矩阵的三种等价关系

矩阵的三种等价关系
摘要
本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。

同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。

关键字
矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系
A matrix of three equivalence relations
Abstract
This paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.
Key words
matrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.
0 引言
在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.
另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.
为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.
1 矩阵的三种等价关系的定义
1.1 矩阵的三种等价关系
定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。

等价是矩阵之间的一种关系。

不难证明，它具有反身性、对称性与传递性。

定义1.1.2 数域P 上n ×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n ×n 矩阵C,使
AC C B '=
合同是矩阵之间的一个关系。

不难看出，合同一定等价，同时合同关系具有 （1）反身性：AE E A '=;
（2）对称性：由AC C B '=即得BC C A )'(1
-=; （3）传递性：由11
11AC C A -=和21'22C A C A =即得 )()'(21212C C A C C A =.
定义1.1.3 设A,B 为数域P 山两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级矩阵X ，使得B=X
1
-AX,就说A 相似于B,记作A ～B.
由相似的定义易知相似一定等价.相似作为矩阵之间的一种关系，具有下面三个性质： （1）反身性：A ～A.这是因为AE E A 1
-=. （2）对称性：如果A ～B,那么B ～A. 如果A ～B ，那么有X 使AX X
B 1
-=.令1-=X Y ,就有BY Y XBX A 11--==,所以B ～A.
（3）传递性：如果A ～B, B ～C,那么A ～C.
已知有X,Y 使AX X B 1-=，BY Y C 1
-=.令XY Z =,就有
AZ Z AXY X Y C 111---==,
因而
A ～C
综上可知，矩阵的等价、合同、相似是矩阵的三种等价关系。

定义1.1.4 设函数f 定义在矩阵集合M 上，若对于任意两个相似的矩阵A 、B ∈M ，有
()(),f A f B =则称f 为相似不变量.
1.2 λ—矩阵相关知识
为了探究矩阵相似更多的判断方法，我们需要了解一些λ—矩阵的知识.
定义1.2 如果λ—矩阵A(λ)中有一个r （r ≥1）级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称A(λ)的秩为r.特别的，零矩阵的秩规定为零.
定义1.2.2 λ—矩阵A(λ)称为与B(λ)等价，如果可以经过一系列的初等变换将A(λ)化为B(λ).
定义1.2.3 设λ—矩阵A(λ)的秩为r ，对于正整数k, 1k r ≤≤,A(λ)中必有非零的k 级子式的首项系数为1的最大公因式()k D λ称为A(λ)的k 级行列式因子.
定义1.2.4 标准形的主对角线上非零元素12(),(),
,()r d d d λλλ称为λ—矩阵A(λ)
的不变因子.
定义1.2.5 把复数域上的矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子.
定理 1.2.1 两个λ-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
定理1.2.2 矩阵()A λ可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积.
推论 两个s n ⨯的λ-矩阵()A λ与()B λ等价的充要条件是，有一个s s ⨯可逆的矩阵
()P λ与一个n n ⨯可逆的()Q λ，使
()()()()B P A Q λλλλ=
引理1.2.1 如果有n n ⨯数字矩阵0P ，0Q 使00()E A P E B Q λλ-=-，则A 与B 相似. 证明 因000000()P E B Q P Q P BQ λλ-=-,它又与E A λ-相等，进行比较后应有
0000,P Q E P BQ A ==.由此100Q P -=，而100A P BP -=.故A 与B 相似.
引理1.2.2 对于任何不为零的n n ⨯数字矩阵A 和λ—矩阵()U λ与()V λ，一定存在λ—矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使
0()()()U E A Q U λλλ=-+ （1） 0()()().V R E A V λλλ=-+
证明 把()U λ改写成
1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++
++
这里都01,,
,m D D D 是n n ⨯数字矩阵，而且00.D ≠如0,m =则令()0Q λ=及00,
U D =它们显然满足引理2的要求. 设0,m >令
120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++
++
这里j Q 都是待定的数字矩阵.于是
1010112 1.()()()()()m m m k k k m m m E A Q Q Q AQ Q AQ Q AQ AQ λλλλλλ-------=+-+
+-++--
要想使(1)式成立，只需取
00110221111201,,,,,.
k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ -----==+=+=+=+=+
就行了.用完全相同的办法可以求得和.引理证毕.
2 三种等价关系的性质
性质2.1 A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ） 性质2.2 设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000r
E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，使⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=000r
E PAQ . 性质 2.3 (Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛n λλ0*1
其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值.
证明 （数学归纳法）当n=1时，结论显然成立。

