配套K122019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第9章统计与统计案例 9-2a

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一、选择题
1．(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )
A ．8
B ．15
C ．16
D ．32
答案 C
解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8，可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16.故选C.
2．(2018·保定联考)在样本频率分布直方图中，共有9个小长方
形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，
且样本容量为140，则中间一组的频数为( )
A ．28
B ．40
C ．56
D ．60
答案 B
解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，
因此x ＋52x ＝1，解得x ＝27，所以中间一组的频数为140×27＝40.故选
B.
3．(2017·哈尔滨四校统考)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A ．13,12
B ．13,13
C ．12,13
D ．13,14
答案 B
解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，
故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝(4＋22)×510
＝
13，中位数为12＋142＝13.故选B.
4．(2017·西宁一模)某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )
A ．20,2
B ．24,4
C ．25,2
D ．25,4
答案 C
解析 由频率分布直方图可知，组距为10，[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，
由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，
则N ＝20.08＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)
的人数一样，都是2，故选C. 5.
某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，
[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )
答案 A
解析 解法一：由茎叶图知，各组频数统计如表：
此表对应的频率分布直方图为选项A.故选A.
解法二：选项C 、D 组距为10与题意不符，舍去，
又由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，故频率、频率/组距也分别相等，比较A 、B 两个选项知A 正确．故选A.
6．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样
本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )
A.x －A >x －B ，s A >s B
B.x －A <x －
B ，s A >s B
C.x －A >x －B ，s A <s B
D.x －A <x －
B ，s A <s B
答案 B
解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106
＝37.56， x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106
＝706. 显然x －A <x －B ，
又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.
7．(2017·广东肇庆一模)图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 D
解析该程序的作用是求考试成绩不低于90分的次数，根据茎叶图可得不低于90分的次数为10.故选D.
8．(2017·吉林模拟)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时
的成绩：
根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是()
A．15名女生成绩的平均分为78
B．17名男生成绩的平均分为77
C．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80
D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重
答案 C
解析15名女生成绩的平均分为1
15×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A正确；17名男生
成绩的平均分为1
17×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋
74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误．故选C.
9．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D
解析从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；2004～2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B
正确；从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选D.
二、填空题
10．(2017·聊城模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：厘米)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为________．答案 2
解析由题意有：175×7＝180×2＋170×5＋1＋1＋2＋x＋4＋5⇒x＝2.
11．某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________．
答案55%
解析后两个小组的频率为(0.0375＋0.0875)×2＝0.25，所以前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，
又前3个小组的面积比为1∶2∶3，
即前3个小组的频率比为1∶2∶3.
所以第三小组的频率为31＋2＋3
×0.75＝0.375，第四小组的频率为0.0875×2＝0.175，
所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375＋0.175＝0.55＝55%.
12．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x 的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
答案 (1)0.0044 (2)70
解析 (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，
于是x ＝0.2250＝0.0044.
(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，
∴所求户数为100×0.7＝70.
13．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．
答案 10.5,10.5
解析 ∵中位数为10.5，∴a ＋b 2＝10.5，即a ＋b ＝21.
∵x －＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010
＝10， ∴s 2
＝110[(2－10)2＋(3－10)2×2＋(7－10)2＋(a －10)2＋(b －10)2＋(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]．
令y ＝(a －10)2＋(b －10)2＝2a 2－42a ＋221
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －2122＋12， 当a ＝10.5时，y 取最小值，方差s 2也取最小值．
∴a ＝10.5，b ＝10.5.
三、解答题
14．(2017·福建八校联考)某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．
(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；
(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；
(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．
解 (1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；
乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.
(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，
优秀率为2050＝25；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为1848＝
38.
(3)将分数为131,132,136的3人分别记为a ，b ，c ，分数为141,146的2人分别记为m ，n ，则从5人中抽取3人的不同情况有abc ，abm ，abn ，acm ，acn ，amn ，bcm ，bcn ，bmn ，cmn ，共10种情况．
记“至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件M ，则事件M 包含的情况有abc ，abm ，abn ，acm ，acn ，bcm ，bcn ，共7种情况，
所以从这5名同学中随机抽取3人，至多有1人的数学成绩在
140分以上的概率为P (M )＝710.
15．(2018·安徽黄山模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，
并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率．
解 (1)∵0.004×50＝20n ，∴n ＝100，
∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.
40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50
＝0.001.
由此完成频率分布直方图，如图：
(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数x ＝
25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95，
∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2，(50,100]的频率为0.008×50＝0.4，
∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.
(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；
将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，
其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个，
所以P (A )＝610＝35.。