基于Radon变换的直线检测技术

分类号：密级：
U D C ：编号：
工学硕士学位论文
基于Radon变换的直线检测技术
硕士研究生：何萌萌
指导教师：郑丽颖教授
学科、专业：计算机科学与技术
论文主审人：李智慧副教授
哈尔滨工程大学
2014年12月
分类号：密级：
U D C ：编号：
工学硕士学位论文
基于Radon变换的直线检测技术
硕士研究生：何萌萌
指导教师：郑丽颖教授
学位级别：工学硕士
学科、专业：计算机科学与技术
所在单位：计算机科学与技术学院
论文提交日期：2014年12月
论文答辩日期：2015年3月
学位授予单位：哈尔滨工程大学
Classified Index:
U.D.C:
A Dissertation for the Degree of M. Eng
Straight Line Detection Based on Radon
Transform
Candidate:He Mengmeng
Supervisor:Prof. Zheng Liying
Academic Degree Applied for:Master of Engineering
Specialty:Computer Science and Technology
Date of Submission:Dec, 2014
Date of Oral Examination:Mar, 2015
University:Harbin Engineering University
学位论文原创性声明
本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人独立完成的。

有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。

除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者（签字）：
日期：年月日
哈尔滨工程大学
学位论文授权使用声明
本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。

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本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，可以公布论文的全部内容。

同时本人保证毕业后结合学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈尔滨工程大学。

涉密学位论文待解密后适用本声明。

本论文（□在授予学位后即可□在授予学位12个月后□解密后）由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。

作者（签字）：导师（签字）：
日期：年月日年月日
基于Radon变换的直线检测技术
摘要
直线特征是数字图像中一个稳定且具有平移、旋转和尺度不变的良好特征。

正确有效地提取图像的直线特征，对提高图像感兴趣目标的识别率和鲁棒性具有重要意义。

作为一个比较基本的图像处理任务，直线检测被广泛的应用到目标物体的识别，形状检测，和道路/航线检测上等。

在过去的二十年间，尽管直线检测技术方面已经有了长足的发展，但在检测速度和精确度上还有待于进一步的提高。

目前，直线检测主要是通过霍夫变换（HT）及其改进的一些方法来实现的。

但是由于霍夫变换的一些不足之处，如需要预先的边缘检测、计算时间长、需要内存大等，使得一些研究人员将目光转向在数学定义上和霍夫变换等价的Radon变换上。

而中心切片定理则保证了可以通过快速傅里叶变换（FFT）来实现Radon变换，从而使得Radon变换相比霍夫变换在计算时间上有了优势。

而在利用FFT实现Radon变换的过程中，从笛卡尔向极坐标转换的步骤是必不可少的，转换过程中的插值误差严重影响Radon变换的性能。

现有的零填充法在减小插值误差的同时却提高了算法的时间复杂度，广义插值傅里叶变换方法（A Generalized Interpolated Fourier Transform, GIFT）由于其并行特性，可在达到与零填充法同样精确度的同时减小时间复杂度。

本文在对GIFT进行深入研究的基础上,提出一种优化GIFT参数的方法。

定义了不同插值方法下的插值误差，并分别给出参数的选择方法，使得GIFT的插值误差达到最小，从而提高了基于GIFT的Radon 变换直线检测的精确度。

=υφ=υφ计算在笛卡尔坐标向极坐标转换的过程中，传统方法都是通过(x cos, y sin)
来完成，每次转换都需要大量的计算。

为了加快GIFT的运算速度，考虑到在笛卡尔坐标向极坐标转换过程中，映射的位置只与其对应坐标有关系，而与每个坐标存储的信息无关，因此对于固定大小的图像，建立了一个存储其对应位置信息的映射文件，用查表法来实现笛卡尔到极坐标之间的转换。

每次转换只需要第一次进行计算，然后将其映射信息存入文件，以后对于同样大小的图像只需要查找这个位置映射表即可完成笛卡尔到极坐标的转换工作。

相对于通过乘法和正余弦运算实现的转换操作，查表法节省了大量运算时间。

最后对改进的基于GIFT的Radon变换算法进行了仿真验证，通过对插值误差和时间复杂度方面的比较，本文的方法明显优于原算法。

用论文提出的算法分别对不同宽度
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直线和被噪声污染的图像的进行检测，验证了本算法的稳健性和鲁棒性。

