毕-萨定理

0I
4 a
sin d
0I
4 a
cos 1 cos 2
10- 3
毕奥—萨伐尔定律 0I B cos 1 cos 2 讨论: 4 a 1.无限长载流直导线的磁场：
1 0, 2 ;
B
l 第10章 2 稳恒磁场
2
P *
r
Id l
为
r 方向的单位矢量
毕奥—萨伐尔定律无法通过实验来验证，因为无法获 得电流源，但是所得结果与实验一致
10- 3
毕奥—萨伐尔定律 第10章 稳恒磁场 0 I d l r0 毕奥—萨伐尔定律 dB 2 4π r
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
I
Bo
a
B1
4R

0
4R
4R
(
1
1)
毕奥—萨伐尔定律 第10章 2 0 IR 0 IS ， B 5）x R B 3 3 2x 2π x 例： 磁偶极矩 m IS n
10- 3
稳恒磁场
m
S
B
0 IR
2x
3
2
B
0m 2π x n
3
I
m
n
I S
B
0m
2π x
3
说明：只有当圆形电流的面 积S 很小，或场点距圆电流很远 时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
n
第10章 稳恒磁场 例5、如图所示，一宽为a的薄金属板，其电流强度为I并 均匀分布。试求在板平面内距板一边为b的P点的 B 。 解：取P为原点，x轴过平板所在 平面且与板边垂直，在x处取窄 条，视为无限长载流导线，它在 P点产生的 d B 方向为：垂直纸面 向外，大小为： I
毕奥—萨伐尔定律
dB

第10章
稳恒磁场
sin R r
2 2
r
2
R
o
r


R x
x
p
x B
B
B
0I
4π

3
s in d l
l
r
2π R
2
dB
dB x
0 Id l
4π r 0 I sin d l
4π r
2
0 IR
4π r
2

dl
2 3
0
2
0 IR
q
r0

v
B
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
三 毕奥---萨伐尔定律应用举例 例1 载流长直导线的磁场.
d B 方向均沿
x 轴的负方向
0 I d z sin
2
z
D
，
dz
I

r
a

z
o
1
dB
2
4π r 0 I d z sin B dB CD r 2 4π
o
B
r
600
C r
3 0 I 2r
b
d m
0 I
2r
3 ( r a )dr
( r a )dr ab a
3 0 I 2
( r a ln r )
a b a
a
3 0 I 2
(b a ln
)
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
例9 载流直螺旋管的磁场
如图所示，有一长为L，半径为R的载流密绕直 螺旋管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺旋 管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
L
R
* p
dl
l
++ ++++ ++ +++ ++ +
解 由圆形电流磁场公式 B
0 IR
2 l （
2
2 2 3/2
R ）
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
L
1

dl
第10章
稳恒磁场
2 ++ + + + + + + + + + + + + +
l
p
dB
0
2
R In d l
2
R l R csc

m


d
m



2 l1 2
[
0I
2 ( L 2 x)

] l 2 dx
0 Il 2
ln
L l1 L l1
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
例8，求如图所示的三角形的 m
A I a o
m

ab
dr
B
0 I
2r
ds ( r a )tg60 dr
解：两导线在P（位置为x） 点产生的磁感应强度方向相 同，垂直纸面向里
B p左 ＝
L
dx
I
l2
x
O
I
P
r3
0I
2 ( L x)
r1
l1
x
B
＝ p右
2 0I
2 ( L 2 x)
B P B p左 B p右 ＝
0I
2 ( L 2 x)

0I
2 ( L 2 x)
10- 3
2 2 2 2
R
2
l
2

3/2
d l R csc
2
d
l R ctg
B
0 nI
2


1
2
R csc d
3 2 3
R csc
3
d

0 nI
2


1
2
sin d
10- 3 讨 论
分量式： d B dB i dB j dB k x y z
B x dB x B y dB y B z dB z
B Bxi B y j Bzk
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
I d l r0 r
2
稳恒磁场

B
0I
2R
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
v
I
例:一个电子作圆周运动，求在圆心处产生的磁场
B0
0I
2R

0
ve
0 ve 2 R 2 2R 4 R
4）x=0处部分弧段，弧长为 l ，则
B0
0 NI
2R

l 2 R

0 NIl
4 R
2
10- 3
dB
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
0 dI
2 x
0
dx

a
2 x
所有这样窄条在P点的 d B
ab
方向均相同，所以求 大小可用下面代数积分进行：
B
B的
dB


b
0 Idx
2 ax

0I
2 a
ln
b a a
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
例6、在一半径为R的无限长半圆形金属薄片中，自上 而下通有电流I，求轴线上任一点的磁感应强度。
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
例3 圆形载流导线的磁场. 真空中半径为R的载流导线,通有电流I,称圆电流. 求 其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Id l
r
B
dB
o
R

p
B
I
dB
0 Id l
4π r
dB
x
x
2
解 根据对称性分析
B Bx
10- 3
Id l
B

0
4π
实用条件
v c
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
运动电荷的磁场
0 q v r0 B 2 4π r
大小：
4 r r0 所确定的平面，右手螺旋 方向：垂直于 v 和
2
B
0
q v sin( v , r0 )
q + v r0 G B
2
0
y

