培优课2数列的求和问题课件高二下学期数学北师大版选择性

则由 22-a3=4得(a1+d)2-(a1+2d)=4,将a1=1代入,解得d=2或d=-2,
因为Sn>0,所以d=2,所以an=2n-1.
选条件②:设等差数列{an}的公差为d,

1
则 =a1+ (n-1)d,

2

由数列
的前 3

项和为 6 及 a1=1 得
3
3+ d=6,解得
2
选条件③:设等差数列{an}的公差为d,
-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
可得

1-(-2)
3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=
-n×(-2)n.
3
所以
1
(3+1)(-2)
Sn= −
.
9
9
规律方法
1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列
(2)因为 an>0,所以
2+1
an=
-1,
3
所以 bn=log2(3an+3)=n+1,
1
所以
+1
=
1
(+1)(+2)
1
所以数列{
}的前
+1

.
2(+2)
=
n
1
1
−
,
+1
+2
1
1
1
1
1
1
1
1
项和为( − )+( − )+…+(
−
)= −
2
3
3
4
+1
+2 2
+2


的前3项和为6,③an>0且
a1,a2,a4+2成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.
已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=1,
(1)求an;
(2)设 bn=
+1
2 (
2
+3)
,求数列{bn}的前n项和Tn.
.
解 (1)选条件①:设等差数列{an}的公差为d,
3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②
①-②,得
-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n
=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n
3-3
=3+2× -(2n+1)3n
1-3
=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.
解析 an=
1
+1+
1
+1+
,数列{an}的前n项和Sn=9,则n=
99
= + 1 − ,
故 Sn= 2-1+ 3 − 2+…+ + 1 − = + 1-1=9.解得 n=99.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
.
-1,为奇数,
+ 2,为奇数,
3 ,为偶数,
T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)
=[3+5+7+…+(2n+1)]+32+34+…+32n
(2+4)
9(1-9 )
= 2 +
1-9
9(9 -1)
=n(n+2)+
.
8
探究点二
裂项相消法求和
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数列.
=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)
=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)
2×(2 -1)
(1+)
=
+
2
2-1
1 2 1
n+1
=2 -2+ n + n.
2
2
规律方法
1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等
比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,
即2a1=a1q+a1q2.
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.
故{an}的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,
,为奇数,
2.若数列{cn}的通项公式为cn=
其中数列{an},{bn}是等比数列
,为偶数,
或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
变式训练1已知在等差数列{an}中,Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+).
(1)求an;
+ 2,为奇数,
(2)设 bn=
求{bn}的前 2n 项和 T2n.
7. [探究点二]已知数列 + 1 是等比数列,a1=1且a2,a3+2,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
+1 -
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
+1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解 (1)设数列 + 1 的公比为q,
1
Tn=b1+b2+…+bn= [1- 2
4
2
1
=
1 1
[
4 2
1
−
1
(+1)
1
+ 2 − 2 +…+ 2

2
3
2 ],
1
1
2 +2
−
2 ]=4[12 ]=
2.
(+1)
(+1)
4(+1)
1
探究点三
错位相减法求和
【例3】 设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(1)求数列{an}的通项公式;
1
(2)若an>0,设bn=log2(3an+3),求数列{ } 的前n项和.
+1
解 (1)设等比数列{an+1}的公比为q,其前n项和为Tn,
因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20,
易知 q≠1,所以
(1 +1)(1-2 )
T2=
=4,①
3. [探究点二](多选题) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且
2
1
C.-1
D.2
1
1
+ 2 +…+2 <λ
2

恒成立,则λ的值不可能是( BC )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
4.[探究点二]设 an=
2. [探究点二]已知正项数列{an}满足 a1=1,(
1
满足

A.1
=
1
+1
B.2
+
1
,记{b
n}的前

C.3
1
+1
+
1
1
)(
+1
−
1
)=4,数列{bn}

n 项和为 Tn,则 T20 的值为( B )
D.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0),
1 + 1 · = 6,
1 = 2,
则
解得
2
3
= 2,
1 · + 1 · = 24,
∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n.
(2)bn=log22n=n,设{an+bn}的前n项和为Sn,
则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)
b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.
(1)求数列{anbn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
解 (1)∵an=3n-1,
∴a1=1,a2=3,a3=9.
∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,
∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,
两式相减得-2Sn=-3×31+32+33+34+…+3n-(n-4)×3n+1,
所以-2Sn=-12+(3+32+33+34+…+3n)-(n-4)×3n+1
+1
3-3+1
-27
n+1 (9-2)×3
=-12+
-(n-4)×3 =
,
2
1-3
所以
(2-9)·3+1 +27
Sn=
.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
∴Tn=n·3n,n∈N+.
学以致用·随堂检测促达标
A级
必备知识基础练

1.已知数列{an}的通项公式an=log3 + 1 ,设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立
的最小正整数n等于(C
)
A.83 B.82 C.81 D.80
解析

由题意可得an=log3 + 1=log3n-log3(n+1),
.
6. [探究点三]已知在等差数列{an}中,a4=0,a1+a2=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若cn=3nan,求数列{cn}的前n项和Sn.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 + 3 = 0,
= -3,
解 (1)设{an}的公差为 d,由已知得
解得 1
21 + = -5,
= 1,
所以{an}的通项公式为 an=n-4.
(2)因为cn=(n-4)3n,
所以Sn=-3×31+(-2)×32+(-1)×33+…+(n-5)×3n-1+(n-4)×3n,
所以3Sn=-3×32+(-2)×33+(-1)×34+…+(n-5)×3n+(n-4)×3n+1,
=
规律方法 把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,
从而达到求和的目的.
常见的拆项公式:
1
(1)
(+1)
1

= −
1
(2)
(2-1)(2+1)
(3)
1
+ +1
1
;
+1
=
1
1
(
2 2-1
−
1
);
2+1
= + 1 − .
变式训练2在①Sn>0, 22
-a3=4,②数列
∵a1+1=2,
2 + 1 = 2,
2 = 2-1,
∴ 3 + 1 = 2 2 , ∴ 3 = 2 2 -1,
4 + 1 = 2 3 ,
4 = 2 3 -1.
∵2(a3+2)=a2+a4,∴2(2q2+1)=2q-1+2q3-1,
{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.
2.用错位相减法求和时要注意:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下
一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.
变式训练3已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且
5.[探究点一]已知数列 an=
其前 n 项和为 Sn,则 S100= 5 000
,为偶数,
解析 由题意得
S100=a1+a2+…+a99+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
=(0+2+4+…+98)+(2+4+6+…+100)=100×50=5 000.
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必修第二册
目录索引
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
重难探究·能力素养速提升
探究点一
分组法求和
【例1】 已知在正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和.
3 ,为偶数,
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,∵Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+),
所以Sn+2-Sn=an+1+an+2=2n+3,
可得an+2+an+3=2n+5,
两式相减可得2d=2,所以d=1;
所以an+1+an+2=an+1+an+2=2n+3,
可得an=n.
(2)由(1)知 an=n,所以 bn=
则由a1,a2,a4+2成等比数列得(a1+d)2=a1(a1+3d+2),
将a1=1代入得d2-d-2=0,解得d=2或d=-1,
因为an>0,所以d=2,所以an=2n-1.
d=2,所以 an=2n-1.
(2)由(1)得 bn=
+1
2 (
所以
+3)
2
=