假设对于n-1级复矩阵，结论成立。

对于n 级复方阵A 的情形：
设1λ是A 的一个特征值，1α是相应的特征向量，则111αλα=A . 把1α扩充为n
C 的一组基n ααα,,,21 ，令P=(n ααα,,,21 ),则P 可逆. 所以
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛====---001111111111 λλαλαe P A P APe P
从而，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-11
1
A AP P βλ,其中β为n-1维行向量，1A 为n-1级复方阵. 对1A 由归纳假设可得存在可逆矩阵1P 使得⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n P A P λλ0*2
111
1 ，其中n λλ,,
2 为1A 的特征值. 令⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=1001A Q ,则Q 可逆且⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Q A Q λλβλ0*01
11
1 ， 令,PQ T =则⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*1
1
由数学归纳法知，对于任意的n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵.□ 注a 设矩阵A ∈n
n R
⨯，A 的特征值全是实数，则存在实n 级可逆矩阵P 使
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-n AP P λλ0*1
1 .
注b 若A ∈n
n R ⨯,A A =',则A ～⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛n λλ 1. 性质2.4 设A 、B ∈n
n C ⨯，AB=BA,则存在n 级可逆矩阵T ，使⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*1
1 ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-n BT T μμ *1
1，
其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值，n μμ,,1 为矩阵B 的特征值. 证明 （数学归纳法）当n=1时，结论显然成立.只需令T=E 即可.
假设对n-1级复方阵，结论成立. 对于n 级方阵A 、B 的情形：
因为AB=BA ，则A 、B 有公共的特征向量1α，并且111111,αμααλα==B A . 由扩基原理把1α扩充为n
C 的一组基n ααα,,,21 . 则
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=111
21210
),,(),,(A A n n βλαααααα ,
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=121
21210
),,(),,(B B n n βμαααααα 其中21,ββ为n-1维行向量，11,B A 为n-1级复方阵. 令P=(n ααα,,,21 )，则P 可逆且⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-111
1
A AP P βλ,⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-1211
0B BP P βμ. 因为AB=BA ，所以1111A B B A =.
由归纳假设，存在n-1级可逆矩阵1P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P A P λλ0*2111
1 ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n P B P μμ0*2
111
1 .令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001P Q ,则Q 可逆.
则
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=---n Q A Q APQ P Q λλβλ0*0
1
111
111 ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=---n Q B Q BPQ P Q μμβμ0*0
1
121111 .
令T=PQ,则T 可逆并且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11 ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n BT T μμ0*1
1
性质2.5 设A 、B 都是n 级方阵，则以下条件等价：
①A ～B ；
②E A λ-等价于E B λ-； ③A 、B 有相同的不变因子；
④A 、B 是n 维线性空间中同一线性变换在不同基下所对应的矩阵； ⑤E A λ-与E B λ-有相同的标准形； ⑥A 、B 有相同的初等因子.
性质2.6 设A ～B ，则有以下结论成立： ①A B =； ②()()tr A tr B =； ③秩(A)=秩(B)； ④
E A E B λλ-=-;
⑤A 等价于B ；
⑥f(A)=f(B),f(x)为多项式； ⑦A 、B 的最小多项式相同.
性质2.7 对称矩阵A 、B 合同的充要条件是二次型'
()f x X AX =与()'g y Y BY =等价，即()f x 可经非退化的线性替换X CY =化为()g y ，而()g y 可经1
Y C X -=化为()f x 。

性质2.8 任意秩为r 的对称矩阵都合同于1
0r
d d ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，其中i d ≠0，i=1,2,,r.
性质2.9 两个n 级复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。

性质2.10 两个n 级实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等且符号差相等。

性质2.11 对于对称矩阵合同不改变其正定性;合同也不改变等价二次型的正定性. 性质2.12 实对称矩阵相似必合同，但合同不一定相似.
性质2.13 实对称矩阵必正交相似于对角形矩阵，即催存在正交矩阵T 使
1'1n T AT T AT λλ-⎛⎫
⎪
==
⎪ ⎪⎝
⎭
，其中1λ，，n λ为A 的全部特征值.
例1 设A 、B ∈n n
R
⨯，1.求证：A 、B 在R 上相似的充要条件是A 、B 在C 上相似.
2.上述命题对合同的情况如何？为什么？ 证明 1（必要性）结论显然成立.
（充分性）已知A 、B 在C 上相似，所以存在n n
P iQ C ⨯+∈，0P iQ +≠，中P 、
Q ∈n n R ⨯,使得
1
()()P iQ A P iQ B -++=,即()()A P iQ P iQ B +=+
从而，,.AP PB AQ QB ==又因为0P iQ +≠，所以P Q λ+不恒等于0，于是存在0R λ∈使00P Q λ+≠且00()()A P Q P Q B λλ+=+
令0T P Q λ=+，则n n T R ⨯∈且T 可逆，所以1
T AT B -=,则A 、B 在R 上相似□
2 设A 、B n n R ⨯∈,若A 、B 在R 上合同，则A 、B 在C 上一定合同.反之不真.例如：
221001,0110A B R ⨯⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,则A 、B 在C 上合同（因为秩相等）但A 、B 在R 上不合
同（因为A 、B 的符号差不等）□
3 矩阵的三种等价关系之间的联系
由以上三种关系的定义，可以知道每一种矩阵关系都必须具备自己的条件，但是这三种关系之间存在着密切的联系。

