届高考数学一轮总复习1相似三角形的判定及有关性质练习(选修4_1)【含答案】

合集下载

相似三角形的判定及性质(选修4-1)

例如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证: △DBE∽△ABC. 分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE 只需要再证明 BE BC BE BD BD AB 即证
BC AB
A
D B E C
只要证明△ABD∽△CBE
例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、 CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC 证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
请大家阅读课本P10-P12的内容，回答下面几个问题： 1，如何判定相似三角形？ 2，相似在三角形有什么特点？
例如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD A 分析: 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似 D 证明: ∵△ABC是等腰三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。
判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
自主学习：
时间：3分钟
当堂检测：
课本P19，习题：T1.
课后作业：课本P19，习题：T2，T5.
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
1．相似三角形的证法： ①定义法：对应边成比例，对应角相等； ②平行法；③判定定理法：用得最多的是判定定理1，即两角对应相等的两个三角形相似； ④对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法，两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似．

高考高考数学一轮复习选修部分第1讲相似三角形的判定及有关性质知能训练轻松闯关理北师大版选修4_1

第1讲相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF∥BC ⇒EF ＝MC ＝12cm ，所以BC ＝2MC ＝24cm .2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE∶EB＝1∶2，DE 与AC交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，求△ABC 的面积．解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD.因为AE ∶EB＝1∶2，所以AE∶DC＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3，所以△AEF 与△ABC，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE∶AB＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH∥BE.连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H.若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：因为AH∥BE，所以HF HE ＝AFAB .因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH∥BE，所以HD DE ＝ADDC.因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF ＝2DE·AF.证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N.在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF.因为DN∥AF，所以△AFE∽△DNE，所以AE AF ＝DE DN.又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF. 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF∥AB，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE·PF. 证明：如图，连接PC.易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP. 因为CF∥AB，所以∠F＝∠ABP. 从而∠F＝∠ACP.又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以CP FP ＝PE PC. 所以PC 2＝PE·PF.又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE·PF. 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE⊥BC，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE∥AM，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。

三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习选修4-1相似三角形的判定及有关性质(含答案详析)

[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为______ cm.解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点， M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 33．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得 ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos ∠ECD＝⎝⎛⎭⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝212. 答案：2124.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝m n(m ，n >0)，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n.两式相乘即得BE EC ＝m ＋n n. 答案：m ＋n n5．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：72[课下提升考能]1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO与DE 交于N ，AO 的延长线与BC 交于M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________. 解析：∵OD OC ＝DN MC ＝14， OE OB ＝OD OC ＝14， ∴NE BM ＝OE OB ＝14，又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14，∴AE ∶EC ＝1∶3.答案：1∶4 1∶32.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的所有序号为________．①∠ADE ＝∠C ；②∠AED ＝∠B ；③AD AC ＝AE AB ；④DE BC ＝AE AB；⑤DE ∥BC . 解析：由题图可知∠A 为公共角，由判定定理可知，①②正确；由∠A 为夹角可知，③正确；由平行线分线段成比例的定理的推论知⑤正确；④不符合两边及其夹角法．答案：①②③⑤3.在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8，则AC ＝________，CD 2BC 2＝________. 解析：由EF ∥CD 可知，△AEF ∽△ADC .于是有AE AD ＝AF AC，由已知条件代入得，66＋3＝8AC ，所以AC ＝12. 又由∠AFE ＝∠B ，得△AFE ∽△ABC ，从而△ACD ∽△ABC .所以CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34，即CD 2BC 2＝916. 答案：12 9164．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)，∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD .易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 答案：6∶35.如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于________．解析：由题意知：BC ＝EC ，又∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴EC＝12AB . 即BC ＝12AB .∴∠A ＝30°. 答案：30°6.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF ＝________.解析：设BF ＝x .若△CFB ′∽△CBA ，则CF CB ＝B ′F AB ，即4－x 4＝x 3. ∴12－3x ＝4x ，∴x ＝127. 若△CFB ′∽△CAB ，则CF CA ＝B ′F AB ，即4－x 3＝x 3，得x ＝2. 即BF ＝2或127. 答案：2或1277.如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9cm 2，S △AOB ＝________.解析：∵在▱ABCD 中，AB ∥DE ，∴△AOB ∽△EOD ，∴S △AOB S △DOE ＝⎝⎛⎭⎫AB DE 2.∵E 是CD 的中点，∴DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.答案：36 cm 28．已知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，E 是AB 的中点，EF交BD 于G ，交AC 于H .若AD ＝5，BC ＝7，则GH ＝________.解析：令BD 交AC 于M ，由AD ∥EF ∥BC 且AE ＝EB 知BG ＝GD ，AH＝HC .又AD ＝5，BC ＝7.AD ∥BC 知BM MD ＝CM MA ＝BC AD ＝75. 又GM MD ＝HM MA ＝15. ∴GH AD ＝15∴GH ＝1.答案：19．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________.解析：延长ME 交CD 的延长线于点G ，则△AME ∽△DGE ，所以AE ED ＝AM DG ＝12，所以DG ＝2AM ＝DC .又△AMF ∽△CGF ，所以AF FC ＝AM CG ＝14. 答案：1410．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝70°，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP ⊥BC 于点P ，FQ ⊥AC 于点Q ，则∠CQP 的大小为________．解析：由FP ⊥BC ，FQ ⊥AC ，得C ，Q ，F ，P 四点共圆，所以∠CQP ＝∠CFP ＝∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(60°＋70°)＝50°.答案：50°11．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355. 答案：35512．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23， EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝13. ∴AD ＝3.∴AB ＝32·AD ＝92. 答案：9213．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD的面积比为________．解析：将线段AD 与BC 延长交于点H (如图所示)．根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得S △HCD S △HEF ＝49，S △HCD S △HAB ＝416，故梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.答案：7∶514．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 边上，且CD ＝1.若∠CAD ＝∠B ，则BD ＝________.解析：作出草图，依据题意tan ∠CAD ＝tan ∠B ，即12＝21＋BD ，∴BD ＝3.答案：315．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF 的长为________．解析：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AF AB. ∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14， ∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD DC. ∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.答案：216．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE的延长线交BC 于F ，则S △BEF S 四边形DEFC的值为________．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，所以S △BEFS △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.答案：11417．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，则AF AC的值为________．解析：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17. 答案：17。

