可．
【详解】
抛物线2
2(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是 22(12)13y x =-++-
即22(1)2y x =+-
故答案为：22(1)2y x =+-．
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 18．4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】
解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积
解析：4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】
解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2， 根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2405
S l r π=
==8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
可得822l r πππ
=
==4cm ． 故答案为：4．
【点睛】 本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
19．>
【解析】
【分析】
利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，
∴点，都在对称轴右侧的抛物线
解析：>
【解析】
【分析】
利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，
∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，
∴1y ＞2y ．
故答案为＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．
20．【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG ：DG ＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE ，即可求出结论．
【详解】
∵点G 为△ABC 的重心，
∴AG：DG ＝2：1，
∵GE
解析：【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得CE
DE
＝
AG
DG
＝2，从而求出CE，即可求出结论．【详解】
∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴CE
DE
＝
AG
DG
＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．
21．x1＞2或x1＜0．
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后
y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】
解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2
解析：x1＞2或x1＜0．
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】
解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）
＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，
∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，
∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，
y2＝﹣2k﹣k2，
∵y1＞y2，
∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，
∴（x1﹣1）2＞1，
∴x1＞2或x1＜0．
故答案为：x1＞2或x1＜0．
【点睛】
此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键．
22．10
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则OA
解析：
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO
=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解题关键．
23．1或1.75或2.25s
【解析】
试题分析：∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠C=90°．
∵∠ABC=60°,
∴∠A=30°．
又BC=3cm,
∴AB=6cm．
则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到
解析：1或1.75或2.25s
【解析】
试题分析：∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°．
∵∠ABC=60°,
∴∠A=30°．
又BC=3cm,
∴AB=6cm．
则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．
若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;
当∠BEF=90°时,则BE=BF=3
4
,此时点E走过的路程是
21
4
或
27
4
,则运动时间是
7
4
s或
9
4
s．
故答案是t=1或7
4
或
9
4
．
考点：圆周角定理．
24．﹣≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，
∴函数的对称轴为x＝﹣，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最
解析：﹣1
3
≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+1
3
）2﹣
1
3
，
∴函数的对称轴为x＝﹣1
3
，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣1
3
，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣1
3
≤y≤1，
故答案为﹣
13
≤y ≤1． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三、解答题
25．（1）x 1=-1，x 2=4；（2）原式=
12 【解析】
【分析】
（1）按十字相乘的一般步骤，求方程的解即可；
（2）把函数值直接代入，求出结果
【详解】
解：（1）234x x -=
(x+1)(x-4)=0
∴x 1=-1，x 2=4；
（2）原式2=12
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
26．（1）6；（2）1m =.
【解析】
【分析】
（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.
（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.
【详解】
解：（1）()2
012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412
=⨯++ 6=；
（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，
∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,
∴m=1.
【点睛】
本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.
27．（1）4500元；（2）7，4000；（3）4、5、6、7、8、9、10；（4）
90007
. 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将(2,6500),(4,5500)代入y=kx+b 求k,b 确定表达式，求当x=6时的y 值即可；
（2）求销售额w 与x 之间的函数关系式，利用二次函数的最大值问题求解；
（3）分三种情况讨论假设6月份，7月份，8月份的最大销售为22500万元时，求相应的m 值，再分别求出此时另外两月的总利润，通过比较作出判断.
【详解】
设y=kx+b,根据图象将(2,6500),(4,5500)代入得， 26500
45500
k b k b ， 解得，5007500k b ，
∴y= -500x+7500，
当x=6时，y= -500×6+7500=4500元；
（2）设销售额为z 元，
z=yp=( -500x+7500 )(x+1)= -500x 2+7000x+7500= -500(x-7)2+32000,
∵z 与x 成二次函数，a= -500<0,开口向下，
∴当x=7时，z 有最大值，
当x=7时，y=-500×7+7500=4000元.
答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台.
（3）z 与x 的图象如图的抛物线
当y=27500时，-500(x-7)2+32000=27500，
解得，x 1=10，x 2=4
∴预计销售部符合销售要求的是4,5,6,7,8,9,10月份.
（4）设总利润为W= -500x 2+7000x+7500-m(x+1)= -500x 2+(7000-m)x+7500-m,
第一种情况：当x=6时，-500×62+(7000-m) ×6+7500-m=22500，
解得，m=90007
, 此时7月份的总利润为-500×72+(7000-
90007) ×7+7500-90007≈17714<22500, 此时8月份的总利润为-500×82+(7000-
90007) ×8+7500-90007≈19929<22500, ∴当m=90007
时，6月份利润最大，且最大值为22500万元. 第二种情况：当x=7时，-500×72+(7000-m) ×7+7500-m=22500，
解得，m=1187.5 ,
此时6月份的总利润为-500×62+(7000-1187.5) ×6+7500-1187.5=23187.5>22500,
∴当m=1187.5不符合题意，此种情况不存在.
