微专题利用两点之间线段最短解决线段最值问题

微专题 利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型（一动+两定）
类型一异侧线段和最小值问题 问题：两定点A , B 位于直线I 异侧，在直线I 上找一点P ,使P 冊PB 值最小. 【解
题思路】根据两点之间线段最短，PA + PB 的最小值即为线段AB 的长•连接 AB 交直线I 于点P ,点P 即为所求. 连接4*史直 -1
* ______ 线#于点尸.
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针对训练：
1、如图，等边△ ABC 勺边长为4, AD 是BC 边上的中线，F
是AD 边上的动点，E 是AB 边上一点，且 AE= 2,则线段EF + CF 的最小值为 .
类型二同侧线段和最小值问题（将军饮马模型）
问题：两定点A , B 位于直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使得PA + PB 值最小.
【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点 B 关于I 2、如图，在Rt A ABC 中，AC = BC -4,点D , E 分别是AB, AC 边的中点，在CD 上找一点P ,使PA + PE 的值最小，则这个最小值为 ____________.
3、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，/ DAB= 60°, E 是AB 边上的一点，且 AE - 1,点Q 为对角线AC 上的动点，则△ BEQ 周长的最小值为 _________ .
类型三 同侧差最大值问题
问题：两定点A , B 位于直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使得|PA — PB|的值最 大.
【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA — PB|< AB,当A , B , P 点共线时，等号成立，即|PA — PB|的最大值为线段AB 的长.连接AB 并延长, 与直线I 的交点即为点P.
A 连接M £
* *林 并 芷长
1与直线厂
苍
交于点P 针对训练： 4、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3, AD = 4,连接AC,点0是AC 的中点，M 是AD 上一点, 且MD =
1, P 是BC 上一动点，贝U PM — P0的最大值为 _______________ 。

类型四 异侧差最大值问题
Ai
的对称点连
H 桧4/r 占克线r
u t{
交于点尸 \j^
C
的对称点B',连接AB ，与直线I 的交点即为点P.
针对训练： （第2题
图） （第4题
图）
问题：两定点A , B 位于直线I 异侧，在直线I 上找一点P,使得|PA — PB|的值最大. 【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决.
5、如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形，AOBO4,/ BC9 15°, P 为CD 上 的动点，贝U |PA — PB|的最大值为 _________ .
模型二 “一点两线”型（两动+—定）
问题：点P 是/ AOB 的内部一定点，在 0A 上找一点M 在0B 上找一点N,使得 △ PMN 周长最小.
【解题思路】要使△ PMN 周长最小，即PM + PN + MN B 最小.根据两点之间线段 最短，将三条线段转化到同一直线上即可.
6 如图，/ A0*30°，点M N 分别是射线OA OB 上的动点，OP 平分/ AOB 且O 圧6,则厶PMN 勺周长最小值为 ______________ .
模型三 “两点两线”型（两动+两定）
问题：点P, Q 是/AOB 的内部两定点，在OA 上找点M 在OB 上找点N,使得四 边形PQNM B 长最小.
【解题思路】要使四边形 PQNM B 长最小，PQ 为定值，即求得PM + MN + NQ 的最 小值即可，需将线段PM MN NC 三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到 作点P 关于OA 的对称点，点Q 关于OB 的对称点.
针对训练：
7、如图，在矩形ABCD 中, A 吐4, AD= 6, AN4, AF = 2,点G, H 分别是边BC , CD 上的动点，贝U 四边形EFGH 周长的最小值为 _____ .
针对训练
:
的对称点出
连获1故莽延比
针对训练:
作点“关于虎线
/ 分别作点丿咲
丿 于"4、的 时粽点
严、严
OA 于点
分别作
关于O 儿0
妾卩1儿吏O 社
和
课后练习:
1. ______________________ 如图，在O O中，AB是O O的直径，AB= 8 cm, AC = CD = BD, M是AB上一动点, 则CM + DM的最小值是.