关键词：Radon变换；多层分数傅里叶变换；参数选择；查表法；直线检测
基于Radon 变换的直线检测技术
Abstract Linear feature is a stable and invariant to translation, rotation and scale of good characteristics in digital image. It is great significance in improving the image target recognition rate and robustness for extraction of effective linear features of images correctly. Straight line detection has been widely applied to the target object recognition, shape detection, and road/line detection etc. Over the past two decades, there has been a rapid development for the straight line detection, but the accuracy and speed of the detection should be further improved.
The method of straight line detection is mainly based on the Hough transform (HT) and its improvement methods recently, but the Hough transform has some drawbacks, such as edge extraction is required prior to line extraction, but such a requirement brings inaccuracy propagation and loss of gradient orientation; The HT is computational expensive and needs large memory. So some researchers have turned their interesting to the Radon transform (RT) which is equivalence with HT on the mathematical definition. Because the Central slice theorem ensures that the Radon transform could be implemented by FFT, it make the computation time of the Radon transform is less than the HT. The conversion from Descartes to polar coordinates in the process of implementing RT by FFT is indispensable. The performance of the Radon transform is affected seriously by the interpolation error in the process of transformation. The zero-padding and cropping technique can alleviate the aliasing, but in turn, bring higher computational cost. The Generalized Interpolated Fourier Transform (GIFT) could reach the precision of the zero-padding and cropping technique and reduce the time complexity at the same time for it can be computed parallel for each layer. In this paper, we describe the GIFT detailly first, and then a method of the GIFT parameters optimized is proposed. Our proposed method made the interpolation error as small as possible. We define the interpolation error of different interpolation methods, and different parameter selection method is given. The precision of the straight line detection based on Radon transform by the GIFT is improved using our proposed method.
In the process of the conversion from Cartesian coordinates to polar coordinates, the traditional method is done by calculation (cos , sin )x y =υφ=υφ, and a large amount of calculation is required for every transformation. In order to accelerate the speed of the GIFT,
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the corresponding mapping location coordinates are related only with corresponding coordinates, and has nothing to do with the information stored in each coordinate. So for the size of the fixed image, we set up a file which have stored the mapping information of the conversion from Cartesian coordinates to polar coordinates, then we implement the conversion through look-up the file which we have established instead of the calculation method. For the images of different size, we only need to calculate the conversion for the first time, and then the mapping information was stored in the file. Afterwards, we just need to look-up the mapping file when we do the conversion from Cartesian coordinates to polar coordinates for the same size image. Compared with the calculation method, our proposed method has saved more time.
Finally, we have done the simulation for the improved the Radon transform algorithm based on GIFT. The simulation results indicate that our proposed method is better than the original algorithm. We have tested different image which obtain different width line and were polluted by noise respectively, it verify the robustness of our algorithm.
Keywords: Radon Transform; Multilayer fractional Fourier transform; Parameter selection; Look up mapping files; Straight line detection
基于Radon变换的直线检测技术
目录
第1章绪论 (1)
1.1研究的背景和意义 (1)
1.2国内外研究现状及分析 (2)
1.2.1 传统的基于Hough变化的直线检测方法 (2)
1.2.2 基于Radon变换的直线检测方法 (3)
1.3 论文主要工作 (6)
1.4 论文的组织及内容安排 (6)
第2章Hough/Radon变换及其直线检测 (9)
2.1传统Hough变换直线检测原理 (9)
2.2 Radon变换 (15)
2.3 中心切片定理 (16)
2.4 频率域滤波 (18)
2.5 本章小结 (21)
第3章GIFT参数选择及笛卡尔到极坐标的快速转换方法 (23)
3.1 分数傅里叶变换及GIFT (24)
3.1.1 二维离散分数傅里叶变换 (24)
3.1.2 GIFT及其网格 (25)
3.2 GIFT参数的选择 (28)
3.3基于查表法的笛卡尔到极坐标的快速转换方法 (30)
3.4本章小结 (31)
第4章算法的实现与仿真 (33)
4.1 基于改进的Radon变换的直线检测算法的实现 (33)
4.2 时间复杂度分析 (34)
4.3 仿真结果及分析 (36)
4.3.1 GIFT参数的选取仿真结果及分析 (36)
4.3.2 基于查表法的笛卡尔到极坐标的快速转换 (41)
4.3.3 基于改进的Radon变换完整的直线检测过程 (42)
4.3.4 宽直线和噪声图像及现实场景图像的直线检测 (45)
4.4 本章小结 (47)
结论 (49)
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参考文献 (51)
攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果 (57)
致谢 (59)
第1章绪论
第1章绪论
1.1研究的背景和意义
视觉是人类获取信息的重要来源，而图像是人类视觉的基础，因而人类生活和工作的方方面面也必然会与图像处理的应用领域有所关联。

