高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)11.过双曲线上一点的切线方程 含解析

今天我们研究过双曲线上一点的切线方程。

过椭圆C:22
221x y m n +=(m>n 〉0）上一点Q(x 0,y 0)的切线方程为
00221x x y y
m n
+=。

对于双曲线12222=-b y a x ，可以利用导数的几何意义求得经过双曲线上一点M(x 0,y 0）的切线的方
程是12020=-b
y
y a x x 。

先看例题：
例:已知双曲线的方程是122
22=-b
y a x ,求经过双曲线上一点
M （x 0，y 0）的
切线的方程。

解:由122
22=-b
y a x
求导数得0222
2='
⋅-b y y a x 假设
y ≠0,则y a x
b y 22='
由导数的几何意义知过点M （x 0，y 0）的切线的斜率为k =0
20
2y a x b
故所求切线方程为y —y 0=0
2
2y a x b （x —x 0)
化简得2
022020202
y a x b y y a x x b -=-
又点
M （x 0，y 0）在双曲线122
22=-b y a x 上
∴1220
220=-b
y a x 即22202202b a y a x b =-
所以切线方程为220202
b a y y a x x b =-
即12
02
=-b
y
y
a
x x
（可验证对y 0=0此方程也适用）
整理：
双曲线122
22=-b
y a x ，过双曲线上一点
M (x 0，y 0)的切线的方程： 12
02
0=-b
y y a x x ;
双曲线22
221y x a b
-=,过双曲线上一点
M （x 0，y 0）的切线的方程： 002
2
1y y x x a b
-=。

再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线 C ：2
213
x y -=
上点P ) 。

求双曲线C 在点P 处的
切线l 的方程. 解:
12020=-b
y
y a x x
1l y =
总结： 1。

双曲线
122
22=-b
y a x ,过双曲线上一点M （x 0,y 0）的切线的方程:
12020=-b
y
y a x x ； 2。

双曲线
22
22
1y x a b -=，过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程:
00221y y x x
a b
-=。

练习：
1。

设双曲线 C ：
2
2x 2y 1-= 上点P ) . 求双曲线C 在点P 处的切
线l 的方程。

2。

过点P (3),1作双曲线 C ：2
2x y 1-= 的两条切线，切点分别为A ，B ，
求直线AB 的方程。

答案：
1. 解:
3111
2
x y
-=，即3210x y --=。

因此1
13x
y 1-=，223x y 1-=。

直线AB 的方程为3x y 1-=。