江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试题

江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
2．若数组()2,1,3a =-和11,,2b x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
满足2a b =-，则实数x 等于（ ） A ．-3
B ．-2
C ．32
-
D ．12
-
3．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ） A ．4
B ．2
C ．-2
D ．-4
4．逻辑表达式A B +等于（ ） A ．A B +
B ．A B ⋅
C ．A B ⋅
D ．A B ⋅
5．已知()12n
x -的展开式中2x 的系数为40，则n 等于（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则
该双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2
D 7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A
B ．2:1
C ．1:
D ．1:2
8．下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
A ．14条
B ．12条
C ．9条
D ．7条
9．若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=- B ．0x = C ．6x π
=
D ．23
x π=
10．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足
()()240f a f b +-=则
12
1a b
++的最小值是（ ） A ．
23
B ．
43
C ．2
D ．4
二、填空题
11．下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 值是___________.
12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是___________. 13．已知5cos 213πθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，且,22ππθ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则()tan 9θπ-的值是_________. 14．以抛物线214y x =
的焦点为圆心，且与直线1
x y t ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩
(t 为参数）相切的圆的标准
方程是
____________.
15．已知函数()()2
212,64
2,40
x x f x x x +-≤<-⎧⎪=⎨+-≤≤⎪⎩，若其图像上存在互异的三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，使得3121
2
3
y
y y k x x x ===，则实数k 的取值范围是__________.
三、解答题
16．已知函数()()
2
3log 2x f x a x a =-+的定义域是R .
（1）求实数a 的取值范围; （2）解关于x 的不等式2414
2
1x x a
a -->
. 17．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，
()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过
定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上. (1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式.
18．已知关于x 的二次函数()2
4f x ax bx a =-+.
（1）若{}1,1,2,3a ∈-，{}0,1,2b ∈，求事件(){
A f x =在[)1,+∞上是增函数}的概率;
（2）若[]
1,2a ∈，[]0,2b ∈，求事件B =“方程()0f x =没有实数根”的概率. 19．已知向量()
2
23sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，设函数()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最大值;
（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，若
()0,f B b ==3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积.
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量
x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005
x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
21．已知数列{}n a 满足12a =，且()
*
1321n n a a n n N +=+-∈.
（1）求证：数列{}n a n +为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S .
22．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m 2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m 2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.
23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：3a
b ；
（2）若点9,1010M ⎛- ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，
M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.
①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.
参考答案
1．B 【分析】
根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】 因为{}1,2,3M
N =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；
若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．C 【分析】
数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等. 【详解】
因为()2,1,3a =-，11,,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 所以()22,1,2b x -=--. 由2a b =-，得23x -=，32
x =-. 故选：C. 3．C 【分析】
利用复数的运算性质，化简得出12z i =-. 【详解】
若复数z 满足()1i 3i z +=-，则
()()()()
3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---=
==-++-， 所以z 的虚部等于2-. 故选：C. 4．D 【分析】
从集合角度去理解逻辑表达式 【详解】
如图，A B +类似于()
C A B U ，则A B +类似于()()U U U C C A B A C B ⋃=⋂
故选：D. 5．A 【分析】
写出x 2项，进一步即可解出. 【详解】
()()2
22221n C x n n x -=-，所以()21405n n n -=⇒=.
故选：A. 6．D 【分析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率 【详解】
双曲线的渐近线为b y x a =±
，易知b
y x a
=与直线230x y -+=平行，
所以=2b e a ⇒==故选：D. 7．C 【分析】
根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解. 【详解】 根据题意作图，
设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l . 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有2cos 45r l ︒=，l =.
该圆锥的底面积与侧面积比值为
22
r rl ππ==. 故选：C. 8．B 【分析】
根据分步乘法计算原理即可求解. 【详解】
由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212⨯⨯=条路径. 故选：B 9．A 【分析】 由2T πω=
，可得2ω=，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得
51
()122
x k k Z ππ=
+∈，从而可得到本题答案. 【详解】 由题，得222T ππωπ===，所以()4sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
令2()3
2x k k Z π
π
π-
=
+∈，得51
()122
x k k Z ππ=
+∈， 所以()f x 的对称轴为51
()122
x k k Z ππ=+∈， 当1k =-时，12
x π
=-
，
所以函数()f x 的一条对称轴为12
x π
=-.