第1题图
2. 如图，已知点C(1 , 0)，直线y =—x+ 7与两坐标轴分别交于A, B两点，D, E分
别是AB, OA上的动点，当△ CDE周长最小时，点D坐标为____________
第2题图
3. 如图，在直角坐标系中，A( —3, —1), B(—1, —3)，若D是x轴上一动点，C是y
轴上的一动点，则四边形ABCD的周长的最小值是____________ .
4. 如图，抛物线的顶点D的坐标为(一1 , 4)，抛物线与x 轴相交于A, B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C(0, 3) •若点E的坐标为(0, —3)，在抛物线的对称轴上求作一点F，使得△ CEF的周长最小，请求出点F的坐标.
课后练习答案:
1. 8 cm 【解析】如解图，作点C 关于AB 的对称点C',连接CD 与AB 相交于点M 连接C M ，DM C M + DM > C M '+ DM = C 'D ,当 M 与M 重合时，CM + DM 的值最小， 由垂径定理得， AC = AC ',••• BD = AC ',••• AB 为O O 的直径，二C D 为O O 的直径，二CM + DM 的最小值是 8 cm.
【解析】如解图，作点C 关于OA 的对称点C 关于直线AB 的对称点C 〃,
连接 CC 交 AB 于点 F , •••直线 AB 的解析式为 y =— x + 7, • OA = OB = 7, AB = 7 2, •/ C(1 ,
BC BF 6 BF
0),.・. BC = 6，易得△ BCFBAO ,•丽=丽，即= _7，二 BF = ^2，易知△ ABO 为等腰直角三角形，过点 F 作FG 丄x 轴于点G ,• FG = BG = 3, • F(4, 3)，: F 是CC 〃中 点，•可得C ” (7
6).连接C 'C 〃与AO 交于点E ,与AB 交于点D ，此时△ DEC 周长最小，
设直线 DE 的解析式为 y = kx + b ,v C ' —1, 0), C ” (7 6),「.
— k + b _ °，解得 7k + b = 6
3. 6 .2【解析】如解图，分别作 A 关于x 轴的对称点E ,作B 关于y 轴的对称点F , 连接EF 交x 轴于D ,交y 轴于C ,连接AD , BC.在x 轴，y 轴上分别任取一点 D', C 连接
AD', C D ', BC ',••• AB + BC '+ C D '+ AD >AB + BC + CD + AD = AB + CF + CD + DE = AB + EF ，当点 D , C 分别与 D ', C 重合时，AB + BC + CD + AD 最小，T A( — 3,— 1), B( — 1 , —3), • E( — 3, 1), F(1 , — 3), • AB = , (— 3+ 1) 2+(— 1 + 3) 2= 2 .2,
EF = (- 3- 1) 2+( 1 + 3) 2= 4「2,即四边形 ABCD 的周长的最小值为 AB + BC + CD
+
b =4 直线DE 的解析式为 y = 4x + 4 联 4 4 y =— x + 7
3 3，解得
y = 4x +4 25 I ••点 D 的坐标为(字,号
).
第1题解图
第2题解图
AD = AB + EF = 6 '2.
第3题解图
4.解：设抛物线的表达式为y= a(x+ 1)2+ 4,
把x = 0, y= 3 代入得：3= a(0 + 1)2+ 4，解得a=- 1 •••抛物线的表达式为y=—(x+ 1)2 + 4 =- x2-2x + 3;
如解图，作C关于对称轴的对称点C',在对称轴上任取一点 F ,连接EC交对称轴于
点 F :连接CF C'F, EF，: C F + EF > C'F'+ EF'= C E,当点 F 与 F 重合时，
CF + EF的值最小，则△ CEF的周长最小.
•/ C(0, 3)，抛物线对称轴为直线x=- 1 ,
• C' -2, 3),
易得C E的解析式为y=- 3x- 3,
当x =- 1 时，y= —3X (- 1) - 3= 0,
•- F(- 1, 0).
第4题解图。