番禺区初三试卷数学

一、选择题（每题5分，共50分）
1. 若 \( a^2 + b^2 = 5 \)，\( ac^2 = 4 \)，\( bc^2 = 3 \)，则 \( c^2 \) 的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 下列各数中，有最小正整数解的是：
A. \( 2x - 1 = 0 \)
B. \( 3x + 2 = 0 \)
C. \( 4x - 3 = 0 \)
D. \( 5x + 4 = 0 \)
3. 在直角坐标系中，点 \( A(2,3) \)，\( B(-1,2) \)，\( C(-1,4) \)，则三角形 \( ABC \) 的周长为：
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
4. 若 \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \tan (\alpha + \beta) \) 的值为：
A. 1
B. -1
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
5. 下列函数中，是偶函数的是：
A. \( y = x^2 - 2x + 1 \)
B. \( y = 2x^3 - 3x^2 + 1 \)
C. \( y = x^2 + 2x + 1 \)
D. \( y = 3x^2 - 2x - 1 \)
6. 若 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，\( ad \neq 0 \)，则下列结论错误的是：
A. \( a = c \)
B. \( b = d \)
C. \( ab = cd \)
D. \( a + c = b + d \)
7. 在等腰三角形 \( ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( \angle A = 30^\circ \)，则 \( \angle B \) 的度数为：
A. \( 30^\circ \)
B. \( 45^\circ \)
C. \( 60^\circ \)
D. \( 90^\circ \)
8. 若 \( a, b, c \) 是等差数列的前三项，且 \( a + b + c = 9 \)，\( abc = 27 \)，则 \( a^2 + b^2 + c^2 \) 的值为：
A. 27
B. 36
C. 45
D. 54
9. 若 \( x \) 是方程 \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \) 的解，则 \( 2x^3 - 5x^2 + 3x \) 的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 在平面直角坐标系中，点 \( P(1,2) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为
\( Q \)，则 \( Q \) 的坐标为：
A. (2,1)
B. (1,2)
C. (2,2)
D. (1,1)
二、填空题（每题5分，共50分）
1. 若 \( x + \frac{1}{x} = 2 \)，则 \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) 的值为
______。

2. 若 \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \)，则 \( \sin \alpha \cos
\alpha \) 的值为______。

3. 在等腰三角形 \( ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( \angle A = 45^\circ \)，则 \( \angle B \) 的度数为______。

4. 若 \( \sqrt{a^2 + b^2} = c \)，则 \( a^2 + b^2 \) 的最小值为______。

5. 若 \( a, b, c \) 成等比数列，且 \( a + b + c = 12 \)，\( abc = 27 \)，则 \( c \) 的值为______。

6. 若 \( y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，则 \( y \) 的值域为______。

7. 若 \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，则 \( \tan
\alpha \) 的值为______。

8. 若 \( x^2 - 2x + 1 = 0 \)，则 \( x^3 - 2x^2 + x \) 的值为______。

9. 在平面直角坐标系中，点 \( P(1,2) \) 关于原点 \( O \) 的对称点为 \( Q \)，则 \( Q \) 的坐标为______。

10. 若 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，\( ad \neq 0 \)，则 \( \frac{a + c}{b + d} \) 的值为______。

三、解答题（共100分）
1. （20分）解方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
3x - 2y = 4
\end{cases}
\]
2. （20分）已知函数 \( y = 2x^2 - 5x + 3 \)，求：
（1）函数的顶点坐标；
（2）函数的对称轴方程。

3. （20分）在等腰三角形 \( ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( \angle A =
30^\circ \)，求：
（1）\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的度数；
（2）三角形 \( ABC \) 的面积。

4. （20分）已知 \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \beta =
\frac{\sqrt{3}}{2} \)，求：
（1）\( \tan (\alpha + \beta) \) 的值；
（2）\( \sin 2\alpha \) 和 \( \cos 2\beta \) 的值。

5. （20分）在平面直角坐标系中，点 \( P(1,2) \) 关于直线 \( y = x \) 的
对称点为 \( Q \)，求：
（1）点 \( Q \) 的坐标；
（2）直线 \( PQ \) 的方程。