人教A版数学必修四同步作业：第2章 平面向量 作业23

课时作业(二十三)
1．若O (0，0)，A(1，2)且OA →′＝2OA →
. 则A ′点坐标为( ) A ．(1，4) B. (2，2) C ．(2，4) D ．(4，2)
答案 C
解析 设A ′(x ，y)，OA →′＝(x ，y)，OA →
＝(1，2)，∴(x ，y)＝(2，4)，故选C. 2．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →
＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2，4) C ．(6，10) D ．(－6，－10) 答案 A
解析 由于BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，那么BC →＝BA →＋AC →
＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
3．若a －1
2b ＝(1，2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )
A ．(－2，－2)
B ．(2，2)
C ．(－2，2)
D ．(2，－2) 答案 D
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a －12b ＝（1，2） ①
a ＋
b ＝（4，－10） ②
①×2＋②得3a ＝(6，－6)． ∴a ＝(2，－2)．
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP →＝12MN →
，则P 点的坐标为( )
A ．(－8，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－3
2 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 答案 B
解析 设P 点的坐标为(x ，y)． ∵M(3，－2)，N(－5，－1)，
∴MP →
＝(x ，y)－(3，－2)＝(x －3，y ＋2)， MN →
＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)．
∴12MN →＝1
2
(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 又MP →＝12MN →
，∴(x －3，y ＋2)＝⎝⎛⎭⎫－4，12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1，y ＝－32.
∴P 点的坐标为⎝
⎛⎭⎫－1，－3
2. 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →
＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3，5) D ．(2，4)
答案 B
6．设k ∈R ，下列向量中与向量a ＝(1，－1)一定不平行的是( ) A ．b ＝(k ，k) B ．c ＝(－k ，－k) C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1) D ．e ＝(k 2－1，k 2－1) 答案 C
解析 b ，c ，e 都有可能是0.
7．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－4，6) D ．(4，－6) 答案 D
解析 由题知4a ＝(4，－12)，
3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D. 8．▱ABCD 中，AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对称中心为O ，则CO →
等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－1
2，5 B.⎝⎛⎭⎫－1
2，－5 C.⎝⎛⎭⎫1
2，－5 D.⎝⎛⎭⎫12，5 答案 B
解析 CO →
＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)
＝－1
2
(1，10)＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 9．已知i ，j 分别是方向与x 轴正方向，y 轴正方向相同的单位向量，设a ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则向量a 位于( )
A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 x 2
＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122
＋3
4
＞0， －(x 2－x ＋1)＝－
⎝⎛⎭⎫x －122
－34
＜0. 10．作用于原点的两个力F 1＝(1，1)，F 2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F 3＝________． 答案 (－3，－4)
解析 F 3＝－(F 1＋F 2)＝－((1，1)＋(2，3))＝－(3，4)＝(－3，－4)．
11．已知a ＝(6，1)，b ＝(－2，2)，若单位向量c 与2a ＋3b 共线，则向量c 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，45或⎝⎛⎭⎫－35
，－4
5 解析 2a ＋3b ＝2(6，1)＋3(－2，2)＝(6，8)， ∵单位向量c 与(6，8)共线， ∴c ＝±（6，8）36＋64
＝±⎝⎛⎭⎫35，45. 12．已知a ＝AB →
，B(1，0)，b ＝(3，4)，c ＝(－1，1)，且a ＝3b －2c ，则A 点的坐标为________． 答案 (－10，－10)
13．已知2a ＋b ＝(－4，3)，a －2b ＝(2，4)，求a ，b. 答案 a ＝⎝⎛⎭⎫－65，2，b ＝⎝⎛⎭
⎫－8
5，－1 14.已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →
的坐标． 解析 由题知，∠BAx ＝30°， ∴∠DAx ＝90°＋30°＝120°. 设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)．
则x 1＝|AB →
|cos 30°＝1×32＝32，
y 1＝|AB →
|sin 30°＝1×12＝12，∴B ⎝⎛⎭
⎫32，12.
x 2＝|AD →|cos 120°＝1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12，y 2＝|AD →
|sin 120°＝1×32＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →
＝⎝⎛⎭
⎫－12，32.
15．已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝
c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .
解析 如图建系，则B(1，0)，A(2cos(－150°)，2sin(－150°))，C(0，3)．
∴a ＝(－3，－1)，b ＝(1，0)， c ＝(0，3)． 设OC →
＝λa ＋μb ，
∴(0，3)＝λ(－3，－1)＋μ(1，0)．
∴⎩⎨⎧－3λ＋μ＝0，－λ＝3. ∴⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝－3 3.
∴c ＝－3a －33b .
1．若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x ，y ∈R )，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量α在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则α在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( ) A ．(2，0) B ．(0，－2) C ．(－2，0) D ．(0，2)
答案 D
解析 由题意，知a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(－2，2)＋(4，2)＝(2，4)． 设a ＝x m ＋y n ，则(2，4)＝x(－1，1)＋y(1，2)＝(－x ，x)＋(y ，2y)＝(－x ＋y ，x ＋2y)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝2，2y ＋x ＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴a ＝(0，2)． 2.如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；
②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →. 这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③
D ．⑤
答案 C
解析由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③. 3．已知a＝(x2＋y2，xy)，b＝(5，2)，若a＝b，则点(x，y)构成的集合为________．答案{(2，1)，(1，2)，(－1，－2)，(－2，－1)}
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