使用计算机进行图像处理的研究可以追溯到上个世纪60年代，经过了50多年的发展，图像处理技术已经不仅仅局限于最初的医学和空间方向的项目，开始在更为广泛的领域上发挥作用。

通过计算机进行的图像增强算法使得工业、医学和生物科学等领域的专业图像得以更好的分析；遥感科学家可以通过遥感图像对环境的污染进行研究；考古学家可以通过图像处理方法复原那些唯一记录有稀有物品的模糊图片；物理学家常用图像增强技术来增强极其细微的实验图像。

与这些前面这些领域类似，图像处理技术已经成功的应用在了生物学、核科学、天文学、国防等工业领域中。

输入为图像而输出为从这些图像中提取出来的属性的图像处理方法是图像处理中的一个分支，而分割是这一分支的一个主要步骤。

图像被分割算法详细的划分为构成它的各个子区域，至于要划分到何种程度则根据具体的应用来决定，就是说当需要找的目标已被检测出来的时候就停止分割。

通常针对单色图像的分割算法是基于灰度处理的相似性和不连续性这两类特征之一的。

首先基于相似特性的分割方法是根据事先定义的一组规则，把一幅图像聚类分割成相似的几个区域。

在第二类不连续性特中，假设这些区域的边界和背景彼此完全不同，这就允许基于灰度的局部不连续性来对边缘进行检测。

基于边缘的分割就是这类特性中所用的主要方法。

通常感兴趣的三种图像特征分别是孤立的点、线和边缘。

边缘像素是图像中灰度突变的那些像素，而边缘（或边缘线段）是连接的边缘像素的集合。

一条线可视为一条边缘线段，该线两侧的背景灰度要么远亮于该线像素的灰度，要么远暗于该线像素的灰度。

而孤立的点可视为一条线，只是其长度和宽度都为一个像素[1]。

在图像中，引人瞩目的是它的线类特征，图像中物体结构的构建就是以这些线类特征为线索的。

比如灰度图像中的线类特征就常对应于物体的边界线或轮廓；而相应彩色图像中的线类特征则对应于彩色特征显著不同的两个区域的边界线。

因而无论对于解释图像或者描述目标的这些研究来说，对这些线类特征的提取都是非常重要的[2]。

直线特征是数字图像中一个稳定且具有平移、旋转和尺度不变的良好特征。

正确有
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效提取图像的直线特征，对于提高图像感兴趣目标的识别率和鲁棒性具有重要意义。

对图像处理和计算机视觉领域的研究者来说从一幅数字图像中提取出直线特征已经越来越成为一种具有挑战和决定性的前期预处理步骤。

如在摄像机标定过程中，很多具有直线边缘的物体，检测出这些直线边缘并对其进行定位从而达到定位目标的目的，这就为进一步进行目标识别和分析提供了必要条件。

随着科技的发展，直线检测已经被应用到更为广泛的领域，包括医学、考古、地理、气象、生物、天文、国防、交通和工业等各个领域，因而对直线的定位和识别在图像处理中就显得非常重要了。

所以，找到一种快速且精确的直线检测算法就显得非常有必要。

作为一个基本的图像处理任务，直线检测被广泛的应用到目标物体的识别，形状检测，和道路/航线检测上等[3][4][5]。

在过去的二十年尽管直线检测方面已经有了长足的发展，但在检测速度和检测精确度上还有待于进一步提高。

1.2国内外研究现状及分析
1.2.1 传统的基于Hough变化的直线检测方法
在有关计算机识别的应用中，常需要从图像中标定出已知特定形状的物体。

如果利用图像中的点阵直接进行搜索来判断是否符合这个特定的形状，这显然是不太现实的。

这时将图像的像素按照一定的算法规则映射到参数空间来间接地进行搜索判断就成为一种可能。

而霍夫变换（Hough Transform, HT）正是提供了这样一种将图像的像素信息按照笛卡尔坐标和极坐标的对应关系映射到Hough参数空间的方法，通过这种Hough 变换构建的参数空间可以很容易地对直线等特定形状行判定[6]。