高考数学一轮复习 1相似三角形的判定及有关性质课件文湘教版选修4-1

a
20
如图，已知在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
【解析】 (2)若 S△FCD＝5，BC＝10，求 DE 的长．． (1)证明：∵DE⊥BC，D 是 BC 边上的中点， ∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD，又 AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△ FCD.
【解析】∵M、N 分别是 AB、BC 中点，
故 MN= 1 AC， 2
∴△MON∽△COA，∴ SMON S MON
MN 2 AC 2
1. 2
【答案】1∶4
a
13
5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若 BC＝3，DE＝2，DF＝1，则 AB 的长为
.
【解析】由 DE∥BC，
EF∥CD， BC＝3，DE＝2.
FD AD 1
FE 4
又因为 BG=GE，
所以 BF BG GF EF 2GF 6GF 3 .
FE 4GF
4GF 4GF 2
a
17
【变式训练】1.如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，M 是 AD 上一点，BM、CM 的延长线分别交 AC、AB 于 F、E. 求证：EF∥BC.
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】因为 CD 和 BE 是高，可得∠DCA＝∠EBA，所以△BOD 与△COE，△CAD，△BAE 相似．故选 C. 【答案】C
a
11
3.（2014·广州模拟）如图，已知在 ABCD 中，O1 ，O2 ，O3 为对角线 BD 上三点，且 BO1 ＝O1 O2 ＝O2 O3 ＝O3 D，连接 AO1 并延长交 BC 于点 E，连接 EO3 并延长交

高考数学一轮复习几何证明选讲第1课时相似三角形的判定及有关性质课件理(选修41)

______第三边． •平推分论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_____
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.

高中数学选修4-1(人教A版)第一讲相似三角形及有关性质1.4知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理
一、学习任务
理解直角三角形射影定理．
二、知识清单
相似三角形的判定及有关性质
三、知识讲解
1.相似三角形的判定及有关性质
相似三角形
如果在两个三角形中，对应角、对应成比例，则这两个三角形叫做相似三角形（similar
triangle）．设相似三角形对应边的比值为，则叫做相似比（或相似系数）．
相似三角形的判定定理
判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．
判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．　
判定定理3 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的性质
性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
平行截割定理
平行截割定理三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
射影定理
射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．
如图，在中，，，则有，
，．
k k Rt△ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB B =BD ⋅AB C 2A =AD ⋅AB C 2C =AD
⋅BD D 2
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

一轮复习配套讲义：选修4-1 第1讲相似三角形的判定及有关性质

第1讲相似三角形的判定及有关性质[最新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.诊断自测1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案3 22.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC 等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝3 2.又EF＝8，∴BC＝12.答案123. (2014·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC ＝________.解析在Rt△ADB中，DB＝AB2－AD2＝7，依题意得，△ADB∽△ACE，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3.答案 1∶ 35. (2014·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________.解析如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.答案12考点一平行截割定理的应用【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2⇒AEAC＝AFAD＝DEBC＝23，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又ADAB＝23，∴AB＝92.答案92规律方法利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.∴xx＋h1＝23，得x＝2h1，x＋h1x＋h1＋h2＝34，得h1＝h2.∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二相似三角形的判定及性质【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点， ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析 ∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ，又∠C ＝∠A ，则有∠A ＝∠PED ，又∠为公共角，所以△PDE∽△PEA，PD PE＝PEP A，即PE2＝PD·P A＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD 交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.解析在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝ADAC＝45，得AC＝5，CD＝AC2－AD2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ，△DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ，再结合第(1)问结论得证．证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 综合(1)的结论知，AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD ∽△ABD ，从而无法解答．(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用．【自主体验】(2013·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明连接OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以AD AC ＝OD BC . 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .一、填空题1．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________．解析由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD 2.(2014·西安模拟)如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M ，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 1∶4 3.(2014·渭南模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.解析由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC . 又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.答案 24.(2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝a2，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝12DB＝1 2a.答案a 25．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案96．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED ＝________.解析在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212.答案2127.(2014·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________. 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ，∴4EF ＝BC BC －BF，BC BF ＝12EF ， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ，∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF ＝3.答案 38.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.解析∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20，△OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32，∴EF＝2×1232×20＝15.答案159．(2012·广东卷)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝________.解析连接AO，AC，因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC 为等边三角形，则∠ACP＝120°，∴∠APC＝30°，∴△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1，∴P A＝2×1×sin 60°＝ 3.答案 3二、解答题10.如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.11．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.。

高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)

