江苏省镇江市高三数学期中统一考试卷 新课标 人教版

江苏省镇江市高三数学期中统一考试卷 新课标 人教版
命题人：黄厚忠 陈慧荣 吴鹤群
2006.11.9
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将每题答案前的字母填在题后的（ ）中）
1．设全集U={
}5,4,3,2,1，A={}5,3,1 ,B={}5,4,2,则())(B C A C U U ⋂等于 …………………………………………………………..（ ）
A ．Φ B.{}4 C.{
}5,1 D.{}5,2 2．命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是………………………………..（ ）
A.若a b <，则88a b -<-
B.若88a b ->-，则a b >
C.若a ≤b ，则88a b -≤-
D.若88a b -≤-，则a ≤b 3．已知向量a =1,b =2,b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为 ……………………..（ ）
（A ）4π （B ）3
π （C ）32π （D ）65π 4．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 1等于 …………（ ）
（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－10
5．不等式02
1>+-x x 的解集是………………………………………………………….（ ） A ．{x ︱x ＞1}
B ．{}2-<x x
C ．{}12<<-x x
D ．{}12>-<x x x 或
6.函数2322)(+-=x x x f 的单调递增区间为……………………………………………（ ） A ．)2
3
,(-∞ B. ),1(+∞ C.(2,∞-) D.(+∞,23 ) 7．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝｛1,2｝，则A ∩B 等于……….（ ）
（A ）Φ （B ）｛1｝ （C ）Φ或｛2｝ （D ）Φ或｛1｝
8．曲线)4
cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于 ………………………………………………..（ ） （A ）π （B ）2π
（C ）3π （D ）4π
9．方程3lg =+x x 的根0x 所在的区间为……………………………………………（ ）
A ．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
10．某商场宣传在“十一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款
A ．608元
B ．574.1元
C ．582.6元
D ．456.8元
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11． 在等差数列{}n a 中，652=+a a ，则该数列前6项和=6S
12．已知函数)(x f =lg （)12+x ,()0>x ,则)1(1-f =
13．已知偶函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，0)1(=f ，则不等式0)(<x xf 的解
为 ．
14．把一个函数图像按向量)2,3(-=πa 平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(-+=π
x y ，
则原函数的解析式为____________.
15．设有两个命题：①关于x 的不等式012>++mx x 的解集是R ，②函数()log m f x x =
是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是 16．若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N ．如：因为2141197,19717+=++=，所以(14)17f =．记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，……，1()(())k k f n f f n +=，k *∈N ，则
2006(8)=f
三、解答题 17．（本题满分12分）
已知函数x x x x x f cos sin 4sin 3cos 35)(22-+=.
（1）求)(x f 的最小值及相应的x 值；
（2）求)(x f 的单调递增区间.
18．（本题满分12分） 已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +
--=-=-=．
（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；
（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．
19．（本题满分14分） 为了提高产品的年产量,某企业拟在2006年进行技术改革.经调查
测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元
（1
3)0+-=≥m k x m 满足（k 为常数）.如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件。

已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2006年该产品的利润y 万元(利润=销售金额—生产成本—技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；
（2）该企业2006年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
20．（本题满分16分） 数列{n a }的前n 项和n S 满足：*23()n n S a n n N =-∈
．
(1) 证明:数列{n a +3}是等比数列;
（2）求数列{n a }的通项公式n a ；
（3）数列{n a }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分16分）已知函数：x a a x x f -+-=1)( （a 为常数）．
（1） 当f (x )的定义域为[a +2
1,a +1]时，求函数f (x )的值域； （2）试问：是否存在常数m 使得f (x )+f (m －x )+2=0对定义域内的所有x 都成立；若有
求出m ，若没有请说明理由。