Hough变换是P.V.C.Hough于1962年提出来，并作为专利在美国发表并被广泛用于数字图像处理中的直线检测这一应用中[7][8]，实现了一种图像空间到参数空间的映射关系。

Hough变换使用了一种基于投票表决原理的参数估计方法，它的原理是通过把图像空间中的检测问题转换到参数空间从而利用图像空间（笛卡尔坐标系）和Hough参数空间（极坐标系）的点-线对偶性（笛卡尔坐标的点对应极坐标的线，极坐标的点对应笛卡尔坐标的线）来实现的。

通过在极坐标的Hough参数空间进行累加统计得出累加器的峰值点，这个峰值点就决定了图像空间中对应的一条直线。

Hough变换实际上就是在参数空间寻找能把那些在图像空间中具有一定关系的像元用某一解析式联系起来的累计对应点的方法。

在过去几十年，由于霍夫变换在噪声图像及有部分信息丢失的图像应用
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第1章绪论
中的鲁棒性，基于标准Hough变换或者改进Hough变换的直线检测方面的文献大量出现[7-24]。

Xu 和Oja提出了一种快速的随机Hough变换方法（RHT）[15]，该方法可以随机获得一对像素值，并增加到参数空间中猜想的极坐标上。

由于直线上像素被选择的概率比非直线上上像素的概率大，所以参数空间中直线上像素对应的极坐标的计数会比这些非直线上的像素大得多。

与传统的HT相比，RHT计算成本低、对噪声具有很强的鲁棒性，但该方法有时无法检测到较短的直线。

Ballard[22]使用了一个梯度方法来对图像中曲线的切线进行估计，图像中的每个点被映射到参数空间中的一个点，而不是一条曲线，这个点是通过估算的直线的梯度给出的。

然而，这种方法的精确度对于使用的梯度算子和图像中的噪声水平比较敏感。

Illingworth和Kittler[23]及Li等人[24]使用了一个分级的霍夫变换，这个方法先使用一个比较粗糙的采样间隔对图像进行Hough变换，使得感兴趣目标与其余目标相分离，然后再使用一个比较好的采样间隔对这个分离出来的感兴趣区域进行变换。

这个方法是为了增加采样的分辨率，一直迭代直到直线被检测出来为止。

总的来说，Hough变换依然存在一些不足。

首先，在进行Hough变换之前需进行边缘检测，Hough变换的结果对边缘检测的结果高度敏感[7]；其次，Hough变换的大量时间上的花费对一些实时应用来说是不可接受的，比如说车辆自动驾驶系统中的道路边线检测，以及航道检测等[3]。

1.2.2 基于Radon变换的直线检测方法
在医学X射线CT成像系统的应用中往往需要对人体内器官或者是病变组织的表层平面数据进行采集，而这些数据的采集器则通过X射线束围绕着体层平面的中心点进行平移和旋转来获得不同方向下的X射线束穿过体层平面后衰减的数据。

采集到的这些衰减后的数据就是X射线束穿过人体断层后的投影，而医学上需要的人体断层图像则可以根据这些投影数据利用图像处理中的重建算法来重建而不损失任何信息。

这个从数据采集器获得人体断层投影数据的过程就是图像处理中所说的Radon变换[25]（人体断层图像的重建则是Radon逆变换过程）。

Radon变化于1917年由J.Radon提出，Radon变换在数学上跟霍夫变换是等效的[26]，但是要比霍夫变换有更优越的计算性能，因此基于Radon变换的直线检测方法受到更多的关注。

Deans首先描述了怎样推论霍夫变换从图像中检测直线是作为Radon变换在二维
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欧氏空间定义的一种特殊情况[26]。

