人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：三角函数 解三角形(中档)
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(1)求 ；
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长.
11.解(1)S△ABD＝ AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝ AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得 ＝ ＝ .
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝ .在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A＝ ，b2－a2＝ c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值.
12.解(1)由b2－a2＝ c2及正弦定理得sin2B－ ＝ sin2C.所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝ ，即B＋C＝ π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.
(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝ ，cosC＝ ，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ .
法二 由正弦定理，得 ＝ ，从而sinB＝ ，
又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝ ，
故sinC＝sin(A＋B)＝sin ＝sinBcos ＋cosBsin ＝ .
所以△ABC的面积为S＝ absinC＝ .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知B ·B ＝2，cosB＝ ，b＝3.
4.解(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin 2B＝2sinBcosB.
由正、余弦定理得a＝2b· .
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2 .
(2)由余弦定理得cosA＝ ＝ ＝－ .
由于0<A<π，所以sinA＝ ＝ ＝ .
故sin ＝sinAcos ＋cosAsin ＝ × ＋ × ＝ .
10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝ ；
(2)求sinA＋sinC的取值范围.
10.(1)证明 由a＝btanA及正弦定理，得 ＝ ＝ ，
所以sinB＝cosA，即sinB＝sin .
又B为钝角，因此 ＋A∈ ，故B＝ ＋A，即B－A＝ .
由正弦定理，得sinC＝ sinB＝ × ＝ .
因a＝b>c，所以C为锐角，
因此cosC＝ ＝ ＝ .
于是cos(B－C)＝cos5.如图，在△ABC中，∠B＝ ，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝ .
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长.
∴a＝b，且C＝ ，∴△ABC为正三角形，∴2R＝ ＝ ＝ ，∴R＝ .]
3.在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2 ，求BC．
3.解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得： = ，即 = ，
令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间是 (k∈Z).
(2)由(1)和条件可得f(C)＝2sin －1＝1，则sin ＝1.
∵角C是三角形内角，∴2C＋ ＝ ，即C＝ .
∴cosC＝ ＝ ，
又c＝1，ab＝2 ，∴a2＋ ＝7，解得a2＝3或a2＝4，
求：(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
14.解(1)由 · ＝2得c·acosB＝2，又cosB＝ ，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解 得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝ ＝ ＝ ，
又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin ，所以sinB＝ ，由正弦定理得c＝ b，
又因为A＝ ， bcsinA＝3，所以bc＝6 ，故b＝3.
13.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m＝(a， b)与n＝(cosA，sinB)平行.
(1)求A；
(2)若a＝ ，b＝2，求△ABC的面积.
13.解(1)因为m∥n，所以asinB－ bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－ sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝ .
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝ ，b＝2，A＝ ，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
则2RsinBcosC＝6RsinAcosB－2RsinCcosB，
故sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，
可得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
即sin(B＋C)＝3sinAcosB，
可得sinA＝3sinAcos B.又sinA≠0，因此cosB＝ .
(2)由 · ＝2，可得accosB＝2，
(1)求C；
(2)若c＝ ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长.
9.解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝ ，所以C＝ .
(2)由已知, absinC＝ ,又C＝ ,所以ab＝6,由已知及余弦定理得,a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋ .
由题设知0<B< ，所以cosB＝ ＝ ＝ .
在△ABD中，由正弦定理，得AD＝ ＝ ＝ ＝ .
6.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值.
6.解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3× ＝7，所以BC＝ .
15.解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝ ，所以sin∠ADC＝ .
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC-∠B)＝sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B＝ × － × ＝ .
(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝ ＝ ＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B＝82+52-2×8×5× ＝49.所以AC＝7.
7.(1)证明 根据正弦定理，可设 ＝ ＝ ＝k(k>0)，
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.
代入 ＋ ＝ 中，有 ＋ ＝ ，变形可得
sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.
(2)由正弦定理知， ＝ ，
所以sinC＝ ·sinA＝ ＝ .因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cosC＝ ＝ ＝ .
因此sin 2C＝2sinC·cosC＝2× × ＝ .
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ＋ ＝ .
(1)证明：sinAsinB＝sinC；
(2)若b2＋c2－a2＝ bc，求tanB.
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝ bc，根据余弦定理，有cosA＝ ＝ .
所以sinA＝ ＝ .
由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以 sinB＝ cosB＋ sin B.
故tanB＝ ＝4.
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝ 得 absin C＝ ，故有sinBsinC＝ sin 2B＝sinBcosB，
因sinB≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)，所以C＝ ±B.
当B＋C＝ 时，A＝ ；当C－B＝ 时，A＝ .
综上，A＝ 或A＝ .
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
16.已知向量a＝(2sinx， cosx)，b＝(－sinx，2sinx)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边且f(c)＝1,c＝1,ab＝2 ，a>b，求a，b的值.