相似三角形的判定及有关性质知识点1：比例线段的相关概念比例线段：对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．知识点2：比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点:4：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=0.618AB ≈．知识点5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BC DE //Θ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外；②位似中心可取在多边形的一条边上；③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.圆的章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合；轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇔d r <⇔点C 在圆内；2、点在圆上⇔d r =⇔点B 在圆上；3、点在圆外⇔d r >⇔点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇔d r >⇔无交点；2、直线与圆相切⇔d r =⇔有一个交点；3、直线与圆相交⇔d r <⇔有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇔ 无交点 ⇔d R r >+；外切（图2）⇔ 有一个交点⇔d R r =+；AD相交（图3）⇔ 有两个交点⇔R r d R r -<<+；内切（图4）⇔ 有一个交点⇔d R r =-；内含（图5）⇔ 无交点 ⇔d R r <-；五、垂径定理弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论.即：AB 是直径;②AB CD ⊥;③CE DE =;④ 弧BC =弧BD ( );⑤ ;中任意2个条件推出其他3个结论. 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等——也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③图4图5»»BCBD =»»AC AD =DB AB AOOC OF=;④推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等；推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半.符号语言：①∵在Oe中，C D∠∠、都是弧AB所对的圆周角∴C D∠=∠②∵AOB∠和ACB∠是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB∠=∠图形语言：推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90︒的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言：∵在Oe中，AB是直径∴=90C︒∠;或∵=90C︒∠∴AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形符号语言：在△ABC中，∵OA OB OC==∴△ABC是直角三角形或=90C︒∠八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.»»BA ED=符号语言：∵在O e 中，四边形ABCD 是内接四边形 ∴180180C BAD B D DAE C ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=∠，，图形语言：圆的内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，180180C BAD B D ︒︒∠+∠=∠+∠=， ∴A B C D 、、、四点共圆圆的内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，DAE C ∠=∠ ∴A B C D 、、、四点共圆九、切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （1）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是O e 的切线图形语言：（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心.2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言：∵PA PB 、是的两条切线 ∴=PAPB 且PO 平分APB ∠图形语言：3、弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.符号语言：∵BAC ∠是圆的一个弦切角 ∴BAC APC ∠=∠4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言： ∵在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言：∵在⊙O 中，直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.符号语言：∵在⊙O 中，PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.符号语言：∵在⊙O 中，PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅图形语言：PO DC BA OE DCBADEC BPAO十、圆内正多边形的计算（1）正三角形：在O e 中，△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，::2OD BD OB =（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，::OE AE OA =（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，::2AB OB OA =十一、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. →用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. →用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。

选修4-1-1 相似三角形的判定及有关性质

选修4－1－1 相似三角形的判定及有关性质一、填空题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，AD ∶AB ＝1∶3.若DE ＝2，则BC ＝__________.解析：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝DE BC ，即13＝2BC.解得BC ＝6. 答案：62．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，延长AE 交BC 于F ，则BFFC＝__________.解析：如图，过D 作DG ∥BC 交AF 于G ，∵E 是BD 的中点，∴DG ＝BF .又∵DG ∥BC ，∴DG FC ＝AD AC ＝12.∴BF FC ＝DG FC ＝12. 答案：123．如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是__________．解析：∵M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .∴△MNO ∽△CAO .∴S △MON S △COA ＝⎝⎛⎭⎫MN AC 2＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 答案：1∶44．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD ＝__________.解析：∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△CDB ∽△CBA . ∴BC AC ＝CD BC ，即63＝CD 6. ∴CD ＝2. 答案：25．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12.则BE ＝__________.解析：由于∠B ＝∠D .∴∠AEB ＝∠C ，从而得△ABE ∽△ADC . ∴AB AD ＝AE AC解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2. 答案：4 26．如图所示，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝__________；DN ＝__________.解析：∵AD ∥BC ，BE ＝EF ＝FD ， ∴BM AD ＝BE DE ＝12. ∵AD ＝BC ＝24，∴BM ＝12. ∵AD ∥BC ， ∴DN BM ＝FD FB ＝12. ∴DN ＝12BM ＝6.答案：12 67．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为__________．解析：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴CD 2＝AD ·BD .设AD ＝3x ，那么BD ＝2x ，AB ＝5x ， ∵CD ＝6，∴6x 2＝62. ∴x ＝6，AB ＝5x ＝5 6. ∵CE 是斜边AB 上的中线，∴CE ＝12AB ＝52 6.答案：5268．如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件：________________，使得△ADE ∽△ABC .解析：∵∠A ＝∠A ，由两角对应相等，两三角形相似，可添加∠1＝∠B 或∠2＝∠AED .由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加AE AC ＝ADAB.答案：∠1＝∠B 或∠2＝∠E 或AE AC ＝ADAB.9．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F ，若AE AD ＝14，则AFAC的值为__________．解析：过点A 作AG ∥BC ，交BF 延长线于点G . 由AE AD ＝14，得AE ED ＝13，由△AGE ∽△DBE ，得AG BD ＝AE ED ＝13.由D 为BC 中点，知BC ＝2BD ，故AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16.故AF AC ＝17.答案：1710．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且BC ∶AC ＝2∶3，则BD ∶AD ＝__________.解析：由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD AD ＝49.答案：49三、解答题 11．(2014·苏北模拟)如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F E .12(1)求证：△ABF ∽△COE ；(2)当O 为AC 边中点，AC AB ＝2时，如图2，求OFOE 的值；(3)当O 为AC 边中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OFOE的值．解析：(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAF ＝∠C .∵OE ⊥OB ，∴∠BOA ＋∠COE ＝90°， ∵∠BOA ＋∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠COE . ∴△ABF ∽△COE ；(2)方法一：作OG ⊥AC ，交AD 的延长线于G . ∵AC ＝2AB ，O 是AC 边的中点， ∴AB ＝OC ＝OA .由(1)有△ABF ∽△COE ，∴△ABF ≌△COE ，∴BF ＝OE . ∵∠BAD ＋∠DAC ＝90°， ∠DAB ＋∠ABD ＝90°，∴∠DAC ＝∠ABD ，又∠BAC ＝∠AOG ＝90°，AB ＝OA . ∴△ABC ≌△OAG ，∴OG ＝AC ＝2AB .∵OG ⊥OA ，∴AB ∥OG ，∴△ABF ∽△GOF ， ∴OF BF ＝OG AB ，OF OE ＝OF BF ＝OG AB ＝2. 方法二：∵∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，AD ⊥BC 于D ， ∴Rt △BAD ∽Rt △BCA . ∴AD BD ＝AC AB＝2. 设AB ＝1，则AC ＝2，BC ＝5，BO ＝2，∴AD ＝255，BD ＝155.∵∠BDF ＝∠BOE ＝90°，∴△BDF ∽△BOE ， ∴BD DF ＝BO OE. 由(1)知BF ＝OE ，设OE ＝BF ＝x ， ∴155DF ＝2x，∴x ＝10DF . 在△DFB 中x 2＝15＋110x 2，∴x ＝23.∴OF ＝OB －BF ＝2－132＝232，∴OF OE ＝232132＝2. (3)OF OE＝n .12．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与AB 、AD 分别交于点F 、E .(1)如图①，DG ∥CF 交AB 于点G ，当D 是BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AFFB.(2)如图②，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB.(3)如图，当BD DC ＝m n 时，猜想：AE ED 与AFFB之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵DG ∥CF ，BD ＝DC ，∴BG ＝FG ＝12BF .∵FE ∥DG ，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝AF 12BF ＝2AFBF.(2)过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点，∴AE ED ＝AFFG.又BD DC ＝12， ∴DC ＝2BD ＝23BC .∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝23.∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF2BF.(3)当BD DC ＝m n 时，有等式：AE ED ＝m ＋n n ·AF FB.证明如下：如题图，过D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∴AE ED ＝AF FG . 又∵BD DC ＝m n ，∴BC DC ＝m ＋n n.∵DG ∥FC ，∴BF FG ＝BC DC ＝m ＋nn.∴FG＝nm＋nBF.∴AEED＝AFnm＋nBF＝m＋nn·AFBF.。