故选：A 10．B 【分析】
由奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，()()240f a f b +-=，可得24a b +=，即
2(1)6a b ++=，所以
12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭
，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】
解：因为()()240f a f b +-=，所以(2)(4)f a f b =--， 因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数， 所以(2)(4)(4)f a f b f b =--=-， 所以24a b =-，即24a b +=， 所以226a b ++=，即2(1)6a b ++=，
所以
1211
2[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭
14(1)2261b a a b +⎡⎤=
+++⎢⎥+⎣⎦ 14(1)461b a a b +⎡⎤
=
++⎢⎥+⎣⎦
1144(44)66
3⎡⎤≥
=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当
4(1)1b a a b +=+，即1
,32
a b ==时取等号， 所以
121a b ++的最小值是43
. 故选：B 11．2
【分析】
程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果. 【详解】
初始值：0S =，1n =
当1n =时，3
3
111
014228
S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进入循环；
当13122n =+=时，33
11319428228S S n ⎛
⎫⎛⎫=+-=+-=< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，进入循环；
当31222n =+=时，3
3
1919242822S S n ⎛
⎫⎛⎫=+-=+-=> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，终止循环，输出n 的值为2.
故答案为：2. 12．4 【分析】
根据三数成等差数列列等式，再将2a ，3a 用含1a 和q 的式子表示，代入等式求解. 【详解】
因为{}n a 为等比数列，且公比为q ， 所以21a a q =⋅，231a a q =⋅且10a ≠，0q ≠. 因为116a ，24a ，3a 成等差数列， 所以1321624a a a +=⨯，
有21111624a a q a q +⋅=⨯⋅，28160q q -+=， 解得4q =. 故答案为：4. 13．512
-
【分析】
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】
55cos sin 21313πθθ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为,22ππθ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以
12
cos 13θ==
，所以sin θ5tan θcos θ12
，所以()5
tan 9tan 12θπθ-==-. 故答案为：5
12
-
. 14．()2
211x y +-= 【分析】
将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案. 【详解】
解：将抛物线方程化为标准方程得24y x =，所以焦点坐标为0,1，
10y --=，
所以点0,110y --=的距离为1d ==，
所以所求圆的方程为()2
2
11x y +-=.
故答案为：()2
2
11x y +-=
15．
1,0
【分析】
先画出函数()f x 的图象，转化为函数y kx =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，再画函数y kx =的图象，观察交点的个数，从而求得k 的取值范围． 【详解】
解：画出函数()f x 的图象如下图，
由题意得函数图象上存在互异的三个点，且
3
12123
y y y k x x x ===， 则可看做函数y kx =与函数()f x 的图象有三个不同的交点， 由图知，当1k =-或0k =时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则k 的取值范围为(1,0)-． 故答案为：(1,0)-．
16．（1）()0,1；（2）()2,6-. 【分析】
（1）本题可根据对数函数的性质得出220x ax a -+>恒成立，然后通过∆<0即可得出结果；
（2）本题首先可根据()0,1a ∈得出24142x x --<-，然后通过计算即可得出结果. 【详解】
（1）因为函数()()
2
3log 2x f x a x a =-+的定义域是R ，
所以220x ax a -+>恒成立，
则2440a a ∆=-<，解得01a <<，a 的取值范围为()0,1. （2）2414
21x x a
a
-->
，即24142x x a a --->， 因为()0,1a ∈，所以24142x x --<-，即24120x x --<，解得26x -<<， 故不等式2414
2
1
x x a
a -->
的解集为()2,6-. 17．(1) 12a =；(2) 29-；(3) 12
12
log ()20()log 20
x x
x f x x x
x -+<⎧⎪=⎨
->⎪⎩.
【分析】
(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出a 的值； (2) 利用偶函数的性质，求(8)f ，进而可求出(4)(8)f f -+的值； (3) 利用偶函数的性质求出0x >时，()f x 的表达式. 【详解】
(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，
由2050x y +=⎧⎨
--=⎩，解得2
5
x y =-⎧⎨=-⎩，
所以直线l 过定点()2,5A --.
又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+， 所以(2)log 245a f -=-=-， 有log 21a =-，1
2
a =
. (2) 12
(4)log 4810f -=-=-，
因为()f x 为偶函数，所以12
(8)(8)log 81619f f =-=-=-，
所以(4)(8)29f f -+=-.
(3) 由(1)知，当0x <时，12
()log ()2f x x x =-+.
当0x >时，0x -<，
112
2
()log 2()log 2f x x x x x -=+⋅-=-，
又()f x 为偶函数，所以
12
()()log 2f x f x x x =-=-， 综上可知，12
12
log ()20()log 20
x x x f x x x x -+<⎧⎪=⎨
->⎪⎩.
18．（1）
512
；（2）3
8.