16.解(1)由题意得f(x)＝-2sin2x＋2 sinxcosx＝ sin 2x＋cos 2x－1＝2sin －1，
2. [由正弦定理可得a2＋b2＋c2＝2 absinC，
又c2＝a2＋b2－2abcosC，代入上式得，2(a2＋b2)＝2 absinC＋2abcosC，
∴2(a2＋b2)＝4ab ＝4absin ，∴a2＋b2＝2absin ≤2ab，
又a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＝2ab，∴(a－b)2＝0，且sin ＝1，
又cosB＝ ，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accosB，
可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c，所以a＝c＝ .
18.如图，角A为钝角，且sinA＝ ，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点.
(1)若AP＝5，PQ＝3 ，求AQ的长；
(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝ ，求sin(2α＋β)的值.
∴a＝ 或2，b＝2或3，∵a>b，∴a＝2，b＝ .
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcosC＝3acosB－ccos B.
(1)求cosB的值；
(2)若 · ＝2，且b＝2 ，求a和c的值.
17.解(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
解答题题型归纳
1.在△ABC中，| |＝2，| |＝3， · <0，且△ABC的面积为 ，则∠BAC＝.
1. [在△ABC中，S△ABC＝ | || |sin∠BAC＝ ，即 ×2×3sin∠BAC＝ ，
解得sin∠BAC＝ ，又∵ · <0，∴∠BAC∈ ，∴∠BAC＝ .]
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sin2C＝2 sinAsinBsinC，且a＝2，则△ABC的外接圆半径R＝.
18.解(1)∵∠A是钝角，sinA＝ ，∴cosA＝－ ，
在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcosA，∴AQ2＋8AQ－20＝0，
解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2.
(2)由cosα＝ ，得sinα＝ .在△APQ中，α＋β＋A＝π，
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝ ，求角A的大小.
8. (1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，
故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，
于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
∴sin∠ADB= = ，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB= = ．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，
∵DC=2 ，
∴BC=
= =5．
4.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin 的值.
5.在△ABC中，A＝ ，AB＝6，AC＝3 ，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.
5.解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3 )2＋62－2×3 ×6×cos ＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3 .
又由正弦定理，得sinB＝ ＝ ＝ ，
(2)解 由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－ ＝ －2A＞0，所以A∈ .
于是sinA＋sinC＝sinA＋sin ＝sinA＋cos 2A＝－2sin2A＋sinA＋1
＝－2 ＋ .
因为0＜A＜ ，所以0＜sinA＜ ，
因此 ＜－2 ＋ ≤ .
由此可知sinA＋sinC的取值范围是 .
11.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长.
11.解(1)S△ABD＝ AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝ AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得 ＝ ＝ .
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝ .在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A＝ ，b2－a2＝ c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值.
12.解(1)由b2－a2＝ c2及正弦定理得sin2B－ ＝ sin2C.所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝ ，即B＋C＝ π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.
(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝ ，cosC＝ ，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ .
法二 由正弦定理，得 ＝ ，从而sinB＝ ，
又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝ ，
故sinC＝sin(A＋B)＝sin ＝sinBcos ＋cosBsin ＝ .
所以△ABC的面积为S＝ absinC＝ .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知B ·B ＝2，cosB＝ ，b＝3.
4.解(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin 2B＝2sinBcosB.
由正、余弦定理得a＝2b· .
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2 .
(2)由余弦定理得cosA＝ ＝ ＝－ .
由于0<A<π，所以sinA＝ ＝ ＝ .
故sin ＝sinAcos ＋cosAsin ＝ × ＋ × ＝ .
10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝ ；
(2)求sinA＋sinC的取值范围.
10.(1)证明 由a＝btanA及正弦定理，得 ＝ ＝ ，
所以sinB＝cosA，即sinB＝sin .
又B为钝角，因此 ＋A∈ ，故B＝ ＋A，即B－A＝ .
由正弦定理，得sinC＝ sinB＝ × ＝ .
因a＝b>c，所以C为锐角，
因此cosC＝ ＝ ＝ .
于是cos(B－C)＝cos5.如图，在△ABC中，∠B＝ ，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝ .
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长.
∴a＝b，且C＝ ，∴△ABC为正三角形，∴2R＝ ＝ ＝ ，∴R＝ .]
3.在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2 ，求BC．
3.解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得： = ，即 = ，
令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间是 (k∈Z).
(2)由(1)和条件可得f(C)＝2sin －1＝1，则sin ＝1.
∵角C是三角形内角，∴2C＋ ＝ ，即C＝ .
∴cosC＝ ＝ ，
又c＝1，ab＝2 ，∴a2＋ ＝7，解得a2＝3或a2＝4，
求：(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
14.解(1)由 · ＝2得c·acosB＝2，又cosB＝ ，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解 得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝ ＝ ＝ ，
又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin ，所以sinB＝ ，由正弦定理得c＝ b，
又因为A＝ ， bcsinA＝3，所以bc＝6 ，故b＝3.
13.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m＝(a， b)与n＝(cosA，sinB)平行.
