高考复习河北省冀州中学高三第一次诊断考试数学试卷(理)(年12月28日).doc

冀州中学2006届第一次诊断考试
数学（理工农医类） .12.28
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1．答第Ⅰ卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目，用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在考题卷上。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A p B +=+。

如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为
()(1)k k
n k n n P k C p p -=-
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则()u M N ð
（A ）{5}
（B ）{0，3}
（C ）{0，2，3，5} （D ） {0，1，3，4，5}
22
=
（A ）1-+ （B ）12+ （C ）12-+ （D ）1- 3．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin cos θθ+能取到的值是
（A ）
43 （B ）34 （C ）53 （D ）12
4．若命题甲的逆命题是乙，命题甲的否命题是丙，则命题乙是命题丙的 （A ）逆命题 （B ）逆否命题 （C ）否命题 （D ）否定
5．函数
)
34(log 1
)(2
2-+-=
x x x f 的定义域为
（A ）(1,2)
(2,3) （B ）(,1)(3,)-∞+∞ （C ）
（1，3） （D ）[1，3] 6．已知直线m 、n ，平面γβα、、，则βα⊥的一个充分不必要条件为
（A ）γβγα⊥⊥，（B ）ββα⊂⊥=n m n m ，， （C ）βα⊥m m ，// （D ）βα////m m ， 7．设0a >，不等式||ax b c +<的解集是{|21}x x -<<，则::a b c 等于 （A ）1:2:3 （B ）2:1:3 （C ）3:1:2 （D ）3:2:1 8．等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则1092
1
a a -
的值为： （A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）14 9．2sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象是： （A ）关于原点成中心对称 （B ）关于y 轴成轴对称 （C ）关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 （D ）关于直线12x π=成轴对称
10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y =x (1－y ).若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则
A ．－1<a <1
B ．0<a <2
C ．2
321<<-
a D ．2
1
23<<-
a 11．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
（A ）124414
12
8C A A
（B ）124414
12
8
C C C （C ）124
4141283
3
C C C A （
D ）12443
141283C C C A 12. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角
三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （A ）(sin )(cos )f f αβ> （B ）(cos )(cos )f f αβ< （C ）(cos )(cos )f f αβ> （D ）(sin )(cos )f f αβ<
冀州中学2006届第一次诊断考试
数学（理工农医类） .12.28
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内项目填写清楚。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）
13．若2
1
)11(
lim 21
=---→x b x a x ，则常数b a ,的值分别为 。

14．函数2
x y =的图象F 按向量a (3,2)=-平移到G ，则图象G 的函数解析式为。

15．在2
5
2
1(2)x x
+
-的展开式中，常数项是 。

16．已知函数)(|2|)(2
R x b ax x x f ∈+-=．给出下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当
)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02
≤-b a ，则)(x f 在区间[,]
a +∞上是增函数；④)(x f 有最大值||2
b a -． 其中正确的序号是________。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）
在教室内有10个学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意取3人记录其校徽的号码。

（1）求最小号码为5的概率。

（2）求3个号码中至多有一个是偶数的概率。

（3）求3个号码之和不超过9的概率。

18．（本题满分12分）
在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边， 设2
2
2
2
2
()()4f x a x a b x c =---，
（1）若(1)0f =，且B －C=
3
π
，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.
已知数列}{n a 的前n 项和为1(0,)n n S ka k n N *=->∈
（1）用k 、n 表示n a ；
（2）数列}{
n b 对于任意正整数n 都有1212315()lg ()lg ()lg 0n n n n n n b b a b b a b b a ++++-+-+-=， 求证：数列}{
n b 为等差数列；
定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当2≤x ≤6时，
||
1(),(4)312x m f x n f -⎛⎫=+= ⎪
⎝⎭。

（1）求m ，n 的值；
（2）比较3(log )f m 与3(log )f n 的大小
已知函数()2f x x =在（0，+∞）上的最小值是n a （n ∈N +）
（1）求数列｛n a ｝的通项公式. （2）证明：
22322211111n a a a a ++++ <2
1. （3）在点列A n （2n , n a ）中是否存在两点A i ,A j （ 其中i, j ∈N + ），使直线A i A j 的斜率为1，若存在，求出所有数对（i, j ），若不存在，说明理由.
设x 1，x 2是函数32
2()(0)32
a b f x x x a x a =
+->的两个极值点，且12||||2x x +=。