定理3.1 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.
定理3.2 对于n 级方阵A 、B ，若存在可逆矩阵P 、Q 使PAQ B =(即A 与B 等价，且
PQ E =)则A 、B 相似.
定理3.3 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵. 定理3.4 正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵. 由以上结论可以得到：
⑴相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，但反之不真.
⑵相似矩阵为正交相似，合同为正交合同时，相似于合同等价. 定理3.5 设A 、B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵.A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价.
证明 由定理2的推论知道E A λ-与E B λ-等价就是有可逆的λ-矩阵()U λ和
()V λ，使
()()()E A U E B V λλλλ-=- (2)
先证必要性.设A 与B 相似，即有可逆的矩阵T ，使1
A T BT -=.于是
11()E A E T BT T E B T λλλ---=-=-
从而E A λ-与E B λ-等价
再证充分性.设E A λ-与E B λ-等价，即有可逆的λ-矩阵(),()U V λλ，使（2）成立.用引理2，存在λ-矩阵()Q λ和()R λ以及数字矩阵0U 和0V 使
0()()(),U E A Q U λλλ=-+ (3) 0()()()V R E A V λλλ=-+ (4)
成立.把（2）改写成
1()()()()U E A E B V λλλλ--=-,
式中()V λ的用（4）代入，再移项，得
10[()()()]()()U E B R E A E B V λλλλλ----=-.
右端次数等于1或00V =，因此1
()()()U E B R λλλ---是数字矩阵（后一情形下应是零矩阵），记作T ，即
1()()()T U E B R λλλ-=--
0()()T E A E B V λλ-=- （5）
现在我们来证明T 是可逆的.由（5）的第一式有
()()()()E U T U E B R λλλλ=+- 1()()()()U T E A V R λλλλ-=+-
10[()()]()()()E A Q U T E A V R λλλλλ-=-++- 10()[()()()]U T E A Q T V R λλλλ-=+-+
等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少是1，由于E 和0U T 都是数字矩阵，等式不可能成立.因此
0E U T =.
这就是说，是可逆的.由（5）的第二式得
10()E A T E B V λλ--=-
再用引理1，A 与B 相似.
推论 矩阵A 与B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子.
定理3.6 两个同级复数矩阵相似的充分条件是它们有相同的初等因子.
4 三种等价关系之间的不变量
⑴等价不变量 等价保持矩阵的秩不变. ⑵合同不变量 合同保持矩阵的秩不变.
对于合同的实对称矩阵，有：ⅰ它们的秩相等且符号差相等；ⅱ它们的正定性相同；ⅲ等价二次型的正定性相同.
⑶相似不变量 对任意两个相似矩阵，有以下的结论：
① 秩是相似不变量； ② 行列式是相似不变量； ③ 特征多项式是相似不变量； ④ 特征值是相似不变量； ⑤ 矩阵的迹是相似不变量； ⑥ 初等因子是相似不变量； ⑦ 不变因子是相似不变量； ⑧ 任一k 级行列式因子.
下面仅给出相似不变量结论②③④⑤的证明：
证明 ②若A ～B,则由定义可知存在可逆的矩阵P ，使得1P AP B -= 从而
11B P AP P A P A --===
故行列式是相似不变量.
③若A ～B,则由定义可知存在可逆的矩阵P ，使得
1P AP B -=
从而
111()E A P E A P P E A P E P AP E B λλλλλ----=-=-=-=-
故矩阵的特征多项式是相似不变量.
④由于矩阵的特征值就是他的特征多项式的根，故由③知矩阵的特征值也是相似不变量.
⑤若A ～B,则由定义可知存在可逆的矩阵P ，使得
1P AP B -=
由于任何n 级矩阵()ij n n C c ⨯=和()ij n n D d ⨯=，矩阵CD 的迹等于DC 的迹，因为
1
1
1
1
()()()()n n n n
ij ij ij ij i j j i tr CD c d d c tr DC =======∑∑∑∑
所以
1111()()[()][()][()]()tr B tr P AP tr P AP tr AP P tr A PP tr A ----=====
故矩阵的迹是相似不变量.
例2 已知01010100a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与111B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
相似，求a.
解法一 由于A 、B 相似，则tr(A)=tr(B),即是a+1=1,所以，a=0.
10 解法二 2010
10(1)(1)10a
E A a λλλλλλλ
---=-=---- 因为A 与B 相似，B 有特征值-1，所以，- 1是21a λλ--=0的根，故a=0.
参考文献
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