(1)求A；
(2)若a＝ ，b＝2，求△ABC的面积.
13.解(1)因为m∥n，所以asinB－ bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－ sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝ .
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝ ，b＝2，A＝ ，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
则2RsinBcosC＝6RsinAcosB－2RsinCcosB，
故sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，
可得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
即sin(B＋C)＝3sinAcosB，
可得sinA＝3sinAcos B.又sinA≠0，因此cosB＝ .
(2)由 · ＝2，可得accosB＝2，
(1)求C；
(2)若c＝ ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长.
9.解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝ ，所以C＝ .
(2)由已知, absinC＝ ,又C＝ ,所以ab＝6,由已知及余弦定理得,a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋ .
由题设知0<B< ，所以cosB＝ ＝ ＝ .
在△ABD中，由正弦定理，得AD＝ ＝ ＝ ＝ .
6.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值.
6.解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3× ＝7，所以BC＝ .
15.解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝ ，所以sin∠ADC＝ .
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC-∠B)＝sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B＝ × － × ＝ .
(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝ ＝ ＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B＝82+52-2×8×5× ＝49.所以AC＝7.
7.(1)证明 根据正弦定理，可设 ＝ ＝ ＝k(k>0)，
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.
代入 ＋ ＝ 中，有 ＋ ＝ ，变形可得
sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.
(2)由正弦定理知， ＝ ，
所以sinC＝ ·sinA＝ ＝ .因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cosC＝ ＝ ＝ .
因此sin 2C＝2sinC·cosC＝2× × ＝ .
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ＋ ＝ .
(1)证明：sinAsinB＝sinC；
(2)若b2＋c2－a2＝ bc，求tanB.
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝ bc，根据余弦定理，有cosA＝ ＝ .
所以sinA＝ ＝ .
由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以 sinB＝ cosB＋ sin B.
故tanB＝ ＝4.
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝ 得 absin C＝ ，故有sinBsinC＝ sin 2B＝sinBcosB，
因sinB≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)，所以C＝ ±B.
当B＋C＝ 时，A＝ ；当C－B＝ 时，A＝ .
综上，A＝ 或A＝ .
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
16.已知向量a＝(2sinx， cosx)，b＝(－sinx，2sinx)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边且f(c)＝1,c＝1,ab＝2 ，a>b，求a，b的值.
16.解(1)由题意得f(x)＝-2sin2x＋2 sinxcosx＝ sin 2x＋cos 2x－1＝2sin －1，
2. [由正弦定理可得a2＋b2＋c2＝2 absinC，
又c2＝a2＋b2－2abcosC，代入上式得，2(a2＋b2)＝2 absinC＋2abcosC，
∴2(a2＋b2)＝4ab ＝4absin ，∴a2＋b2＝2absin ≤2ab，
又a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＝2ab，∴(a－b)2＝0，且sin ＝1，
又cosB＝ ，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accosB，
可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c，所以a＝c＝ .
18.如图，角A为钝角，且sinA＝ ，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点.
(1)若AP＝5，PQ＝3 ，求AQ的长；
(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝ ，求sin(2α＋β)的值.
∴a＝ 或2，b＝2或3，∵a>b，∴a＝2，b＝ .
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcosC＝3acosB－ccos B.
(1)求cosB的值；
(2)若 · ＝2，且b＝2 ，求a和c的值.
17.解(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
解答题题型归纳
1.在△ABC中，| |＝2，| |＝3， · <0，且△ABC的面积为 ，则∠BAC＝.
1. [在△ABC中，S△ABC＝ | || |sin∠BAC＝ ，即 ×2×3sin∠BAC＝ ，
解得sin∠BAC＝ ，又∵ · <0，∴∠BAC∈ ，∴∠BAC＝ .]
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sin2C＝2 sinAsinBsinC，且a＝2，则△ABC的外接圆半径R＝.
18.解(1)∵∠A是钝角，sinA＝ ，∴cosA＝－ ，
在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcosA，∴AQ2＋8AQ－20＝0，
解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2.
(2)由cosα＝ ，得sinα＝ .在△APQ中，α＋β＋A＝π，
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝ ，求角A的大小.
8. (1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，
故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，
于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
∴sin∠ADB= = ，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB= = ．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，
∵DC=2 ，
∴BC=
= =5．
4.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin 的值.
5.在△ABC中，A＝ ，AB＝6，AC＝3 ，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.
5.解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3 )2＋62－2×3 ×6×cos ＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3 .
又由正弦定理，得sinB＝ ＝ ＝ ，
(2)解 由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－ ＝ －2A＞0，所以A∈ .
于是sinA＋sinC＝sinA＋sin ＝sinA＋cos 2A＝－2sin2A＋sinA＋1
＝－2 ＋ .
因为0＜A＜ ，所以0＜sinA＜ ，
因此 ＜－2 ＋ ≤ .
由此可知sinA＋sinC的取值范围是 .
11.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.