人教版八年级数学上册第11章第4课时 三角形的内角
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数学
11.【例 4】如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是∠BAC， ∠ABC 的角平分线． (1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED 的度数是 55° ； (2)探究∠BED 与∠C 的数量关系，并证明你的结论．
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数学
解：(2)结论：∠BED＝90°－21∠C，证明如下： ∵AD，BE 分别是∠BAC，∠ABC 的角平分线， ∴∠ABE＝12∠ABC，∠BAE＝12∠BAC，
C.50°
D.40°
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数学
2．如图，该图形中的 x 的值为( A )
A．60
B.65
C.70
D.75
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数学
3．一个三角形三个内角的度数之比为 4∶5∶6，这个三角形
一定是( C )
A．直角三角形
B.等腰三角形
C．锐角三角形
D.钝角三角形
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数学
知识点二：运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明 技巧：解题时注意挖掘出隐含在题干中已知的条件“三角形 的内角和是 180°”.
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数学
变式练习
12.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，MN∥AC，∠1＝55°，则 ∠C 的度数是( B )
A．25° C.45°
B.35° D.55°
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数学
9.【例 2】在△ABC 中，∠A＝∠B＝31∠C，则∠A＝ 36° . 小结：利用三角形的内角和定理构建方程解决问题.
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数学
13.在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C＝ 75° .
7．下列条件中能判断△ABC 为直角三角形的是( A )
A．∠A＋∠B＝∠C
B.∠A＝∠B＝∠C
C．∠A－∠B＝90°
数学
精典范例
8.【例 1】如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥ AB，则∠DEC 等于( D ) A．63° B．113° C．55° D．62° 小结：根据平行线的性质将三个角转化到同一个三角形中.
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数学
解：(1)②∠D＝90°＋12∠A，证明如下： ∵∠DBC＝21∠ABC，∠DCB＝12∠ACB， ∴∠DBC＋∠DCB＝12(∠ABC＋∠ACB) ＝12(180°－∠A)＝90°－21∠A， ∴∠D＝180°－90°－12∠A＝90°＋21∠A. (2)不正确．结论：∠D＝90°－12∠A.
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数学
★15.(1)如图(a)，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB.
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数学
①当∠A＝60°时，∠D 的度数是 120° ； ②猜想∠A 与∠D 有什么数量关系？并证明你的结论； (2)如图(b)，BD 平分∠CBP，CD 平分∠BCQ，(1)中②的猜想 还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论(不用写出 证明过程)．
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数学
4.如图，在△ABC 中，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，△ABC 的 两条角平分线交于点 P，则∠BPC 的度数是( A )
A．130° C.50°
B.60° D.40°
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数学
5．如图，甲船在 A 处测得 B 灯塔的方向是北偏东 54°，再沿 正东方向行驶到 C 处，在 C 处测得 B 灯塔的方向是北偏东 18°， 则∠B 的度数是 36° .
第十一章 三角形
第4课时 三角形的内角
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握三角形的内角和定理，理解三角形内角 和定理的证明方法． 2．掌握直角三角形的性质和判定，会运用三 角形的内角和定理进行简单的计算或证明.
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知识要点 知识点一：三角形的内角和定理 (1)三角形三个内角的和等于 180° . (2)如图，在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝ 180 °.
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∴∠BEA＝180°－(∠ABE＋∠BAE)＝180°－12(∠ABC＋ ∠BAC)＝180°－12(180°－∠C)＝90°＋12∠C. ∴∠BED＝180°－∠BEA＝180°－90°＋12∠C＝90°－21∠C.
小结：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，并能 进行推理计算是解决问题的关键.
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数学
知识点三：直角三角形的性质和判定 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ． (2)有两个角互余的三角形是 直角三角形 ． (3)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，则∠B＋∠A＝ 若∠A 与∠B 互余，则△ABC 是 直角 三角形.
90° ；
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6.在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝20°，则∠C 的度数是 70° .
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10.【例 3】如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线， ∠B＝70°，∠DAE＝10°，求∠C 的度数．
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解：∵AD 是高，∠B＝70°， ∴∠BAD＝20°，∴∠BAE＝20°＋10°＝30°， ∵AE 是角平分线，∴∠BAC＝60°， ∴∠C＝180°－70°－60°＝50°.
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数学
(3)求三角形中角的度数的类型： ①直接根据两个已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； ③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐 角.
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对点训练
1.三角形的两个内角分别为 55°和 75°，则它的第三个内角的度
数是( C ) A．70°
B.60°
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谢谢观看
小结：熟悉直角三角形中两锐角互余和三角形的内角和等于 180°是解题的关键.
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数学
14.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E. 若∠C＝76°，∠BED＝64°，求∠BAC 的度数．
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数学
解：∵AD 是△ABC 的高，∠C＝76°，∴∠DAC＝14°， ∵BE 平分∠ABC 交 AD 于 E，∴∠ABE＝∠EBD， ∵∠BED＝64°，∠ADB＝90°， ∴∠EBD＋64°＝90°，∴∠EBD＝∠ABE＝26°， ∴∠BAD＝38°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝38°＋14°＝52°.