选修4-1 第1讲相似三角形的判定及有关性质含答案

选修4-1 几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质一、填空题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝________，BC ＝________.解析在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254. ∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154. 答案 3 1542. 如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________.解析在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD ＝27.答案 273. 如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________.解析 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ，∴4EF ＝BC BC －BF，BC BF ＝12EF ， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ，∴BC BF ＝14＝12EF ，∴EF ＝3.答案 34. 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BF FC ＝________.解析如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在三角形BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为三角形BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.答案 125. 如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13. 故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 36. 如图，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于M ，则BM ＝________，CG ＝________.解析 ∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH＝16，∴ABAD＝14，BMDH＝ABAD.∴BM16＝14，∴BM＝4.取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，∴PQ＝12(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14.同理：CG＝12(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.答案4157. 在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝________.解析过点A作AM⊥BC于M，由于∠B ＝∠ECD，且∠ADC＝∠ACD，得△ABC与△FCD相似，那么S△ABCS△FCD＝⎝⎛⎭⎪⎫BCCD2＝4又S△FCD＝5，那么S△ABC＝20，由于S△ABC＝12BC·AM，由BC＝10，得AM＝4，又因为DE∥AM，得DEAM＝BDBM，∵DM＝12DC＝52，因此DE4＝55＋52，得DE＝83.答案8 38. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.解析∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DE BF .∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM .∴BM ＝13DB ＝3.答案 3二、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证：(1)△ABC ≌△DCB ；(2)DE ·DC ＝AE ·BD .证明 (1)∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD . ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB .(2)∵△ABC ≌△DCB .∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB .∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC . ∴∠DAC ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB .∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC .∴∠EDA ＝∠DBC ，∴△ADE ∽△CBD .∴DE ∶BD ＝AE ∶CD .∴DE ·DC ＝AE ·BD .10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ；(2)∠ADE ＝∠EBC .证明设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a .(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23.又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°. ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝2a，故AEEF＝a2a＝22，ADBF＝2a22a＝22，∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.。

高考一轮作业：选修4-1-1相似三角形的判定及有关性质(含答案)

时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题(每小题7分，共70分)1．(2018·十堰二模)如图，l 1∥l 2∥l 3，BC ＝3，DEEF＝2，则AB ＝________.解析：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DEEF ，即AB3＝2，解得AB ＝6. 答案：62．(2018·湛江二模)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，那么与△ABC 相似的三角形的个数是________．解析：与△ABC 相似的三角形有△DBE ，△CBD ，△CDE ，△ACD ，共4个．答案：43．(2018·黑龙江部分重点中学联考)如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD＝________.解析：∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AFAC ，又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CFAC ，∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC ＝1. 答案：14．(2018·东北四校一模)如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9cm 2，则S △AOB ＝________.解析：在▱ABCD 中AB ∥DE ， ∴△AOB ∽△EOD ，∴S △AOB S △DOE ＝(AB DE)2，∵E 是CD 中点，∴DE ＝12CD ＝12AB ，∴AB DE ＝2，∴S △AOB S △DOE ＝22＝4， ∴S △AOB ＝4S △DOE ，而S △DOE ＝9cm 2， ∴S △AOB ＝4×9＝36(cm)2. 答案：36cm 25．(2018·临沂期末)如图，已知四边形ABCD 是一个平行四边形，EF ∥AB ，EF 与AC 交于点G ，若△AEG 的面积为4，平行四边形ABCD 的面积为18，则AG ∶GC 的值是________．解析：由EF ∥AB ，AB ∥CD 得EF ∥DC ，从而△AEG ∽△ADC. 于是S △ADC S △AEG ＝(AC AG)2，即12S ▱ABCD S △AEG ＝(AC AG)2， ∴94＝(AC AG )2，AC AG ＝32，AGGC ＝2. 答案：26．(2018·伽师二中二模)如图，已知AD ∥EG ∥BC ，AD ＝6，BC ＝9，AE AB ＝23，则GF 的长为________．解析：∵AD ∥EG ∥BC ， ∴EG BC ＝AE AB ，EF AD ＝BE BA . ∵AE AB ＝23，∴BE AB ＝13， ∴EF AD ＝13，EG BC ＝23. 又∵AD ＝6，BC ＝9， ∴EF ＝2，EG ＝6， ∴GF ＝GE －EF ＝4. 答案：47．(2018·南昌一模)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.解析：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58， ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58， ∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. 答案：158．(2018·南阳一中模拟)两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355.答案：3559．(2018·太原五中月考)已知如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________．解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB·AD. 设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62＝x(x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4或x ＝－9(舍去)， ∴AD ＝4. 答案：410．(2018·赣县考前适应)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，BC 2＝BD·AB，则∠ACB ＝________.解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD·AB，得BC BD ＝AB CB ，又∠B ＝∠B ，所以△ABC ∽△CBD. 则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°二、解答题(每小题10分，共30分)11．(2018·山西大学附中)如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有多少个？解：设AP ＝x. (1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3.(2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x 6－x，解得x ＝32.所以符合条件的点P 有2个．12．(2018·卫辉月考)如图是两个相同的正六边形，其中一个正六边形的顶点在另一个正六边形外接圆圆心O 处，求图中重叠部分面积与阴影部分面积之比．解：取特殊值，当点A′与A 重合时，点E′与C 重合即可．此时四边形OABC 的面积，恰好为多边形OAFEDC 面积的12.所以所求面积之比为1∶2.13．(2018·豫北六校精英联考)在矩形ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，要使BC 边上至少存在一点P ，使△ABP ，△APD ，△CDP 两两相似，试求a 、b 间的关系．解：结合图形易知，要使△ABP ，△APD ，△CDP 两两相似，必须满足AB CP ＝BPCD .即b CP ＝BP b，BP·CP＝b 2. 设BP ＝x ，则CP ＝a －x ，所以(a －x)x ＝b 2，即x 2－ax ＋b 2＝0. 要使BC 边上至少存在一点P ，必须满足Δ＝(－a)2－4b 2≥0，所以a≥2b.故a ，b 应满足a≥2b.。