(1) 用a 表示2
b ，并求出a 的取值范围.
(2) 证明
: ||9
b ≤. (3) 若函数1()()2()h x f x a x x '=-- ,证明:当12x x <<且x 1<0时, |()|4h x a ≤.
冀州中学2006届第一次诊断考试数学（理）参考答案
.12.28
一、选择题：BC ABAC BCDC BD
1．解：∵U={0，1，2，3，4，5} ，M={0，3，5}，N={1，4，5}； {0,2,3}U N =⇒ð(){0,3,5}{0,2,3}={0,3}U M
N =ð 故选B
2
2221222i -+===-+ 故选C
3．解：利用排除法。

002sin 202
π
θθπθ<<
⇒<<⇒>，而B 、D 的sin 20θ<；
C 的16
sin 219
θ=
>，不符合有界性。

故选A 4．解：若甲：A B ⇒；则乙B A ⇒；则丙：A B ⌝
⌝
⇒；故乙是丙的逆否命题。

故选B
5．解：22
2243013
1()2
log (43)431x x x f x x x x x x ⎧-+-><<⎧⎪=⇒⇒⎨⎨≠-+--+-≠⎪⎩⎩ 故选A 6．解：当“βα⊥m m ，// ”为条件时可推出结论“βα⊥”成立；
当“βα⊥”成立时，m 与α、m 与β的位置关系不确定。

故选C 7．解：
0,||a ax b c >+<且的解是：21x -<<
c b c b
c ax b c x a a
+-∴-<+<⇒-
<<
， 则22::2:1:31
c b
c b a a
a b c c b c b a a
+⎧-=-⎪+=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨
--=⎩⎪=⎪⎩ 故选B 8．解：因为数列{n a }为等差数列，设公差为d.
若1201210864=++++a a a a a ，又因为：41261082a a a a a +=+= 88512024a a ∴=⇒= 而9109910989102()1
22222
a a a a a a d a a a -+---
==== 故选C 9．解：因为2sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
若是关于中心对称：则32()3
6k x k x k Z π
πππ-+
=⇒=
∈，故0,12
x x π
≠≠，所以不关于
指定的点成中心对称； 若是关于轴对称：则2()3
2
212
k x k x k Z π
π
ππ
π+
=+
⇒=
+∈ 0k ∴=时，对称轴为12
x π
=
故选D
10．解：因定义运算⊗：x ⊗y =x (1－y ) ，所以不等式(x －a )⊗(x +a )<1
即 2
2
2
2
()[1()]1()()110x a x a x a x a x x a a --+<⇒---<⇒--++> 又因为对一切x 都成立，所以0∆<，即21314(1)022
a a a --++<⇒-
<< 故选C
11．解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选
出12人，然后这12人再来分组排班。

12444
141284C C C C ∴ 故选B
12．解：
()y f x =是偶函数，且在[3,2]--上是减函数，所以在[2,3]上是增函数；
又(2)(2)()2f x f x f x T -=-=⇒∴=
故()y f x ∴=在[0,1]上是增函数；,αβ是钝角三角形的两个锐角，2
π
αβ∴+<
0sin sin()sin cos 2
22
π
π
π
αβαβαβ<<
-<
⇒<-⇒<， 而0sin cos 1αβ<<<
所以：(sin )(cos )f f αβ< 故选D 二、填空题： 13．1,2a b ==； 解：21
111
lim(
)lim[]112(1)(1)2
x x a b ax a b x x x x →→+--=⇒=---+，1ax a b x ∴+-=-
1112
a a a
b b ==⎧⎧∴⇒⎨
⎨
-=-=⎩⎩ 14．2
67y x x =-+ 解： 2233
(2)(3)()6722
x x x x y x y x x y y y y ''=+=-⎧⎧'''''⇒⇒+=-⇒=-+⎨
⎨''=-=+⎩⎩
15．－252 解： 2
52510101021101021111(2)[()]()()(1)()r r r r r r
r x x x T C x C r x x x x
--++
-=-=-⇒=-=-
55
51105(1)252r T C +=⇒=-=-
16．③
解：①不恒为偶函数；
②2
2
2
(0)(2)|||44|(44)2(44)f f b a b b a b a b =⇒=-+⇒=-+-+， 所以122a b a ==-或，若2()|2|()f x x x b x R =-+∈⇒关于1x =对称， 若2
()|222|f x x ax a =-+-⇒不恒关于1x =对称； ③02
≤-b a 时，整个图象在x 轴的上方（或顶点在x 轴上）
22()|2|2f x x ax b x ax b =-+=-+，故)(x f 在区间[,]a +∞上是增函数；
④无最大值。

