课时3153_2.2 基本不等式(第一课时)-2.1等式性质与不等式性质(第一课时)教学设计

2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)
一、教学目标
1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的
不等关系；
2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；
3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.
二、教学重难点
1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；
2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.
三、教学过程
1.用不等式（组）表示不等关系
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).
问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？
（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
【预设的答案】0 ＜v ≤40;{
f≥ 2.5
p≥ 2.3%
;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b
＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.
【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?
【活动预设】
（1）第一步：审题找出题中数量关系；
（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.
【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.
问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小关系吗？
【活动预设】
（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；
（2）总结：实数大小的基本事实.
教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对.比较大小常用方法: 作差比较法由于(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.
1.2探究典例，理性分析
典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？
[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值?
【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.
【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.
典例2：已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小？
【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.
【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.
教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
1.3具体感知，加强练习
活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.
注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.
【活动要求】
第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；
第二组相应排学生找出图案中的相等关系；
第三组相应排学生找出图案中的不等关系.
【活动预设】得出当a>0,b>0时，a2+b2≥2ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.
【设计意图】
在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.
2.初步应用，理解概念
例1 比较大小：(x−1)(x−2)与(x−2)的大小关系；
【预设的答案】(x−1)(x−2)≥(x−2)
【设计意图】
进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.
例2 已知a>0,b>0,试比较
√b +
√a
与√a+√b的大小；
【预设的答案】
√b +
√a
≥√a+√b
【设计意图】
（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；
（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.
例3 已知a=√7−√6,b=√6−√5,则下列关系正确的是（）
A. a>b
B. a≤b
C. a≥b
D. a<b 【预设的答案】D
【设计意图】
在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.
例4 已知a>b , 证明：a>a+b
2
>b
【预设的答案】∵a−a+b
2=a−b
2
,a−b>0∴a−a−b
2
>0 即a>a+b
2
∵a+b
2−b=a−b
2
,a−b>0∴a−b
2
−b>0 即a+b
2
>b
综上，a>a+b
2
>b
【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式
3.归纳小结
实际问题⇒不等关系⇒不等式⇒不等式性质
数学抽象两个实数大小
关系的基本事实
(作差法)
思考：对于N
a
log，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？
【设计意图】
（1）梳理本节课对于对数的认知；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .
四、课外作业
高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习。