2021年高考数学一轮总复习 1相似三角形的判定及有关性质练习(选修4-1)

2021年高考数学一轮总复习 1相似三角形的判定及有关性质练习（选修4-1）一、填空题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，AD AB ＝1 3.若DE＝2，则BC＝__________.解析∵DE∥BC，∴ADAB＝DEBC，即13＝2BC.解得BC＝6.答案62．如图所示，已知DE∥BC，BF EF＝32，则AC AE＝________，AD DB＝________. 解析∵DE∥BC，∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF EF＝32，∴AEAC ＝EFBF＝23.∴AC AE＝3 2.同理DE∥BC，得AB AD ＝32，即AB AD ＝32.∴AD AB ＝23，则AD AB －AD ＝23－2＝2. 即ADBD ＝2.∴AD BD ＝2 1.答案 32 213．如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析连接DE 和BD ，依题知，EB∥DC，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB⊥AB，∴DE⊥AB，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a. ∵E，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF＝12DB ＝12a.答案a24．(xx·湖南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AE BE ＝12，若△AEF 的面积等于1 cm 2，则△CDF 的面积等于________ cm 2.解析 ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又AE CD ＝AE AB ＝13，且相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方，∴△CDF 的面积等于9 cm 2. 答案 95．如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC 面积的比是________．解析∵M，N分别是AB、BC中点，故MN綊12AC，∴△MON∽△COA，∴S△MONS△AOC＝⎝⎛⎭⎪⎫MNAC2＝14.答案1 46．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.解析由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝AEAC.又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝AB·ACAD＝6×412＝2.答案 27．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD＝________.解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.答案98．(xx·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________. 解析 ∵AB∥CD∥EF， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF， ∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF ，∴4(BC－BF)＝12BF ，∴BC＝4BF ，∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF＝3. 答案 39．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE⊥AC，垂足为E ，则ED ＝________. 解析 tan ∠BCA＝BA BC ＝33，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE·CD·cos ∠ECD ＝3322＋32－2×332×3×12＝212.答案212二、解答题10．如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2＝BE·CD.证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BC BE ＝CDBC ，即BC 2＝BE·CD.11．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF 2＝AD·BC.证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB. 从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边．得Rt △BCE≌Rt △BFE，所以BC ＝BF. 同理可证Rt △ADE≌Rt △AFE，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2＝AF·BF，所以EF 2＝AD·BC.12．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 与AD 分别交于点F ，E.(1)如图(1)，DG∥CF 交AB 于点G ，当D 是BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AFFB ；(2)如图(2)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB .证明 (1)∵DG∥CF，BD ＝DC ， ∴BG＝FG ＝12BF.∵FE∥DG，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝AF 12BF ＝2AF BF. (2)过点D 作DG∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AF FG. 又BD DC ＝12，∴DC＝2BD ＝23BC. ∵DG∥FC，∴FG BF ＝DC BC ＝23. ∴FG＝23BF，∴AE ED＝AF 23BF ＝3AF 2BF.2678568A1梡K39287 9977 饷40627 9EB3 麳31781 7C25 簥25977 6579 敹 36608 8F00 輀 22489 57D9 埙37055 90BF 邿20534 5036 倶。

【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习：选修4-1-1相似三角形的判定及有关性质(含答案解析)