（开口向上） 三、解答题
17．解：（1）从10人中任取3人，共有3
10C 种，最小号码为5，相当于从6，7，8，9，10共五个中任取2个，则共有2
5C 种结果.
则最小号码为5的概率为P= 31025C C =12
1
………………（4分）.
（2）选出3个号码中至多有一个是偶数，包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况，共有
25
15
3
5
C C C +种.所以满足条件的概率为P=21
3
10251535=+C C C C ……（8分） （3）3个号码之和不超过9的可能结果有：
（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，2，6）、（2，3，4）、（1，3，4）、（1，3，5） 则所求概率为. P=
3
107C =120
7
………………（12分）. 18．解；（1）由f （1）=0，得a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c …………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分） ∵B －C=
3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3
π
+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （
3π）cosC + cos 3
π
sinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分） ∴tanC=
3
3
……………（5分）
∵角C 是三角形的内角，∴C=
6
π
…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2+2b 2－4c 2=0，即a 2+b 2－2c 2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC=ab
c b a 22
22-+……………………（8分）
=ab
b a b a 222
22
2
+-
+ ∴cosC=ab b a 422+2
1
42=≥ab ab （当且仅当a=b 时取等号）…………（10分）
∴cosC ≥
2
1， ∠C 是锐角，又∵余弦函数在（0，2π）上递减，∴.0<C ≤3
π
………………（12分） 19．解：（1）1n =时，
111111
1,(1)1,,1S ka a k a a k
=-=∴+=∴=
+ 2n =时，11111(1)n n n n n n n a S S ka ka ka ka ++++=-=---=- …………3分
11(1),,1
n n n n a k
k a ka a k ++∴+=∴
=∴+数列}{n a 为等比数列， ………………4分 1
111()11(1)n n n n
k a k k k +-∴==+++，……………………………………………………5分
（2）由题意知：
24
1221111()lg ()lg ()lg 011111n n n n n n k k b b b b b b k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫
-+-+-= ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭
2122()lg(1)()lg(1)2()lg
1
n n n n n n k
b b k b b k b b k ++++∴-++-++-+ 11()lg(1)4()lg
01n n n n k
b b k b b k
+++-++-=+ ………………8分 212121()lg(1)2lg (22)01n n n n n n n n n n k
b b b b b b k b b b b k
++++++∴-+-+-++-+-=+ 212lg
(2)01n n n k
b b b k
++∴+-=+
21lg
0201n n n k
b b b k
++≠∴+-=+
即212n n n b b b +++=， 故数列}{
n b 为等差数列。