第三种情况：当x=8时，-500×82+(7000-m) ×8+7500-m=22500，
解得，m=1000 ,
此时7月份的总利润为-500×72+(7000-1000) ×7+7500-1000=24000>22500,
∴当m=1000不符合题意，此种情况不存在.
∴当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，此时m=
90007
. 【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，最大利润问题，利用二次函数的最值性质是解决实际问题的重要途径.
28．见解析
【解析】
分析：
（1）连接OD ，由已知易得∠B=∠C ，∠C=∠ODC ，从而可得∠B=∠ODC ，由此可得AB ∥OD ，结合DF ⊥AB 即可得到OD ⊥DF ，从而可得DF 与⊙O 相切；
（2）连接AD ，由已知易得BD=CD ，∠BAD=∠CAD ，由此可得DE=DC ，从而可得DE=BD ，结合DF ⊥AB 即可得到BF=EF.
详解：
（1）连结OD ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵OC=OD ，
∴∠ODC=∠C ，
∴∠ODC=∠B ，
∴OD ∥AB ，
∵DF ⊥AB ，
∴DF ⊥OD ，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）连接AD．
∵AC是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，
∴DE=DC，
∴DE=DB，又DF⊥AB，
∴BF=EF．
点睛：（1）连接OD，结合已知条件证得OD∥AB是解答第1小题的关键；（2）连接AD 结合已知条件和等腰三角形的性质证得DE=DC=BD是解答第2小题的关键.
29．（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q 坐标为：(﹣2，2)或(﹣515或(﹣155)或(2，﹣2)．
【解析】
【分析】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知
PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．
【详解】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得
420
2
a b c
c
a b c
-+=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪++=
⎩
，
解得：
1
1
2 a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，
∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝1
2 MD•OA
＝1
2
×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m
＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，
∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，
即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+5，x2＝﹣1﹣5，
∴Q（﹣1+5，1﹣5）或（﹣1﹣5，1+5），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，
∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，
∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣515155
（2，﹣2）．
【点睛】
本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键．
30．1，-2
【解析】
【分析】
把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.
【详解】
【点睛】
考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.
31．（1）见解析；（2）
8 83
3
π
-
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出∠A=∠D=∠BCD，∠ACO=∠A，得出∠ACO=∠BCD，证出∠DCO=90°，则CD⊥OC，即可得出结论；
（2）证明OB=OC=BC，得出∠BOC=60°，∠D=30°，由直角三角形的性质得出
CD=3OC=43，图中阴影部分的面积=△OCD的面积-扇形OBC的面积，代入数据计算即可．
【详解】
证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵CA=CD，BC=BD，
∴∠A=∠D=∠BCD，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCD ，
∴∠BCD+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴CD ⊥OC ，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴CD 与⊙O 相切；
（2）解：∵AB=8，
∴OC=OB=4，
由（1）得：∠A=∠D=∠BCD ，
∴∠OBC=∠BCD+∠D=2∠D ，
∵∠BOC=2∠A ，
∴∠BOC=∠OBC ，
∴OC=BC ，
∵OB=OC ，
∴OB=OC=BC ，
∴∠BOC=60°，
∵∠OCD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴，
∴图中阴影部分的面积=△OCD 的面积-扇形OBC 的面积=122
604360⨯π83
π． 【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
32．（1）见解析；（2【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据三角形的内角和得到90EDC ECD ∠+∠︒＝，根据等腰三角形的性质得到A ACO ∠∠＝，得到90OCD ∠︒＝，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到1=
22
OC OB AB ＝＝，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】
（1）证明：连接OC ，
∵DE AE ⊥，
∴90E ∠︒＝，
∴90EDC ECD ∠+∠︒＝，
∵A CDE ∠∠＝，
∴90A DCE ∠+∠︒＝，
∵OC OA ＝，
∴A ACO ∠∠＝，
∴90ACO DCE ∠+∠︒＝，
∴90OCD ∠︒＝，
∴OC CD ⊥
∵点C 在
O 上， ∴CD 是O 的切线
（2）解：∵43AB BD ＝，＝ ，
∴1=
22
OC OB AB ＝＝， ∴235OD +＝＝， ∴ 2221CD OD OC =-=
【点睛】
本题主要考查切线的判定以及圆和勾股定理，根据题意准确作出辅助线是求解本题的关键.。