他指出Radon变换可以将图像中的直线转换到直线参数的域，图像中的每一条直线都将会给出一个波峰（明亮的直线）或者波谷（暗的直线）与相应的直线参数相对应。

Radon变换是将函数在一个平面内沿不同的直线做积分得到的结果。

图像的Radon表示具有如下优点：（1）Radon空间的一个点对应于图像的一条直线，从这种意义上讲，Radon像素点包含更加丰富的信息；（2）Radon变换是沿直线积分的结果，因此对噪声不敏感。

已有研究表明图像Radon变换的信噪比约为原图像的1.7NR倍（NR为内截圆半径）[27]。

后来，Murphy提出了一种基于Radon变换的有噪声的雷达图像的直线检查方法[28]，从那之后，大量改进的基于Radon变换的直线特征检测的方法被提出来[29-47]。

Toft等人[29-31]使用了一个快速曲线估计（FCE）算法，通过一个事先形成的映射来确定曲线的参数，考虑图像中零值像素的数量，来确定参数空间中包含峰值点的区域。

一个Radon变换接着被应用在这些包含峰值的区域，从而减少了计算的复杂度。

其他的如Kultanen等人[32]和KaÈ lviaÈ inen等人[33]使用了一个称为随机Radon变换的迭代算法。

它可以将图像中的两个非零像素的点映射到参数空间中一个普通的点。

该方法持续迭代直到获得参数空间的一个合适的映射为止。

从数学定义上讲，Radon变换与Hough变换是等效的。

但是从实现方式上看，Radon 变换更优于Hough变换。

这是因为中心切片定理[48][49]从理论上保证了可以使用快速傅里叶变换（FFT）方法来实现Radon变换，从而使其具有更高的计算效率。

然而实际应用表明：这种快速变换方法的结果直接受到笛卡尔到极坐标变换过程中插值误差的影响。

所以从笛卡尔到极坐标对应位置映射的插值误差就成为影响最终结果的重要因素。

插值误差导致图像的Radon变换中存在较多的虚假峰值点，从而影响直线检测的精度[43-47]。

Ho等人利用零填充法和裁剪法来减小插值误差[43][44]。

根据他们的方法，输入图像在变换之前其大小N⨯N被用0像素在四周填充增加到尺寸为（N⨯2b）⨯（N⨯2b），在利用FFT实现其Radon变换过程中，在一维离散傅里叶变换（DFT）之后将填充的0移除。

虽然这种方法可以消除混淆，但是增加了时间方面的开销。

假设图像的大小是N⨯N，则二维离散傅里叶变换的快速傅里叶变换的时间复杂度为O{N2log(N)}，如果b不等于0，则零填充法的时间花费就会有显著的增加（近似4b倍）。

Pan等人在图像配准的过程中提出了一种可修改参数的多层分数傅里叶变换方法（MLFFT）[45]，将多层的分数傅里叶变换叠加起来，使得采样点数变多，从而可以更精确的进行插值。

通过中心切片定理，Radon变换可以用快速傅里叶变换来实现，根据Pan的方法，多层分数傅里叶变换可以被用来解决传统快速傅里叶变换的插值误差问题。

Shi等人在Pan的基础上，将Pan的可修改参数的多层分数傅里叶变换方法（MLFFT）用
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第1章 绪论
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在基于Radon 变换的直线检测上[46]。

根据中心切片定理，在笛卡尔坐标向极坐标转换的过程中，用了多层分数傅里叶变换代替原来的零填充法的单层傅里叶变换，插值采样点变为原来单层傅里叶变换的L 倍（L 为多层分数傅里叶变换的层数），达到了Ho 等人提出的零填充法减小插值误差同样的效果。

但由于分数傅里叶变换的每一层都是可以并行执行的，因此其时间复杂度要比零填充法小得多。

根据HO 等人的方法[43]，在峰值检测之前加了一个一维高斯差分滤波器对原图像Radon 变换的一维傅里叶变换进行滤波，以起到峰值增强作用，从而可以得出更为精确的直线检测结果。

Zheng 等人在Shi 的基础上提出了一种广义插值傅里叶变换（A Generalized Interpolated Fourier Transform, GIFT ）的方法[47]。

对分数傅里叶变换的阶数在垂直和水平方向上分别取不同的参数，相对于在X 和Y 轴相同的参数来说，水平和垂直方向上取不同的参数使得变换更加的灵活和实用，使得插值更加精确。