课时提升作业七十三相似三角形的判定及有关性质(45分钟60分)1.如图所示,在▱ABCD中,点E为CD上一点,DE∶CE=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,求S△DEF∶S△EBF∶S△ABF.【解析】因为AB∥CD,所以△EDF∽△ABF,所以==,所以==,又△DEF,△BEF分别以DF,BF为底时等高,所以===.故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.2.(2016·郑州模拟)如图正方形ABCD的边长为4,点E,F分别为DC,BC的中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB,∠D=∠B=90°,DC=CB.因为点E,F为DC,BC的中点,所以DE=DC,BF=BC,所以DE=BF.因为在△ADE和△ABF中,所以△ADE≌△ABF(SAS).(2)由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形,且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2,所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6.【加固训练】如图,在四边形ABCD中,点E是AB上一点,EC∥AD,DE∥BC,若S△BEC=1,S△=3,求S△CDE的值.ADE【解析】因为EC∥AD,所以S△DCE∶S△ADE=EC∶AD,因为DE∥BC,所以S△BCE∶S△CDE=BC∶ED,又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD,所以△BEC∽△EAD,所以EC∶AD=BC∶ED.所以S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,于是S△CDE=.3.(2016·大同模拟)如图,在△ABC中,AB⊥AC,点D为BC的中点,DE⊥BC交AC于点F,交BA的延长线于点E.求证:AD2=DE·DF.【证明】因为AB⊥AC,点D为BC的中点,所以AD=BC=DC,所以∠2=∠C.因为AB⊥AC,DE⊥BC,所以∠C+∠B=90°,∠E+∠B=90°.所以∠C=∠E,所以∠2=∠E.又因为∠1=∠1,所以△DAE∽△DFA.所以=,即AD2=DE·DF.【加固训练】如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,E为AC的中点,ED延长线交AB延长线于点F.求证:AB·AF=AC·DF.【证明】因为AB⊥AC,AD⊥BC,所以△ABD∽△CAD,所以=,∠1=∠C.因为E是AC的中点,所以DE=AC=EC,所以∠C=∠2.因为∠2=∠3,所以∠1=∠3.又因为∠F=∠F,所以△FBD∽△FDA,所以=,所以=,即AB·AF=AC·DF.4.(2016·唐山模拟)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.(1)求证:AF=CE.(2)若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.【解析】(1)在△ADF和△CDE中,因为AF∥BE,所以∠FAD=∠ECD.又因为D是AC的中点,所以AD=CD.因为∠ADF=∠CDE,所以△ADF≌△CDE,所以AF=CE.(2)若AC=EF,则四边形AFCE是矩形.由(1)知AF CE,所以四边形AFCE是平行四边形.又因为AC=EF,所以四边形AFCE是矩形.【加固训练】如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于点F,交AH于点H.如果AB=4AF,EH=8,求DF的长.【解析】因为AH∥BE,所以=.因为AB=4AF,所以=.因为HE=8,所以HF=2.因为AH∥BE,所以=.因为D是AC的中点,所以=1.因为HE=HD+DE=8,所以HD=4,所以DF=HD-HF=4-2=2.5.已知,如图,在矩形ABCD中,点G为BC延长线上一点,连接DG,过点B作BH⊥DG于点H,且GH=DH,点E,F分别在AB,BC上,且EF∥DG.(1)若AD=3,CG=2,求DG的长.(2)若GF=AD+BF,求证:EF=DG.【解析】(1)在△BHG与△DCG中,因为∠BGH=∠DGC,BH⊥DG,DC⊥BG,所以△BHG∽△DCG,所以=,因为AD=3,CG=2,所以BG=5,因为GH=DH,即=,所以DG=2,即DG的长为2.(2)因为GF=AD+BF,所以FC+GC=BF+FC+BF,即GC=2BF,因为EF∥DG,所以∠BFE=∠CGD,所以Rt△BEF∽Rt△CDG,所以EF∶DG=BF∶GC=1∶2,所以EF=DG.【加固训练】如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,BF⊥CE于点F,求S△BFC∶S正方形ABCD的值.【解析】设正方形ABCD的边长为2a,因为E是AB的中点,所以BE=a,所以CE==a,因为BF⊥CE,所以∠EBC=∠BFC=90°,因为∠ECB=∠BCF,所以△BCF∽△ECB.因为BC∶EC=2∶.所以S△BFC∶S△EBC=4∶5.因为S正方形ABCD=4S△EBC,所以S△BFC∶S正方形ABCD=1∶5.6.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.(2)当△PDB∽△ACP时,试求∠APB的度数.【解析】(1)当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB,因为△PCD是等边三角形,所以∠PCD=∠PDC=60°,所以∠ACP=∠PDB=120°,若CD2=AC·DB,由PC=PD=CD可得PC·PD=AC·DB,即=,则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD.因为∠PDB=120°,所以∠DPB+∠DBP=60°,所以∠APC+∠BPD=60°,所以∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,即∠APB的度数为120°.【加固训练】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是CD的延长线上一点,DE=CD,BE 与AD交于点F.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠BAF=∠BCD,因为AB∥CD,所以∠ABF=∠CEB,所以△ABF∽△CEB.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AB∥CD,所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.所以=,=.又DE=CD=AB,所以CE=DE+CD=DE+2DE=3DE.所以==,==.因为S△DEF=2,所以S△CEB=18,S△ABF=8.所以平行四边形ABCD的面积S=S△ABF+S△CEB-S△DEF=8+18-2=24.2.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EF∥AD,假设EF做上下平行移动.(1)若=,求证:3EF=BC+2AD.(2)若=,试判断EF与BC,AD之间的关系,并说明理由.(3)请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?【解析】过点A作AH∥CD分别交EF,BC于点G,H.(1)因为=,所以=,又EG∥BH,所以==,即3EG=BH.又EG+GF=EG+AD=EF,从而EF=(BC-HC)+AD,所以EF=BC+AD,即3EF=BC+2AD.(2)EF与BC,AD的关系式为5EF=2BC+3AD,理由和(1)类似.(3)因为=,所以=.又EG∥BH,所以=,即EG=BH.所以EF=EG+GF=EG+AD=(BC-AD)+AD,所以EF=BC+AD,即(m+n)EF=mBC+nAD.。

【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：选4-1-1相似三角形的判定及有关性质(含答案解析)

配餐作业(选修4－1－1)相似三角形的判定及有关性质1．(2016·九江期末)如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE ＝13CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ，若AB ＝6，求BF 的长。

解析：∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，AB ＝6，∴CD ＝12AB ＝3；又∵CE ＝13CD ，∴CE ＝13×3＝1， ∴ED ＝CE ＋CD ＝1＋3＝4；又∵BF ∥DE ，点D 是AB 的中点，∴ED 是△AFB 的中位线。