……………………12分 20．解：（1）∵f(x)在R 上满足f (x+4)=f (x)，∴4是f(x)的一个周期.∴f (2)= f (6)…（2分）
∴m
-⎪⎭
⎫
⎝⎛221+n=n m
+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-621 ①，
又∵f (4)=31，∴m
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛421+n=31 ② ……………（4分）
联解①、②组成的方程组，得m =4，n=30…………………（6分）.
（2）由（1）知，f(x)=4
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛x +30，x ∈[]6,2.
∵1<24log 3< , ∴5<644log 3<+.∴f （log 3 m ）= f （log 3 4）=f （44log 3+）
=4
44log 321-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=30214
log 3+⎪⎭
⎫ ⎝⎛……………………………（8分）
又∵3<430log 3<，∴f （log 3 n ）= f （log 3 30）=30214
30log 3+⎪
⎭
⎫
⎝⎛-
=302130
log 43+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=302130
81log 3
+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛…………………（10分）
∵4log 3081log 33
<，∴<⎪⎭
⎫ ⎝⎛4
log 32130
81log 3
21⎪⎭
⎫
⎝⎛
∴<+⎪
⎭⎫ ⎝⎛30214
log 330
81log 3
21⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+30，∴f （log 3 m ）<f （log 3 n ）………（12分）.
21．解：（1）由f (x)=2n 21x +－x ，得()f x ' =
1122
-+x
nx ……………（1分）
令()f x ' =0，得x=1
412
-n ……………………（2分）
当x ∈（0 ,
1
412
-n ）时，()f x ' <0. 当x ∈（
1
412
-n ,+∞）时，()f x ' >0.
∴f (x )在（0，+∞）上有极小值f (
1
412-n ) =142-n .
∴数列｛a n ｝的通项公式a n =142-n …………………………………（5分） （2）∵
14112
2-=n a n
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=12112121n n ………………………（6分）. ∴
22322211111n a a a a ++++ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-121121
513131121n n 2
1121121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
n ………………（8分） （3）依题意，设A i （2i , a i ），A j （2j , a j ）（ 其中i, j ∈N + ）是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=
()
()
j i j i j i a a j i ----=
--21
414222
()
()(
)
1
414242
2
2
2-+---=
j i j i j i ……………………（9分）
()
()>
-+-+=
1
41422
2
j i
j i ()
()
2
2
442j
i
j i ++=1……………………（11分）
∴不存在这样的点列，使直线A i A j 的斜率为1……………………（12分）. 22．解：（1）∵f (x ) =
3a x 3 + 2
b x 2–a 2
x ，∴f 1(x ) = a x 2 + bx –a 2 …………（1分） ∵x 1 ，x 2是f (x )的两个极值点，∴x 1 ，x 2是方程a x 2 + bx –a 2=0的两个实根…（2分）
∵a > 0 ，∴x 1 x 2=- a 2
，x 1 +x 2=a b - ，∴︱x 1︱+︱x 2︱=︱x 1 - x 2 ︱=a a
b 42
2
+=2， ∴4422
=+a a
b ，∴b 2 = 4a 2 －4a 3 ……………………（4分） ∵b 2≥0 ，∴4a 2 －4a 3≥0 ，∴0<a ≤1…………………………（5分）
（2）∵b 2 = 4a 2 －4a 3 （0<a ≤1），令g(a)= 4a 2 －4a 3 ,∴g ' (a ) =8 a –12a 2…（6分） 由g ' (a) >0 ,得0<a<32 , 由g ' (a) <0 ,得3
2
<a ≤1. ∴g(a)在(0 ,
32)上递增，在(3
2
,1)上递减.……………………………（8分）
∴g(a)在(0 ,1)上的最大值是g(
32)=27
16. ∴g(a) ≤
2716.∴ b 2≤27
16
.∴ ∣b ︱≤934……（10分）
（3）∵x 1 ，x 2是方程a x 2 + bx –a 2=0的两个实根，∴f 1(x ) = a （x –x 1）（x-x 2）. ∴h(x ) = a （x –x 1）（x-x 2）－2a （x –x 1）= a （x –x 1）（x-x 2－2）………（11分）
∴∣h(x )∣= a ∣x –x 1∣∣x-x 2－2∣≤2
2122⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-x x x x a ……（12分） ∵x>x 1 ，∴x –x 1>0. 又∵x 1<0，∴x 1 x 2<0 ，∴ x 2>0 .∴ x 2+2>2 . 又∵x<2，∴x －x 2－2<0 ……………………………………………（13分）
∴∣h(x )∣≤22122⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-x x x x a =2
1222⎪⎭
⎫
⎝⎛+-x x a .
又∵∣x 1∣+∣x 2∣=2,且x 1<0， x 2>0 ，∴ x 2－x 1=2 .
将其代入上式得∣h(x )∣≤4a.………………………………………（14分）。