【分析】
（1）根据题意有：0a >，且对称轴21b
x a
=
，求出基本事件总数，再求出满足事件A 的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；
（2）方程240ax bx a -+=无实根，则[1a ∈，2]，[0b ∈，2]，且20a b ->，画出图形，由测度比是面积比得答案． 【详解】
（1）根据题意有：0a >，且对称轴21b
x a
=． 基本事件总数为1
1
4312C C ⋅=，
满足事件A 的事件数为(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)共有5个，
P ∴（A ）512
=
； （2）方程240ax bx a -+=无实根，则22
(4)40a b a ≠⎧⎨
--<⎩
， ∴22
40a a b ≠⎧⎨->⎩
， 又[1a ∈，2]，[0b ∈，2]，20a b ∴->， 如图，
∴11
(1)1
322()28
P B +⨯==．
19．（1）max ()3f x =；（2）2
. 【分析】
（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得2
()233f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，进而可得()f x 的最大值；
（2）由锐角ABC ，推出223
3
3B π
π
π
-
<-
<
，再结合f （B ）0=，求得3
B π=，由正弦定理知32a c =，再利用余弦定理求出2a =，3c =，最后由三角形面积公式得解． 【详解】
（1）因为()
2
23sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，
所以函数()f x a b =⋅
2cos 6cos 23cos23x x x x x =-+=++
2
23
3
xπ
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
∴当
2
sin21
3
xπ
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
时，
max
()3
f x=
（2）∵ABC为锐角三角形，0
2
B
π
∴<<.
25
2
33
B
πππ
∴<+<又()0
f B =
2
si n2
3
Bπ
⎛⎫
∴+=
⎪
⎝⎭
24
2
33
Bππ
∴+=
3
B
π
∴=
3sin2sin032
A C a c
-=∴=
2221
cos
22
a c b
B
ac
+-
==即
22
2
9
71
4
32
a a
a
+-
=
2,3
a c
∴==
1
23
222
ABC
S
∴=⨯⨯⨯=
20．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】
（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】
（1）
2000
24
5
y x
x x
=+-，[60,110]
x∈
2416
≥=
当且仅当
2000
5
x
x
=时，即100
x=取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）()()
2
2
1
24242000120880
55
x
L x x x x
⎛⎫
=--+=--+
⎪
⎝⎭
又
60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
21．（1）见解析；（2）3n
n a n =-；（3）
1233
2
n n n +--- 【分析】 （1）计算得到
11
3n n a n a n
+++=+，得到答案.
（2）1333n n
n a n -+=⨯=，得到数列通项公式.
（3）根据分组求和法计算得到答案. 【详解】
（1）由1321n n a a n +=+-，得()113n n a n a n +++=+，∴11
3n n a n a n
+++=+，又113a +=，
∴{}n a n +是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）1333n n
n a n -+=⨯=，∴3n n a n =-.
（3）()12
33312n
n S n =++
+-++
+()1133132
n n n ++-=--()11213333
222
n n n n n n +++----=-=
. 【点睛】
本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 22．甲2块，乙1块，8 m 2. 【分析】
设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则所用原料的总面积32z x y =+，由题意列出关于x ，
y 的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最
优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，
则25240,0,x y x y x y x y N
+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪∈⎩， 所用原料的总面积32z x y =+． 由约束条件作出可行域如图，
联立2425
x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2x =，1y =，即(2,1)A ，
由32z x y =+，得322z y x =-
+，由图可知，当直线322
z
y x =-+过A 时， z 取得最小值为32218⨯+⨯=．
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为8 m 2．
23．（1）证明见解析；（2）
0y -=；②2
213
x y +=.
【分析】 （1
）由
b
a
= （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】
（1
）
c
e
a
=====，
3
b
a
∴=，因此，3
a b；
（2）①由（1）知，椭圆C的方程为
22
22
1 3
x
y
b b
+=，即222
33
x y b
+=，
当
9
,
1015
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
在椭圆C的内部时，
2
2
2
9
33
1010
b
⎛
⎛⎫
+⋅-<
⎪
⎝⎭⎝⎭
，可得b>
设点()
1
1
,
P x y、()
22
,
Q x y，则
12
12
9
210
2
x x
y y
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，所以，12
12
9
y y
x x
+
=-
+
，
由已知可得
222
11
222
22
33
33
x y b
x y b
⎧+=
⎨
+=
⎩
，两式作差得()()()()
12121212
30
x x x x
y y y y
+
-++-=，所以()
1212
1212
1
33
y y x x
x x y y
-+⎛
=-=-
⨯=
-+⎝
所以，直线l方程为
9
10
y
x
⎛⎫
-=-
⎪
⎭
⎝⎭
，即y=
所以，直线l
y
-=；
②联立
)
222
33
1
x y b
y x
⎧+=
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，消去y可得22
1018930
x x b
-+-=.
()
222
184093120360
b b
∆=--=->，
由韦达定理可得
12
9
5
x x
+=，
2
12
93
10
b
x x
-
=，
又OP OQ
⊥，而()
11
,
OP x y
=
，()
22
,
OQ x y
=，
))()
121212121212
11433
OP OQ x x y y x x x x x x x x
∴⋅=+=--=-++
()22
293271566
55
b b
--+-
===，
解得21
b=合乎题意，故22
33
a b
==，
因此，椭圆C的方程为
2
21
3
x
y
+=.。