0
2 R
y
cos d
By
dB

0
I
2 R


cos d 0
0
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
例7、两根无限长的载流导线平行放置，电流方向相 反，大小相同，两导线之间的距离为L，求： （1）两导线所在平面内任一点的磁感应强度； r （2）图中所示面积的磁通量。1 r3
dx
毕奥—萨伐尔定律 ，小面元的面积为
第10章
稳恒磁场
（2）取如图的一个小面元，距离原点位置为 x ，宽度为
L
dx
dS l 2 dx
d
m
I
l2
x
O
I
BdS [
0I
2 ( L 2 x)

0I
2 ( L 2
0I
2 ( L 2 x)
] l 2 dx
r1
l1
x)
r3
l1
（1）
毕奥—萨伐尔定律
R B x 0
第10章 （4）
稳恒磁场
I （2 ）
o I
B0
0I
2R
BA
0I
4π d
d （5） I
R
o （3） I R
B0
0I
4R
*A
R1
R2
*o
B0
0I
8R
o
B0
0I
4 R2

0I
4 R1

0I
4 π R1
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
解：此半径为R的无限长 半圆形金属薄片可以看 成是许多无限长直导线 组成，对应宽度为 dl Rd 的无限长直导线的电流 为 Idl IR I dI d d R R
dB
dB
y

I
dB


x
0 dI
2 R

0
I
2 R
d
方向由右手螺旋法则如图所示
与 y 轴的夹角，轴线与无限长导线之间的垂直距离 与x 轴之间的夹角都为
Id l
l o
r
dB
0I
2 a
1
P
x
a
2.半无限长载流直导线的磁场： 0I 1 , 2 ; B 2 4 a 3.半无限长载流直导线的磁场：
I
I P
a

P
1 , 2 ; B
0I
4 a
(cos 1)
a
10- 3
二、 运动电荷的磁场
0 毕— 萨定律 d B 4π
S
dl
I d l S d l nSqv d l nqSdl v
0 nS d lq v r0 dB 2 4π r
d N nS d l
dB dN q v r0 r
2
运动电荷的磁场
稳恒磁场
I
例4：如图，两根导 线沿半径方向引到 铁环上的A、B两点， I2 并在很远处与电源 相连，求环中心的 0 NIl B0 磁感应强度 2 4 R
解： B 0 0
A
I1
B
例b：一导线弯曲成如图的形状，求 B 0 B2 B o B1 B 2 B 3 B3 b o c 0 I 0 I 0 I d
10- 3毕奥—萨伐尔定律Fra bibliotek第10章
Id l
稳恒磁场
dB
一 、 毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)
dB
0 I d l sin
4π r
2
7
dB
2
r

I
真空磁导率 0
0 dB 4π
r0 r r
4 π 10
N A
I d l r0 r
8
+
2
d 1、5 点 ： B 0
7
Id l
R
6
+3 +4
4π R 2、4、6、8 点 ：
3、7点 ：d B
0 Id l
2
dB
0 Id l
4π R
2
sin 45
0
5
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 0 I d l r0 磁感强度叠加原理 B d B 4π r2
解 dB
x
P
y
sin cos
r a sec
C
z atg dz a sec 2 d
10- 3
dB 4
毕奥—萨伐尔定律
0 Ia sec
2 2
第10章
cos d
稳恒磁场
d cos
2
a sec


0I
4 a
B
B 的方向沿 x 轴的负方向.
10- 3
dB
毕奥—萨伐尔定律

第10章
稳恒磁场
y

0 dI
2 R
0
I
2 R
d
把矢量积分变为标量积分， 把 d B分别分解到x、y轴
dB
x
I
dB



0
I
x
2 R
x
sin d
Bx
dB
dB

I
0
I
2 R


sin d
0I R
1

dB
0I
4 a

2
cos d
0I
4 a
(sin 2 sin 1 )
z
D
B
（ sin 2 sin 1） 4πa
0I
无限长载流长直导线的磁场. 1 2
I
o
x
C
2
π 2
B
0I
1 P y
2
B +
2πa
10- 3
（ x R ）2 2
2
10- 3
I
毕奥—萨伐尔定律
R o x
第10章
稳恒磁场
2 3
*
B
B
0 IR
2
x
B
（ x R ）2 2
2
讨 论
（ x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系）