∴BF ＝2ED ＝2×4＝8，即BF 的长为8。

2．(2016·周口月考)已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE 。

求证：MN ＝MB 。

证明：因为正方形ABCD ，所以AE ∥CD 。

因为MN ∥AE ，所以MN ∥CD ，所以MN ∶CD ＝EM ∶ED ，BM ∶AD ＝EM ∶ED因为在正方形里CD ＝AD所以MN ＝BM 。

3．(2016·河南月考)如图，在△ABC 中，AB ＋AC ＝2BC ，G 为重心，I 为内心，证明：GI ∥BC 。

证明：∵I 为△ABC 内心。

∴AE 为∠BAC 的角平分线，∴AB AC ＝BE CE， ∴AB ＋AC AC ＝BE ＋CE CE ，∴2BC AC ＝BC CE，∴AC ＝2CE 。

又∵CI 为∠C 的平分线，故AC CE ＝AI IE＝2。

又∵G 为△ABC 重心，∴AG GD＝2，即AI IE ＝AG GD，故GI ∥BC 。

4．(2016·邢台模拟)自锐角△ABC 的顶点A 向边BC 引垂线，垂足为D 。

在AD 上任取一点H ，直线BH 交AC 于点E ，CH 交AB 于点F ，证明：∠EDH ＝∠FDH 。

(即AD 平分ED 与DF 所成的角)证明：过A 作直线l ∥BC ，延长DF 、DE 分别交l 于P 、Q ，于是有AP BD ＝AF FB ，AQ DC ＝AE EC。

1.数学选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）（打印）.doc

1.数学选修4-1第⼀讲相似三⾓形的判定及有关性质综合测试（含答案）（打印）.doc⼀、选择题（每⼩题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成⾯积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（） A ．15B ．10C.6215D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE =1：2，则梯形的⾼与三⾓形的边BC 上的⾼的⽐为（）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的⾼，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD为（） A ．85 B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的⾯积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的⾯积分别是（）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8D.49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）ABACAD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中⼀定能够判定△ABC 是直⾓三⾓形的共有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三⾓形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（） A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（）A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平⾏四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（）A ．3：1B ．3：1C ．3：2D. 7：39．如果⼀个三⾓形的⼀条⾼分这个三⾓形为两个相似三⾓形，那么这个三⾓形必是（）A ．等腰三⾓形 B. 任意三⾓形 C ．直⾓三⾓形D ．直⾓三⾓形或等腰三⾓形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三⾓形（） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．⼀定相似D ．⽆法判断是否相似11．如图1—6—1，正⽅形ABCD 中，E 是AB 上的任⼀点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（） A ．22B ．21C ．36D ．212．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的⾯积是△ABC 的⾯积的⼀半，若2AB =，则此三⾓形移动的距离AA'是（）A ．12-B ．22C ．1 D2113．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的⾯积是（）A ．24B ．34C ．4D ．614．如图1—6—4，平⾏四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上⼀点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三⾓形共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直⾓三⾓形中，斜边上的⾼为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的⾼，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（） A ．2516 B ．54 C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

高考数学一轮总复习1相似三角形的判定及有关性质练习(选修4-1)

选修4—1 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质时间：45分钟分值：100分一、填空题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，AD AB＝1 3.若DE ＝2，则BC＝__________.解析∵DE∥BC，∴ADAB＝DEBC，即13＝2BC.解得BC＝6.答案 62．如图所示，已知DE∥BC，BF EF＝32，则AC AE＝________，AD DB＝________.解析 ∵DE∥BC， ∴AE AC ＝DE BC ＝EF BF . ∵BF EF ＝32，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC AE ＝32.同理DE ∥BC，得AB AD ＝32，即AB AD ＝32.∴AD AB ＝23，则AD AB －AD ＝23－2＝2. 即ADBD ＝2.∴AD BD ＝2 1. 答案 32 2 13．如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析连接DE 和BD ，依题知，EB∥DC，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB⊥AB，∴DE⊥AB，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a. ∵E，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF＝12DB ＝12a.答案 a24．(2015·湖南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AE BE ＝12，若△AEF 的面积等于1 cm 2，则△CDF 的面积等于________ cm 2.解析 ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又AE CD ＝AE AB ＝13，且相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方，∴△CDF 的面积等于9 cm 2. 答案 95．如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綊12AC ，∴△MON∽△COA，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 146．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________. 解析由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴AB AD ＝AE AC .又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE＝AB·AC AD ＝6×412＝2.答案 27．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D(AD>BD)，若CD ＝6，则AD ＝________.解析如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 设AD ＝x ，∵CD⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9. 答案 98．(2015·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________. 解析 ∵AB∥CD∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF， ∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF ，∴4(BC－BF)＝12BF ，∴BC＝4BF ，∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF＝3. 答案 39．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE⊥AC，垂足为E ，则ED ＝________. 解析 tan ∠BCA＝BA BC ＝33，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt △BCE中，CE ＝BC·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE·CD·cos ∠ECD＝ 3322＋32－2×332×3×12＝212.答案212二、解答题10．如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2＝B E·CD.证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BC BE ＝CDBC ，即BC 2＝BE·CD.11．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF 2＝AD·BC.证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB. 从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边．得Rt △BCE≌Rt △BFE，所以BC ＝BF. 同理可证Rt △ADE≌Rt △AFE，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2＝AF·BF，所以EF 2＝AD·BC.12．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 与AD 分别交于点F ，E.(1)如图(1)，DG∥CF 交AB 于点G ，当D 是BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AFFB ；(2)如图(2)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB .证明 (1)∵DG∥CF，BD ＝DC ， ∴BG＝FG ＝12BF.∵FE∥DG，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝AF 12BF ＝2AFBF.(2)过点D 作DG∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AF FG. 又BD DC ＝12，∴DC＝2BD ＝23BC. ∵DG∥FC，∴FG BF ＝DC BC ＝23.∴FG＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF 2BF.。

