21.2.2 公式法 同步习题

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21．2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2
－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac 2a
，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．
2．式子__b 2－4ac___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋
c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．
知识点1：根的判别式
1．下列关于x 的方程有实数根的是( C )
A ．x 2－x ＋1＝0
B ．x 2＋x ＋1＝0
C ．(x －1)(x ＋2)＝0
D ．(x －1)2＋1＝0
2．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )
A ．b 2－4ac ＝0
B ．b 2－4ac ＞0
C ．b 2－4ac ＜0
D ．b 2－4ac ≥0
3．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)9x 2－6x ＋1＝0；
解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根
(2)8x 2＋4x ＝－3；
解：化为一般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根
(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.
解：化为一般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根
知识点2：用公式法解一元二次方程
5．方程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___．
6．一元二次方程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．
7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )
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A ．1－ 5
B .1－52
C ．－1＋ 5
D .－1＋52
8．用公式法解下列方程：
(1)x 2－3x －2＝0；
解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172
(2)8x 2－8x ＋1＝0；
解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24
(3)2x 2－2x ＝5.
解：x 1＝1＋112，x 2＝1－112
9．(2014·广东)关于x 的一元二次方程x 2
－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围为( B )
A ．m ＞94
B ．m ＜94
C ．m ＝94
D ．m ＜－94
10．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C )
A ．k ＞－1
B ．k ＜1且k ≠0
C ．k ≥－1且k ≠0
D ．k ＞－1且k ≠0
11．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．
12．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是__a ≥－5___．
13．用公式法解下列方程：
(1)x(2x －4)＝5－8x ；
解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142
(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.
解：y 1＝3＋33，y 2＝3－33
14．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）
时，求出方程x 2－2x －4＝0的根．
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解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 5
15．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)a ＝12，另一个根为x ＝－32
(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实
数根
16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根．
(1)求a 的最大整数值；
(2)当a 取最大整数值时，求出该方程的根．
解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2
－4×(a －6)×9≥0，解得a ≤709
且a ≠6，∴a 的最大整数值为7 (2)当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0.∵a ＝1，b ＝－8，c ＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x ＝－（－8）±282
＝4±7，即x 1＝4＋7，x
2＝4－7
17．(2014·株洲)已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分
别为△ABC 三边的长．
(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形 (2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形 (3)当a ＝b ＝c 时，可整理为2ax 2＋2ax ＝0，∴x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1。