数学
11.【例 4】如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是∠BAC， ∠ABC 的角平分线． (1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED 的度数是 55° ； (2)探究∠BED 与∠C 的数量关系，并证明你的结论．
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解：(2)结论：∠BED＝90°－21∠C，证明如下： ∵AD，BE 分别是∠BAC，∠ABC 的角平分线， ∴∠ABE＝12∠ABC，∠BAE＝12∠BAC，
C.50°
D.40°
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2．如图，该图形中的 x 的值为( A )
A．60
B.65
C.70
D.75
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3．一个三角形三个内角的度数之比为 4∶5∶6，这个三角形
一定是( C )
A．直角三角形
B.等腰三角形
C．锐角三角形
D.钝角三角形
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知识点二：运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明 技巧：解题时注意挖掘出隐含在题干中已知的条件“三角形 的内角和是 180°”.
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变式练习
12.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，MN∥AC，∠1＝55°，则 ∠C 的度数是( B )
A．25° C.45°
B.35° D.55°
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9.【例 2】在△ABC 中，∠A＝∠B＝31∠C，则∠A＝ 36° . 小结：利用三角形的内角和定理构建方程解决问题.
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13.在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C＝ 75° .
7．下列条件中能判断△ABC 为直角三角形的是( A )
A．∠A＋∠B＝∠C
B.∠A＝∠B＝∠C
C．∠A－∠B＝90°
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精典范例
8.【例 1】如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥ AB，则∠DEC 等于( D ) A．63° B．113° C．55° D．62° 小结：根据平行线的性质将三个角转化到同一个三角形中.
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解：(1)②∠D＝90°＋12∠A，证明如下： ∵∠DBC＝21∠ABC，∠DCB＝12∠ACB， ∴∠DBC＋∠DCB＝12(∠ABC＋∠ACB) ＝12(180°－∠A)＝90°－21∠A， ∴∠D＝180°－90°－12∠A＝90°＋21∠A. (2)不正确．结论：∠D＝90°－12∠A.
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★15.(1)如图(a)，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB.
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①当∠A＝60°时，∠D 的度数是 120° ； ②猜想∠A 与∠D 有什么数量关系？并证明你的结论； (2)如图(b)，BD 平分∠CBP，CD 平分∠BCQ，(1)中②的猜想 还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论(不用写出 证明过程)．
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4.如图，在△ABC 中，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，△ABC 的 两条角平分线交于点 P，则∠BPC 的度数是( A )
A．130° C.50°
B.60° D.40°
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5．如图，甲船在 A 处测得 B 灯塔的方向是北偏东 54°，再沿 正东方向行驶到 C 处，在 C 处测得 B 灯塔的方向是北偏东 18°， 则∠B 的度数是 36° .
第十一章 三角形
第4课时 三角形的内角
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目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握三角形的内角和定理，理解三角形内角 和定理的证明方法． 2．掌握直角三角形的性质和判定，会运用三 角形的内角和定理进行简单的计算或证明.
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知识要点 知识点一：三角形的内角和定理 (1)三角形三个内角的和等于 180° . (2)如图，在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝ 180 °.
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∴∠BEA＝180°－(∠ABE＋∠BAE)＝180°－12(∠ABC＋ ∠BAC)＝180°－12(180°－∠C)＝90°＋12∠C. ∴∠BED＝180°－∠BEA＝180°－90°＋12∠C＝90°－21∠C.
小结：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，并能 进行推理计算是解决问题的关键.
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知识点三：直角三角形的性质和判定 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ． (2)有两个角互余的三角形是 直角三角形 ． (3)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，则∠B＋∠A＝ 若∠A 与∠B 互余，则△ABC 是 直角 三角形.
90° ；
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6.在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝20°，则∠C 的度数是 70° .
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10.【例 3】如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线， ∠B＝70°，∠DAE＝10°，求∠C 的度数．
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解：∵AD 是高，∠B＝70°， ∴∠BAD＝20°，∴∠BAE＝20°＋10°＝30°， ∵AE 是角平分线，∴∠BAC＝60°， ∴∠C＝180°－70°－60°＝50°.
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(3)求三角形中角的度数的类型： ①直接根据两个已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； ③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐 角.
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对点训练
1.三角形的两个内角分别为 55°和 75°，则它的第三个内角的度
数是( C ) A．70°
B.60°
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小结：熟悉直角三角形中两锐角互余和三角形的内角和等于 180°是解题的关键.
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14.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E. 若∠C＝76°，∠BED＝64°，求∠BAC 的度数．
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解：∵AD 是△ABC 的高，∠C＝76°，∴∠DAC＝14°， ∵BE 平分∠ABC 交 AD 于 E，∴∠ABE＝∠EBD， ∵∠BED＝64°，∠ADB＝90°， ∴∠EBD＋64°＝90°，∴∠EBD＝∠ABE＝26°， ∴∠BAD＝38°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝38°＋14°＝52°.