在GIFT 方法中[47]，参数层数L 和阶数{Cut} =12()α , α的选择是至关重要的，这里L 和12()α , α分别是GIFT 中多层分数傅里叶变换的层数和X-Y 轴的阶数。

但是在广义插值傅里叶变换（GIFT ）的方法中，对参数层数L 和阶数{Cut}的选择并没有多做描述。

Pan 等人的方法中[45]，参数{Cut}中12()α , α两个值1α和2α是相等的，且参数L 和{Cut}的选择，只定义了某一种插值情况下的插值误差，计算时只选择了部分点来参与计算，这样可能会使计算出来的插值误差不够准确，从而使得参数选择有所偏差。

本文在广义插值傅里叶变换（GIFT ）方法的基础上介绍了一种最优选择合适的参数L 和12()α , α的方法，
使得插值误差最小，从而达到提高直线检测精度的目的。

考虑到在笛卡尔到极坐标转换过程中，远离原点区域的极射线会变得稀疏，而这部分区域对应的正是高频区域。

对于直线检测来讲，高频区域包含更多的有用信息，因此，论文将着重研究笛卡尔到极坐标转换中高频区的插值方法。

但是，无论Ho 等人的基于零填充法的Radon 变换方法，Pan 和Shi 等人的多层分数傅里叶变换（MLFFT ）方法，还是Zheng 等人的广义插值傅里叶变换（GIFT ）方法[43-47]，在从笛卡尔坐标向极坐标转换的过程中，都是根据传统的计算方法（根据(x cos , y sin )=υφ=υφ）进行转换的，每次转换都需要大量的计算操作，因此这一转换过程需要花费大量时间。

为了解决这个问题，本文提出了一种基于查表法的笛卡尔到极坐标的快速转换方法。

用查表法来代替计算的方法，大大减少了其转换过程中的时间花费。

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6 1.3 论文主要工作
本文首先介绍并分析了当前直线检测方面的常用方法，着重分析了现存的基于Radon 变换的直线检测方法的优点和不足。

主要介绍了基于广义插值傅里叶变换（GIFT ）方法的Radon 变换的直线检测方法，本文是在该基础上做了精确度和计算速度方面的一些改进。

在检测的精确度方面，本文对于多层分数傅里叶变换的两个参数层数L 和阶数{Cut}，根据不同的插值方法分别定义了一种插值误差，对每种插值方法计算其使得插值误差最小的参数层数L 和阶数{Cut}的值，从而使得插值误差最小，提高了检测的精确度。

在算法的执行速度方面，基于Radon 变化的直线检测算法有一个从笛卡尔坐标系到极坐标系转换的过程，传统的做法是通过计算(x cos , y sin )=υφ=υφ来实现的，这种方法的不足是每次转换都要消耗大量的计算时间。

考虑到从笛卡尔坐标到极坐标的转换是一对一映射，这种映射关系与图像的具体内容无关，只与像素点的位置信息有关，因此本文提出了一种快速转换方法。

首先，对于大小固定的图像，用位置映射文件存储笛卡尔到极坐标的映射信息。

然后，通过查找这个映射文件来实现从笛卡尔到极坐标的转换。

相对于计算的方法来说，这种查表法大大节省了计算时间。

1.4 论文的组织及内容安排
第一章，本文研究的目的和意义，主要介绍直线检测技术的应用及国内外研究现状，分析当前存在的直线检测算法的优劣，描述本文要研究的主要内容并给出本文剩下部分的组织结构。

第二章，介绍基于Hough/Radon 变换的直线检测算法原理及中心切片定理。

正是由于中心切片定理，Radon 变换才可以通过快速傅里叶变换（FFT ）来实现，这正是其优于Hough 变换的地方。

最后介绍了一种高斯差分滤波器，在频率域对Radon 变换的一维傅里叶变换进行滤波以达到增强峰值的目的。

第三章，介绍分数傅里叶变换和基于广义插值傅里叶变换(GIFT)算法的直线检测的原理。

提出了一种选择GIFT 最优参数的方法，从而使得其插值误差达到最小，提高了直线检测的精确度。

在笛卡尔坐标向极坐标转换的过程中，提出了一种基于查表法的笛卡尔到极坐标的快速转换方法，详述了其原理及实现，并分析了时间复杂度。