高考数学一轮复习课时检测选修41 第一节相似三角形的判定及有关性质理

高考数学一轮复习课时检测选修41 第一节相似三角形的判定及有关性质理1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF .解：∵AD ∥BC ，∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58. ∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP .证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BC PC ＝4.又∵BC ＝2DQ ，∴DQ PC＝2. 在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQ PC ，且∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .3．如图，在▱ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M .(1)试说明：AE ⊥BF ；(2)判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明．解：(1)∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF.∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°.即∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AE⊥BF.(2)线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE.∵在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB.又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.∴∠DEA＝∠DAE.∴DE＝AD.同理可得，CF＝BC，又∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF.∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE.4．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证：ABAC ＝DF AF.证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C.∴△ABD∽△CAD，∴ABAC＝BDAD.又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠C.又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C，∴∠1＝∠4. 又有∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA.∴BDAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝6，E为AB的中点，AD∶DB＝2∶3，求AC及CE. 解：设AD＝2t，DB＝3t，由射影定理得CD2＝AD·DB，∴62＝2t·3t，∴t＝6(t＝－6舍去)，∴AD＝26，DB＝36，所以斜边AB＝AD＋DB＝26＋36＝5 6故CE＝12AB＝526.再由射影定理得AC2＝AD·AB＝26·56＝60∴AC＝215.6．已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E、F分别在AB、AC、BC上，AE＝13AC，BD＝13AB，且CF＝13BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明：设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a.(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23，又∵∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°得∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝2a，故AEEF＝a2a＝22，又ADBF＝2a22a＝22，∴AE FE ＝AD FB. ∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE .∴∠ADE ＝∠EBC .7．已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连结AC 、BD 交于点P .(1)如图1，当OA ＝OB 且D 为AO 中点时，求AP PC 的值；(2)如图2，当OA ＝OB ，ADAO ＝14时，求tan ∠BPC .解：(1)过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，易证△BCE ∽△BOD ，△ECP ∽△DAP ，∴CE ＝12OD ＝12AD ；APPC ＝ADCE ＝2.(2)过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，设AD ＝x ，AO ＝OB ＝4x ，则OD ＝3x ，易证△BCE ∽△BOD ，△ECP ∽△DAP ，∴CE ＝12OD ＝32x ，PDPE ＝ADCE ＝23；由勾股定理可知BD ＝5x ，DE ＝52x ，则PD DE －PD ＝PD 52x －PD ＝23，可得PD ＝AD ＝x ，则∠BPC ＝∠DPA ＝∠A ，tan ∠BPC ＝tan ∠A ＝CO AO ＝12.8．已知，边长为8的等边△ABC中，若D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE＝60°，设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并求出y 的最小值．解：∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠CDE＝120°.又∠ADB＋∠BAD＝180°－∠B＝120°，∴∠BAD＝∠CDE.又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC＝BDCE.由BD＝x，EA＝y，得DC＝8－x，CE＝8－y，∴88－x＝x8－y.∴y＝18x2－x＋8＝18(x－4)2＋6.∴当BD＝4，即D为BC的中点时，EA有最小值6.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

选修4—1 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质
时间：45分钟分值：100分
一、填空题
1．如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，AD AB ＝1
3.若
DE ＝2，则BC ＝__________.
解析 ∵DE∥BC，
∴AD AB ＝DE BC ，即13＝2
BC .解得BC ＝6. 答案 6
2．如图所示，已知DE∥BC，BF EF ＝3
2，则AC
AE ＝________，AD
DB ＝________.
解析 ∵DE∥BC， ∴AE AC ＝DE BC ＝EF BF . ∵BF EF ＝32，∴AE AC ＝EF BF ＝23.
∴AC
AE ＝3
2.
同理DE∥BC，得AB
AD ＝3
2，即AB AD ＝32.
∴AD AB ＝23，则AD AB －AD ＝2
3－2＝2. 即AD
BD
＝2.∴AD BD ＝2 1.
答案 3 2 2 1
3．如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a
2，点E ，F 分别为
线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.
解析连接DE 和BD ，依题知，EB∥DC，EB ＝DC ＝a
2，
∴EBCD 为平行四边形，∵CB⊥AB，
∴DE⊥AB，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a. ∵E，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF＝12DB ＝1
2a.
答案 a
2
4．(2015·湖南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AE BE ＝12，若△AEF 的面积
等于1 cm 2
，则△CDF 的面积等于________ cm 2
.
解析 ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又AE CD ＝AE AB ＝1
3，且相似三角形的面积之比等于对应
边的比的平方，
∴△CDF 的面积等于9 cm 2
. 答案 9
5．如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．
解析 ∵M，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綊12AC ，∴△MON∽△COA，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.
答案 1
4
6．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________. 解析由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴AB AD ＝AE
AC .
又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE＝AB·AC AD ＝6×4
12＝2.
答案 2
7．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD⊥AB 于D(AD>BD)，若CD ＝6，则AD ＝________.
解析如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 设AD ＝x ，∵CD⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2
＝AD·DB，
即62
＝x(13－x)，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9. 答案 9
8．(2015·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________.
解析 ∵AB∥CD∥EF， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF
， ∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF ，∴4(BC－BF)＝12BF ，∴BC＝4BF ，∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF＝3. 答案 3
9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE⊥AC，垂足为E ，则ED ＝________. 解析 tan ∠BCA＝BA BC ＝33，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt △BCE
中，CE ＝BC·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝33
2
.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2
＋CD 2
－2CE·CD·cos ∠ECD ＝
3322
＋3
2
－2×332×3×12＝212
.
答案
212
二、解答题
10．如图，已知圆上的弧AC ︵
＝BD ︵
，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2
＝BE·CD.
证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵
，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BC BE ＝CD
BC ，
即BC 2
＝BE·CD.
11．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF 2
＝AD·BC.
证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB. 从而∠EAB＋∠EBF＝π2；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π
2.
从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边．得Rt △BCE≌Rt △BFE，所以BC ＝BF. 同理可证Rt △ADE≌Rt △AFE，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2
＝AF·BF，所以EF 2
＝AD·BC.
12．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 与AD 分别交于点F ，E.
(1)如图(1)，DG∥CF 交AB 于点G ，当D 是BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AF
FB ；
(2)如图(2)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF
2FB .
证明 (1)∵DG∥CF，BD ＝DC ， ∴BG＝FG ＝1
2
BF.
∵FE∥DG，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝AF 12BF ＝2AF
BF
.
(2)过点D 作DG∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AF FG
. 又BD DC ＝12，∴DC＝2BD ＝23BC. ∵DG∥FC，∴FG BF ＝DC BC ＝23.
∴FG＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF 2BF
.。