（3）如果一个函数的定义域与值域相等，那么称这个函数为“自对应函数”。

若函数
)(x f 在[]t s , ()t s a <<上为“自对应函数”时，求实数a 的范围。

[参考答案]
一、选择题
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D
B C D D D A C C
二、填空题 11．18 12．3 13．)1,0()1,(⋃--∞ 14．cos x y=
15．(][)2,10,2⋃- 16．5
三、解答题
17．解：（1）)62cos(433)(π
++=x x f …………………………………………4分
时当πππ
+=+∴k x 262，433)(,1)62cos(min -=-=+x f x π
………..6分
此时12
5ππ+
=k x ()Z k ∈，……………………………………………… 8分 （2）由12
11125,22622πππππππππ+≤≤++≤+≤+k x k k x k 得 …………10分 )(x f ∴的单调增区间的].1211,125[ππππ++k k ()Z k ∈…………………….12分 18．解（1）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=
若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，……………………………….. 2分 ),1,2(),1,3(m m AC AB --== 故知m m -≠-2)1(3．……………………….5分 ∴实数2
1≠m 时，满足条件．……………………………………………………….6分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AC AB ⊥，…………………..9分 ∴3(2)(1)0m m -+-=，解得4
7=m ．……………………………………………12分 19．解（1）由题意可知当,123,231),
(1,0+-=∴=⇒-=∴==m x k k x m 万件时..2分 每件产品的销售价格为)(1685.1元x
x +⨯ ∴2006年的利润()m x x x x y -+-⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⨯⋅=1681685.1………………………….6分
)0(29)]1(116[
≥++++-=m m m ．………………………..8分
（2）8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 ，…………………………………..10分 21829=-≤∴y ………….………………………………………………11分 此时11
16+=+m m ，即m=3时，y 的最大值为21……………………13分 答：（略）…………………………………………………………………………14分
20．解 （1）当*n N ∈时有：),1(32,3211+-=∴-=++n a S n a S n n n n ……………..1分
两式相减得：111223,23n n n n n a a a a a +++=--∴=+，……………………….3分 ∴132(3)n n a a ++=+，………………………………………………………………..5分 ∴数列{3+n a }是首项6，公比为2的等比数列．…………………………………6分
（2）又11123a S a ==-，∴ 113,360a a =+=≠．
从而1362n n a -+=⋅，∴323-⋅=n n a ………………………………………10分
（3）显然数列{}n a 为递增数列
假设数列{n a }中存在三项)(,,,t s r a a a t s r <<，构成等差数列，
则∴<<,t s r a a a s t r a a a 2=+，……………………………………..11分 )323(2)323()323(-⋅=-⋅+-⋅∴s t r ，…………………………………….12分 即12
22+=+s t r ．……………………………………………………………….13分 ∴1122.(*)t r s r -+-+=…………………………………………………………..14分
,r s t r <<、s 、t 均为正整数，
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立.
因此数列{n a }中不存在可以构成等差数列的三项．………………………………………………………………………………………..16分
21．解．（1）法一：x a x a x a x f -+-=-+--=
111)()(…………………………….2分 当112a x a +≤≤+时，112
a x a --≤-≤--， 121a x -≤≤--，112
a x -≤-≤-， ∴2113-≤-+
-≤-x
a ．……………………………………….4分 即]2,3[)(--值域为x f ．…………………………………………….5分 法二：x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(在[a +2
1,a +1]上为增函数。

..2分 ∴)1()()2
1(+≤≤+a f x f a f ……………………………………..4分 ]2,3[)(--值域为x f ………………………………………………...5分 （2）法一：假设存在m 使得f (x )+f (m －x )+2=0成立
则 =+-+2)()(x m f x f -1+
2)(111+--+-+-x m a x a ……….7分 =)
)((2a m x x a m a +---=0恒成立…………………………………..….8分 ∴ m=2a
∴ 存在常数m=2a 满足题意……………………………………10分
法二：因为函数x
y 1-=图象的对称中心为（0，0），函数x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(的图象由x
y 1-=的图象按向量()1,-a 平移得到。

………………………………………………………………………………………..…6分 所以函数x
a x a x a x f -+-=-+--=111)()(的对称中心为()1,-a …………7分 则有)(x f y =得：)2(2x a f y -=--………………………………8分
所以)2()(2x a f x f -=--
02)2()(=+-+x a f x f ………………………………………………9分
存在常数a m 2=满足题意……………………………………………10分
（3）因为函数f （x ）在()+∞,a 上为增函数，又[]()+∞⊆,,a t s
∴ f （x ）在 []t s ,上为增函数，f （x ）的值域为[])(),(t f s f
∴又函数f （x ）在[]t s ,上为“自对应函数”，
[]t s ,=[])(),(t f s f …………………………………………………………..11分 所以t t f s s f ==)(,)(……………………………………………………………12分 所以：f （x ）=x 有两个大于a 的相异实根
即： 01)1(2
=-+-+a x a x 有两个大于a 的相异实根………………………13分 所以0)1(4)1(2>---=∆a a （1） a a >-2
1 （2） 01)1(2>-+-+a a a a （3）………………………………………15分 解得：3-<a ………………………………………………………………….16分。